5.8 三元一次方程组 课件(共22张PPT) 北师大版数学八年级上册

(共22张PPT)
第五章 二元一次方程组
5.8 三元一次方程组
一、学习目标
1.理解三元一次方程组的概念．
2.能解简单的三元一次方程组．
3.会列三元一次方程组解决实际问题.
二、新课导入
已知甲、乙两数的和是17，甲数比乙数大1，求甲、乙.
练习回顾
解：设甲数为x，乙数为y，
解得
答：甲数为9，乙数为8.
由题意可得到方程组：
三、概念剖析
（一）三元一次方程（组）的概念
若此时正好甲数的朋友丙数正好来了，条件变成甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，你能求这三个数吗？
解：设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组：
这个方程组和前面的二元一次方程组有什么区别和联系呢？
三、概念剖析
像x+y+z=23这样含有三个未知数，方程中所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.
x + y + z =23
含有三个未知数
1
1
1
未知数的项的次数都是1
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
三、概念剖析
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
想一想
上述得到的三元一次方程组怎么解呢？
我们会解二元一次方程组，能不能想以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
例1：（1）试试代入消元法解方程组
①②③
解：由方程②得x=y+1 ④
把 ④分别代入①③，得
解由⑤⑥得到的二元一次方程组，得
将y=8代入④中，得x=9
经检验，x=9，y=8，z=6适合原方程组.
所以原方程组的解是
⑤⑥
消去未知数x，方程变成二元一次方程组
检验可以口算或在草稿纸上演算，以后可以不必写出.
四、典型例题
（2）你还有别的方法解这个方程组吗？
①②③
解：①+②得2x+z=24 ④
②+③得3x-z=21 ⑤
联立方程④⑤得 解得
将x=9代入②中，得y=8
经检验，x=9，y=8，z=6适合原方程组.
所以原方程组的解是
消去未知数x，方程变成二元一次方程组
四、典型例题
归纳总结
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
四、典型例题
1. 解方程组（1）
①②③
解：（1）将①代入②并化简得x+y=3 ④
④+③，得x=3
④ -③，得y=0
将x=3，y=0代入①，得z=3
所以原方程组的解是
【当堂检测】
四、典型例题
①②③
（2）①+②，得3x+4y=24 ④
③+②，得6x-3y=15，即2x-y=5 ⑤，
④+⑤×4，得：11x=44，x=4，
将x=4代入⑤，得：8-y=5，y=3，
将x=4，y=3代入②，得：4+3+z=15，z=8，
所以原方程组的解为
（2）
四、典型例题
解三元一次方程的一般步骤：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组;
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值;
归纳总结
四、典型例题
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程;
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值;
（5）将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起.
例2．已知y=ax2+bx+c，当x=0时，y=1；当x=2时，y=11；当x=-1时，y=6．求a，b，c的值；
四、典型例题
解：∵y=ax2+bx+c，当x=0时，y=1；当x=2时，y=11；当x=-1时，y=6，
∴代入得：
①②
③
把①代入②和③得 ，解得
∴ ， ，c=1
【当堂检测】
2.已知y=ax2+bx+c．当x=-2和x=1时，y的值都是-3，当x=3时，y=7，求a，b，c的值.
解：∵y=ax2+bx+c，当x=-2时，y=-3；当x=1时，y=-3；当x=3时，y=7，
∴代入得：
①②
③
由①-②得：3a-3b=0，即a=b ④，
由③-②得：8a+2b=10⑤，
把b=a代入⑤得：a=1，∴a=b=1，
把a=b=1代入②得：c=-5，
∴ a=1，b=1，c=-5．
四、典型例题
例3．有甲、乙、丙三种商品，①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱．求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？
小明说：“可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件需多少钱，再相加即可求得答案．”
小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求出答案．”针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论．
（1）请你按小明的思路解决问题．
（2）小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理由．
四、典型例题
（1）请你按小明的思路解决问题．
解：(1)设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件
丙种商品需要z元，



得方程组
解得
小明说：“可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件需多少钱，再相加即可求得答案．”
∴x+y+z=90．
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．
四、典型例题
小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求出答案．”（2）小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理由．
(2)小丽的说法正确．
根据题意得：
方程①×3-方程②×2，得：x+y+z=90．
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．


【当堂检测】
3.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.
答：原三位数是368.
由题意，得
解得
【当堂检测】
4.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【当堂检测】
解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，
由题意得：
①-③得：z=16；
将z=16代入②③得
解得
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷．
①②
③
五、课堂总结
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元