5.4《一元一次方程的应用》 课件(共84张PPT) 冀教版七年级数学上册

(共84张PPT)
5.4　一元一次方程的应用
第1课时
学 习 目 标
1
2
利用一元一次方程解决和、差、倍、分问题;(重点）
学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，列出一元一次方程.（难点）
小敏，我能猜出你年龄.
小敏
不信
你的年龄乘2减5得数是多少？
你今年13岁
21
她怎么知道我的年龄是13岁的呢？
新课导入
小红
知识讲解
某学校七年级同学参加一次公益活动，其中15%的同学去作保护环境的宣传，剩下的170名同学去植树、种草，七年级共有多少名同学参加这次公益活动？
本题的等量关系：
作保护环境宣传的人数+植树的人数=参加公益活动的同学
请同学们列出方程并解答
解：设七年级共有x名同学参加这次公益活动，那么作环境保护宣传的同学15%x名。
根据题意，得 15%x+170=x
解这个方程，得 x=200
答：七年级共有200名同学参加这次公益活动。
解：设七年级共有x名同学参加这次公益活动，那么作环境保护宣传的同学（x-170）名。
根据题意，得 15%x=x-170
解这个方程，得 x=200
答：七年级共有200名同学参加这次公益活动。
两种思路所反映的等量关系相同，都是利用七年级学生的人数是不变量来列方程
知识讲解
运用方程解决实际问题的一般过程是:
1.审题:分析题意,找出题中的已知量、未知 量及各量之间的等量关系;
3.列方程:根据相等关系列出方程;
4.解方程并检验方程的解是否正确、符合题意;
5.答：写出答案.
2.设元:设未知数，并用其表示其他未知量；
知识讲解
例1大、小两台拖拉机一天共耕地19公顷。其中，大拖拉机比小拖拉机耕地面积的2倍还多1公顷。这两台拖拉机一天各耕地多少公顷？
大拖拉机耕地面积+小拖拉机耕地面积=总耕地面积
大拖拉机耕地面积=小拖拉机耕地面积×2+1.
分析：
本题中等量关系为
知识讲解
答：大拖拉机一天耕地13公顷，小拖拉机一天耕地6公顷.
例1大、小两台拖拉机一天共耕地19公顷。其中，大拖拉机比小拖拉机耕地面积的2倍还多1公顷。这两台拖拉机一天各耕地多少公顷？
解：设小拖拉机一天耕地x公顷，则大拖拉机一天耕地（2x+1）公顷，
根据题意，得
x+（2x+1）=19.
解这个方程，得
x =6.
从而有 2x+1 =13
知识讲解
某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下：
全价票 20元/人
半价票 10元/人
该公园共售出1200张门票，得总票款20000元，问全价票和半价票各售出多少张？
知识讲解
全价票数＋________＝1200张；　
________＋半价票款＝________．
分析题意可得此题中的等量关系有：
半价票数
全价票款
20000元
知识讲解
设售出全价票x张，填写下表：
全价 半价
票数/张
票款/元
根据等量关系②，可列出方程：
.
解得x＝ .
因此，售出全价票 张，半价票 张
x
1200－ x
20x
10(1200－ x)
全价票款＋半价票款＝20000元
20x
10(1200－ x)
+ = 20000
800
800
400
知识讲解
1．练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元．如果设水性笔的单价为x元，那么下列方程正确的是 (　　)
A．5(x－2)＋3x＝14 B．5(x＋2)＋3x＝14
C．5x＋3(x＋2)＝14 D．5x＋3(x－2)＝14
2．学校文艺部组织部分文艺积极分子看演出，共购得8张甲票，4张乙票，总计用了112元．已知甲票的单价比乙票的单价贵2元，则甲票、乙票的票价分别是(　　)
A.甲票8元/张，乙票10元/张 B.甲票10元/张，乙票8元/张
C.甲票12元/张，乙票10元/张 D.甲票10元/张，乙票12元/张
A
B
结
书
随堂训练
答：这三个数分别为5,6,7.
3.已知三个连续整数的和是18，求这三个数。
解：设这三个数分别为x，x+1，x+2，
由题意得
x+(x+1)+(x+2)=18
解得x=5，
所以x+1=6，x+2=7
随堂训练
4. 小明和小东各有课外读物若干本，小明课外读物的数量是小东的2倍，小明送给小东10本后，小东课外读物的数量是小明的3倍，求小明和小东原来各有课外读物多少本．
解：设小东原来有课外读物x本，则小明原来有课外读物2x本，由题意，得
答：小明原来有课外读物16本，小东原来有课外读物8本．
解得x＝8，2x＝16.
