5.6 二元一次方程与一次函数 课件 (共21张PPT) 北师大版数学八年级上册

(共21张PPT)
第五章 二元一次方程组
5.6 二元一次方程与一次函数
一、学习目标
1.理解二元一次方程与一次函数的关系
2.会解方程组求两个一次函数图象的交点坐标
3.经历二元一次方程与一次函数关系的探究过程,体会数形结合思想的应用
二、新课导入
十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛的灵机一动.他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？
在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁.在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立了联系.笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程.　
三、概念剖析
（一）二元一次方程与一次函数图象的关系
思考：观察下列两个等式，它们有什么异同点？
x+y=5
y=－x+5
相同点：这两个式子是同一个等式
不同点：x+y=5是二元一次方程，y=－x+5 是一次函数.
三、概念剖析
思考：二元一次方程与一次函数有什么联系吗？
（1）画出y=－x+5 的函数图像.
·
·
y=-x+5
（2）在y=-x+5的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
归纳总结：x+y=5与y=5-x表示的关系相同.
三、概念剖析
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图形与相应的一次函数的图形相同，是一条直线.
二元一次方程与一次函数的关系:
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
三、概念剖析
（二）二元一次方程组与一次函数的关系
思考：二元一次方程可以转化为一次函数，你能将下面的方程组转化为函数吗？并画出函数图像.
y
x
0
4
1
2
3
5
5
4
3
2
1
-1
-2
(2,3)
y=－x+5
y=2x-1
交点（2,3）与方程组的解有什么关系呢？
一次函数y=5-x与y=2x-1图形的交点为（2,3），而 就是方程组
的解
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
归纳总结：
三、概念剖析
三、概念剖析
从“数”的角度看，解方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少.
从“形”的角度看，解方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图像的方法得到方程组的解.
两个一次函数所在直线的交点坐标
二元一次方程组的解
一一对应
（三）二元一次方程组与对应平行直线的关系
思考：两个一次函数相交，交点就是方程组的解，若两条直线平行呢？你能求出此时方程组的解吗？
y=x+1
y=x-2
x
y
-2
2
-1
0
1
3
方程组 无解
三、概念剖析
三、概念剖析
两平行直线的k相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解,对应的两直线平行.
归纳总结：
两个一次函数所在直线平行
二元一次方程组无解
例1．在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点．设k为整数，当直线y=x-2与y=kx+k的交点为整点时，k有几种取值？
四、典型例题
解：①当k=0时，y=kx+k=0，即为x轴，
则直线y=x-2和x轴的交点为（2，0）满足题意，∴k=0
②当k≠0时，
∴x-2=kx+k，∴（k-1）x=-（k+2），
∵k，x都是整数，k≠1，k≠0，
∴ 是整数
∴k-1=±1或±3，∴k=2或k=4或k=-2；
综上：k有4种取值
四、典型例题
将方程组的两个方程都化为y=kx+b的形式，
若k不等，则方程组有唯一解；
若k相等但b不等，方程组无解；
若k相等且b也相等，方程组有无数组解.
归纳总结：
【当堂检测】
1.已知直线y=2x与y=-x+b的交点的坐标为（1，a），则方程组
的解是（ ）
A
A. B. C. D.
2.若正比例函数y=-2x的图象与一次函数y=x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为-3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）直接写出方程组 的解．
解：（1）将x=-3代入y=-2x，得y=6，
则点A坐标为（-3，6）．
将A（-3，6）代入y=x+m，得-3+m=6，解得m=9，
所以一次函数的解析式为y=x+9；
（2）方程组 的解为
【当堂检测】
例2．如图，直线l1的函数解析式为y=2x-2，与x轴交于点D．直线l2：y=kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），如图所示．直线l1、l2交于点C（m，2）．
（1）求点D、点C的坐标；
四、典型例题
解：（1）∵点D为直线l1：y=2x-2与x轴的交点，
∴y=0，0=2x-2，解得x=1，
∴D（1，0）；
∵点C在直线l1：y=2x-2上，
∴2=2m-2，解得m=2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（2）求直线l2的函数解析式；
（3）利用函数图象写出关于x、y的二元一次方程组 的解．
四、典型例题
（2）∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，
∴ ，解得
∴直线l2的解析式为y=-x+4；
（3）由图可知二元一次方程组 的解为
【当堂检测】
3.已知以方程组 的解x，y作为坐标的点在直线y=-2x+7上，求k的值．
解：
①+②，得2x+y=2+k，
∵方程组 的解x，y作为坐标的点在直线y=-2x+7上，
又 ∵直线y=-2x+7，∴2x+y=7，
∴2+k=7，解得，k=5，
①
②
【当堂检测】
4.已知点A（0，4）、C（-2，0）在直线l：y=kx+b上，l和函数y=-4x+a的图象交于点B
（1）求直线l的表达式；
解：（1）由于点A、C在直线l上，
∴
∴k=2，b=4
所以直线l的表达式为：y=2x+4
【当堂检测】
（2）若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组 的解及a的值．
（2）由于点B在直线l上，当x=1时，y=2+4=6
所以点B的坐标为（1，6）
因为点B是直线l与直线y=-4x+a的交点，
所以关于x、y的方程组 的解为
把x=1，y=6代入y=-4x+a中，
得a=10．
五、课堂总结
从“数”的角度看，解方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少.
从“形”的角度看，解方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图像的方法得到方程组的解.
两平行直线的k相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解,对应的两直线平行.