四川省成都市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（PDF版无答案）

成都七中高 2025 届高二 12 月阶段性测试数学试题
一、单选题（共 8个小题，每个小题 5分，共 40分）
1．已知直线 l的一个方向向量为 ( 3, 3)，则直线l 的倾斜角 =（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
2．某工厂生产 A，B，C三种不同型号产品的产量之比为 2∶3∶5，用分层抽样的方法
抽取一个容量为 n的样本．若样本中 A型号的产品有 20 件，则样本容量 n为（ ）
A．200 B．100 C．80 D．50
3．直线 l : 3x y +3= 0被圆C : x2 + (y 1)2 = 4截得的弦长为（ ）
A． 5 B． 2 5 C． 3 D．2 3
y2 x2
4．设 F ， F 分别是双曲线 =1的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且1 2
4 12
3 PF ，则△PF F 的面积等于（ ） 1 = 5 PF2 1 2
A．12 B． 24 C．12 3 D．24 3
5．如图，二面角 l 等于120 ，A、B是棱l上两点，BD、AC
分别在半平面 、 内，AC ⊥ l ，BD ⊥ l，且AB = AC = BD = 2，
则CD的长等于（ ）
A． 2 3 B． 2 2 C．4 D．2
1
6．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是 ，
2
则从 A到 B这部分电路畅通的概率为（ ）
11 11 9 9
A． B． C． D．
16 32 16 32
7．正四面体A BCD的棱长为 4，空间中的动点 P满足 PB+ PC = 2 2 ，则 AP PD的
取值范围为（ ）
A． 4 2 3,4+ 2 3 B． 2,3 2
C． 4 3 2,4 2 D． 14,2
x2 y2
8．已知椭圆 + =1(a b 0)的左、右焦点分别为F F2 2 1、 2 ，经过F1的直线交椭圆于a b
A ，B，△ABF2 的内切圆的圆心为 I ，若3IB+ 4IA+5IF2 = 0，则该椭圆的离心率是（ ）
5 2 3 1
A． B． C． D．
5 3 4 2
试卷第 1 页，共 4 页
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2 3 4
政治科目考试中达A+的概率分别为 、 、 ，这三门科目考试成绩的结果互不影响，
3 4 5
则这位考生至少得 2个A+的概率是 ．
16．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 PF1 PF2 ，
2 e2
线段PF1的垂直平分线过F e +2，若椭圆的离心率为 1，双曲线的离心率为e2 ，则 的e1 2
最小值为 ．
四、解答题（共 7个题，17题 10分，18题—22题每题 12分，共 70分）
17．（10 分）已知圆C 经过 A(0， 3 )，B (1，2)两点，且圆心在直线 x =1上．
(1)求圆C 的方程；
(2)求过点 P (0，2)且与圆C 相切的直线方程．
18．（12 分）在平面直角坐标系中，有两个圆 2C : (x+ 2 ) + y2 =1，和圆1
2
C : (x 2 ) + y2 =1，一动圆 Р与圆C 内切，与圆C 外切．动圆圆心 P的轨迹是曲线2 1 2
E,直线 y = kx 1与曲线 E交于 A，B两个不同的点.
(1)求曲线 E的方程；
(2)求实数 k的取值范围；
19．（12 分）2022 年 4 月 16 日，神舟 13 号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这
趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对
太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了 200 名
学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成 6 组，并整理得到如下频率分布直方
图
(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第5,6 组中用分
层抽样的方法抽取 5 名学生，进行第二轮面试，最终从这 5 名学生中随机抽取 2 人参加
市太空知识竞赛，求 90 分（包括 90 分）以上的同学恰有 1 人被抽到的概率．
试卷第 3 页，共 4 页
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20．（12 分）如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形， AD∥BC 、
1
ADC = 90 、BC =CD = AD =1、PA= PD，E 、F 分别为
2
AD、 PC的中点， PE ⊥CD．
(1)证明：平面 PAD ⊥平面 ABCD；
(2)若PC与AB所成角为45 ，求二面角F BE A的余弦值．
21.（12 分）已知抛物线C : y2 = 8x，点M (a,0)(a 0)，直线 l 过点M 且与抛物线C 交
于 A, B两点．
(1)若P为抛物线C 上的一个动点，当线段MP 的长度取最小值时，P 点恰好在抛物线C
的顶点处，求 a的取值范围；
(2)当 a为定值时，在 x轴上是否存在异于点M 的点N ，对任意的直线 l ，都满足直线
AN, BN 关于 x轴对称 若存在，指出点N 的位置并证明，若不存在请说明理由.
x 2 y 2 2 2 2
22．（12 分）椭圆E ： + = 1的上顶点为P ，圆C ：(x 1) + y = r (r 0)在椭圆
8 4
E内．
(1)求 r的取值范围；
(2)过点P作圆C 的两条切线，切点为A, B，切线PA与椭圆E 的另一个交点为N ，切线
PB与椭圆E的另一个交点为M ．直线AB与 y 轴交于点S，直线MN 与 y 轴交于点T ．求
ST 的最大值，并计算出此时圆C 的半径 r ．
试卷第 4 页，共 4 页
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