3(2x－10)＝x＋10
随堂训练
列方程解应用题的步骤：
（1）审题，找等量关系
（2）设未知数
（3）列方程
（4）解方程
（5）写出答案
在和、差、倍、分问题中，量与量之间都存在着关系式：
各分量之和=总量.
课堂小结
5.4　一元一次方程的应用
第2课时
学 习 目 标
1
2
掌握相遇问题、工程问题中的基本等量关系；(重点）
学会利用线段图分析相遇问题及工程问题，分清有关数量关系，
找出主要等量关系，准确列出方程；（难点）
小红和小华家相距5km，周末两人约好出去玩，两人同时从家里出发，相对而行，小红每小时走3km，小华每小时走2km，问她俩几小时可以碰到？
新课导入
解：设她们俩x小时可以碰到，根据题意，得
3x+2x=5
解得 x=1
答：她俩1小时可以碰到。
相遇问题
甲、乙两地间的路程为375km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90km/h，公共汽车的平均速度为60km/h.它们出发后多少小时在途中相遇？
问题1：找出本题中的等量关系.
轿车行驶的路程+公共汽车行驶的路程=甲乙两地间的路程.
知识讲解
问题2：设两车出发后xh相遇，请解释下图的含义.
375 km
甲
乙
90x km
60x km
轿车行驶方向
公共汽车行驶方向
相遇地点
问题3：列出的方程是_______________________
___________
解得x=2.5.
即轿车与公共汽车出发后2.5h在途中相遇.
90x+60x=375.
变式： 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h.
（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
分析：由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即
小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km).
解：（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇，
则根据等量关系，得
13x + 12x = 20 .
解得 x = 0.8 .
答：经过0.8 h他们两人相遇.
小明走的路程
小红走的路程
（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？
小明先走的路程
小红出发后小明走的路程
小红走的路程
解：（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇，
则根据等量关系，得
13(0.5 + t )+12t = 20 .
解得 t = 0.54 .
答：小红骑车走0.54h后与小明相遇.
相遇问题:（相向而行）
甲的路程
乙的路程
同时出发（两条线段）
不同时出发 （三条线段 ）
慢车先行路程
快车路程
慢车后行路程
相遇
相遇
相遇问题
总结归纳
注意：相向而行的始发时间和地点
同时，不同地
不同时，不同地
路程＝速度×时间
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离
一项工作，小李单独王成需要6h完成，小王单独做需要9h完成，如果小李先做2h后，再由两人合作，那么还需几小时才能完成？
基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间。
例2
在有关工程问题的应用题中，通常把全部工作量视为“1”。
头2h小李完 后来小李完 后来小王完
成的工作量 + 成的工作量 + 成的工作量 =工作总量
工程问题
解 设两人合作 xh才能完成.根据题意，得
解这个方程，得 x =.
答：还需小时才能完成.
头2h小李完 后来小李完 后来小王完
成的工作量 + 成的工作量 + 成的工作量 =工作总量
根据这一相等关系，设两人合作 xh才能完成，就可以列出方程.
知识讲解
解决工程问题的思路：
1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作总量、工作效率、工作时间，
它们之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作1，则工作效率=
2.相等关系：
(1)按工作时间，各时间段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量
+乙的工作量=完成的工作量.
要点归纳
知识讲解
1、甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？
解：设快车开出x小时后两车相遇．
依题意，得： 90×1+90x+140x=480.
答：快车开出 小时后两车相遇．
随堂训练
3、一项工作，甲单独做需18天，乙单独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，
那么可列方程为____________.
2、甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑，他们同时同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，则他们首次相遇时，两人都跑了(　　)
A．40秒 B．50秒 C．60秒 D．70秒
A
列一元一次方程解决相遇问题、工程问题
相遇问题
工程问题
路程＝速度×时间
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离
工作总量=工作效率×工作时间
各时间段的工作量之和=完成的工作量
甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量
课堂小结
5.4　一元一次方程的应用
第3课时
学 习 目 标
1
2
找出等量关系列方程.（难点）
弄清增长、利率、打折的含义，根据题中等量关系列方程解决问题.（重点）
你能完成下列填空吗？
(1)某企业2010年的产值300亿元，2011年增长了23.5%，那么2011年的产值是________.
