2.2 用配方法求解一元二次方程 课件(共18张PPT) 北师大版数学九年级上册

(共18张PPT)
第二章 一元二次方程
2.2 用配方法求解一元二次方程
教学目标
体会解一元二次方程的数学方法——降次.
理解配方法，并掌握配方法的过程和关键步骤，会用配方法解一元二次方程.
认识形如=p（p≥0）或=n（n≥0）的方程，并会用直接开平方法解一元二次方程.
1.如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
当a为正数时，a有两个平方根，即x的值有两个，分别为_____；
当a为0时，a的平方根为±0=0，即x的值有两个，均为_____；
当a为负数时， a没有平方根，即x的值不存在.
2.（_____）2=a2-2ab+b2；
（x+_____）2=x2+4x+_____.
0
a-b
2
4
知识回顾
问题：
一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
分析：设盒子的棱长为x dm，则一个盒子的表面积为6x2 dm2，所以10个盒子的表面积为（10×6x2） dm2，
根据题意列出的方程是10×6x2=1500.
如何求得x的值呢？
问题导入
10×6x2=1500
等式性质
两边同除以60
x2=25
平方根的意义
x=±5.
因为棱长不能为负数，
所以盒子的棱长为5dm.
用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义.
问题解决
解下列方程，并通过互相交流，归纳出解x2=p的方法：
（1）x2-1=0； （2）x2=0； （3）x2+1=0.
x1=x2=0；
x2=1
x=±1
x1=1，x2=-1；
x2=-1
没有一个数的平方为负数，
方程无解.
（1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1=，x2=-；
（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当p＜0时，方程没有实数根.
形如x2=p的方程的解法
新知探究
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
解方程（x+3）2=5.
思考
（1）方程x2=5的解是什么？
（2）x2=5与（x+3）2=5有什么不同？
（3）请仿照 x2=5的解法求解方程（x+3）2=5.
形如(x＋m)2=n(n≥0)的方程的解法
新知探究
x1=，x2=-.
解方程（x+3）2=5.
解：由方程（x+3）2=5，得
x+3=± .
即x+3= ，或x+3=- .
于是方程（x+3）2=5的两个根为
x1= -3，x2=- -3.
归纳：
解一元二次方程的实质就是“降次”，通过对等式的左右两边进行开方，得到两个一元一次方程，最后通过解一元一次方程得解.
新知探究
形如(x＋m)2=n(n≥0)的方程的解法
解下列方程：
（1）3x2-27=0； （2）（x+2）2-9=0；（3）x2-2x+1=16.
（3）由x2-2x+1=16，得（x-1）2=16，
所以x-1=±4，
即x-1=4，或 x-1=-4，
所以x1=5，x2=-3.
方程的左边可以转化成完全平方式.
（1）由3x2-27=0，得x2-9=0，
即x2=9，
所以x=±3.
所以x1=3，x2=-3；
（2）由（x+2）2-9=0，得（x+2）2=9，
所以x+2=±3，
即x+2=3，或 x+2=-3，
所以x1=1，x2=-5；
解：
随堂练习
解方程：x2+6x+4=0.
思考 1.解一元二次方程的实质是什么？
答：降次，将一元二次方程转化为一元一次方程.
2.直接对方程两边进行开平方满足的条件是什么？
答：方程的一边为完全平方式，一边为非负数.
3.移项之后符号是否发生变化？
答：变化.
4.等式两边加上同一个数（或式子），等式是否仍然成立？
答：成立.
用配方法解一元二次方程
新知探究
解方程：x2+6x+4=0.
解：移项，得x2+6x= .
两边同加32，得
x2+6x+32 = +32.
所以（x+3）2= .
所以x+3= .
解得x1= ，x2= .
-4
5
-4
-3+
-3-
像这样，通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.
当二次项系数为1时，“方程两边加上一次项系数的一半的平方”是配方的关键.
因为x2+6x=x2+2×3×x，
所以x2+6x+32
=x2+2×3×x+32
=（x+3）2.
用配方法解一元二次方程
新知探究
运用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；
（2）把常数项移到方程的右边；
（3）方程两边加上一次项系数一半的平方；
（4）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
（5）用直接开平方法求出方程的解.
新知探究
移项，得2x2-3x=-1.
二次项系数化为1，得.
配方，得，
.
由此可得，
.
【例1】解方程：2x2+1=3x.
解：
典例精讲
【例2】解方程：3x2-6x+4=0.
解：移项，得3x2-6x=-4.
二次项系数化为1，得x2-2x=-.
配方，得x2-2x+（-1）2=-+（-1）2.
即（x-1）2=-.
因为实数的平方不会为负数，
所以x取任何实数时，（x-1）2都是非负数，上式不成立，
即原方程无实数根.
典例精讲
如果一个一元二次方程通过配方转化成（x+m）2=n的形式，那么就有
（1）当n＞0时，方程有两个不等的实数根
x1=-m-，x2=-m+；
（2）当n＝0时，方程有两个相等的实数根
x1=x2=-m；
（3）当n＜0时，方程没有实数根.
归纳总结
解下列方程：
（1）（x+2）2-4=0；
解：（x+2）2=4，
x1=-4，x2=0.
（2）x2-x+=0；
（x-）2=0，
x1=x2=.
（3）2x2-6x=0.
x2-3x=0，
（x-）2=（-）2.
x1=0， x2=3.
随堂练习
直接开平方法
若p≥0，则x2=p的解为x1=，x2=-；
(x＋m)2=n(n≥0)的解为x1=-m-，x2=-m+.
配方法的一般步骤
（1）把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；
（2）把常数项移到方程的右边；
（3）方程两边加上一次项系数一半的平方；
（4）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
（5）用直接开平方法求出方程的解.
课堂小结
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