(2)某商品原来的每件零售价是280元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是______元.
(3)某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%，则该商品的标价为________元.
370.5亿元
252
2722.5
新课导入
知识讲解
某企业2011年的生产总值为95930万元，比2010年增长了7.3% 。
2010年该企业的生产总值为多少万元？ （精确到1万元）
1.找出本题中的等量关系
2010年
增长了7.3%
？
95930
2011年
原有数量+增长数量=现有数量
2010年的生产总值 2010年-2011年间增长的产值 2011年的生产总值
x
2.设该企业2010年人生产总值为x万元，填表：
x×7.3%
x+x×7.3%
3.列出的方程是：____________________
x+x×7.3%=95930
4.请解这个方程。
解：设该企业2011年的生产总值为x万元.
则根据题意，得
x＋x×7.3%＝95930.
解得x≈89404.
答：2010年该企业的生产总值为89404万元.
例1 某期3年国债，年利率为5.18%；这期国债发行时，3年定期存款的年利率为5%.小红的爸爸有一笔钱，如果用来买这期国债比存3年定期存款到期后可多得利息43.2元，那么这笔钱为多少元？
解：设这笔钱是x元.依题意，得
x×5.18%×3-x×5%×3=43.2.
解得 x=8000.
答:这笔钱是8000元.
分析：利息＝本金×年利率×年数
知识讲解
1.某人存入银行2000元，定期一年，到期后得到利息和本金共2070元．若设该种储蓄的年利率为x.
列出方程： 年利率为：
2000(1＋x)＝2070
3.5%
2. 一件上衣按其进价提高40%后标价，由于季节原因，以标价的八折售出，
结果仍盈利18元。这件上衣的进价是多少元？（提示：利润=售价-进价）
随堂训练
解：设这件上衣的进价是x元，由题意，得
标价为____________________
实际售价为____________________
获得利润为____________________
列方程为____________________
解方程，得x=_______
这件上衣的进价为________元
（1+40%）xx80%-x=18
150
（1+40%）xx80%-x
（1+40%）xx80%
（1+40%）x
150
随堂训练
3. 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％.求甲、乙两种商品原来的单价.
解：设甲商品原单价为x元,则乙商品原单价为（100-x) 元.依题意，得
解得 x=40，100-x=60.
答：甲商品原单价为40元,乙商品原单价为60元.
随堂训练
4.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？
解:设商店最多可以打x折出售此商品,
根据题意，得
解得 x=7
答:商店最多可以打7折出售此商品.
1500× =1000(1+5%)
随堂训练
列一元一次方程解决百分率问题、销售问题
百分率问题
销售问题
售价=标价×折扣÷10
利润率=利润÷进价
利润=售价-进价
储蓄问题
增长率问题
课堂小结
5.4　一元一次方程的应用
第4课时
学 习 目 标
1
2
对追及、方案问题找等量关系.(重点）
实际问题中如何建立等量关系.（难点）
同学们，当我们站在一望无垠的麦田中央，倾听流泻而出的风的声音，初升的日光照射在麦田上，绿油油的泛着青涩的光，犹如一幅美丽的图画。那这幅优美的图画离不开农民伯伯的辛苦劳动，同学们知道农民伯伯是怎样施肥的吗？
新课导入
某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克。如果每公顷施肥400kg，那么余下化肥800kg；如果每公顷施肥500kg，那么缺少化肥300kg。这块麦田是多少公顷？现有化肥多少千克？
方案问题
知识讲解
问题：
1.设这块麦田为 公顷，由“如果每公顷施肥400kg，那么余下化肥800kg”可得表示化肥的代数式是怎样的？
2.由“如果每公顷施肥500kg，那么缺少化肥300kg”可得表示化肥的代数式又是怎样的？
3.这两个代数式应有怎样的关系？
400x +800
500 x -300
400 x +800=500x -300
知识讲解
解：设这块麦田为x公顷，由题意得
解得：
所以
（千克）
答：这块麦田是11公顷，现有化肥5200千克
知识讲解
该题是否还有其他解法？
能否设现有化肥为y千克？
提出问题
知识讲解
解：设现有化肥为y千克，依题意得
某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克。如果每公顷施肥400kg，那么余下化肥800kg；如果每公顷施肥500kg，那么缺少化肥300kg。这块麦田是多少公顷？现有化肥多少千克？
解得：
则
答：这块麦田是11公顷，现有化肥5200千克。
知识讲解
方案问题是较复杂的应用题之一
解决此类问题的思路是：
设问题中的多个未知量的其中一个为x，利用与未知量密切相关的一个等量关系式表示出另一个未知量，最后利用另外一个等量关系列出方程。
知识讲解
知识讲解
某校七年级学生进行了一次徒步行走活动。带队教师和学生们以4km/h的速度从学校出发，20min后，小王骑自行车前去追赶。如果小王以12km/h的速度行驶，那么小王要用多少时间才能追上队伍？此时，队伍已行走了多远？
例1
小王走的路程
追上
老师和学生先走的路程
老师和学生后走的路程
学校
追击问题
知识讲解
小王追上队伍，也就是小王和队伍走过的路程相等。
小王行驶的路程=队伍行走的路程
分析：
知识讲解
解：设小王要用xh才能追上队伍，此时队伍行走的时间为（ ）h。
解得
所以
列方程时，量的单位要统一
依题意，得 （ ）
答：小王用 h可追上队伍，队伍已行走了2km。
知识讲解
追及问题的等量关系：
同时不同地出发：
同地不同时出发：
被追者走的路程=追赶者走的路程
追赶者走的路程
追上
被追者先走的路程
被追者后走的路程
被追者的路程+两者互相间隔的路程=追赶者的路程
甲
追上
乙
被追者的路程
追赶者的路程
间隔的路程
知识讲解
归纳总结
追及问题：
1.同地不同时：(1)
(2) (a为慢者先走的时间）
2.同时不同地：(1)
(2)
知识讲解
1、一个旅行团从驻地出发，经2h到达某景区参观，返回时，仍以去时的速度行走，但由于更改路线，比去时多走了6km，因此用了3h才回到驻地，求去时的路程.
解：设去时的路程为xkm.
解得：x=12
答：去时的路程是12km.
依据题意得
随堂训练
2、一块长200cm，宽100cm，厚1cm的钢板，经锻压后，宽度不变，长度增加到320cm，锻压后的钢板厚度是多少厘米？
解：设锻压后的钢板厚度为x厘米.
依据题意得：
200×100 ×1=320 ×100 ×x
解得：x=0.625
答：锻压后的钢板厚度是0.625厘米.
随堂训练
方案问题：
找等量关系，并能用其中一个量表示另一个未知量。
追及问题：
同地不同时出发：
前者走的路程=后者走的路程；
同时不同地出发：
前者走的时间=后者走的时间；
前者走的路程+两者始发距离=追者走的路程。
一、
二、
课堂小结
5.4　一元一次方程的应用
第5课时
学 习 目 标
1
2
由几何图形中寻找等量关系，列一元一次方程解决问题.(重点）
在几何图形中寻找等量关系.（难点）
列一元一次方程解应用题的步骤
审、设、列、解、答
温故知新
例1：如图在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，动点P沿AB边从点A开始，向B点以2cm/s的速度运动；动点Q沿DA边从点D开始，向点A以1cm/s的速度运动。P、Q同时开始运动，用t（s）表示移动的时间。
（1）当t为何值时。AQ=AP？
（2）当t为何值时，AQ+AP等于长方形ABCD周长的
知识讲解
一.关注运动全程
点P全程：
从点 —>点 速度： 全程运动时间： 。
A
B
2cm/s
6s
知识讲解
一.关注运动全程
点Q全程：
从点 —>点 速度： 全程运动时间： 。
D
A
1cm/s
6s
知识讲解
二.分析出关键图形（动中取静）
6cm
12cm
三.找到等量关系：
四.用含t的代数式表示线段
DQ= ，AQ= ，AP=
五.建方程：
AQ=AP
2t
6-t
t
6-t=2t
知识讲解
六.解方程
t= 2
七.检验
（1）方程的解是否正确
（2）方程的解是否符合题意
（主要看是否在t的取值范围内）
知识讲解
解：
（1）因为运动时间为t s，AQ=AP，
则DQ=1×t=t，AQ=6-t，AP=2t，
由题意，得
6-t=2t，
解得
t=2.
知识讲解
（2）当t为何值时，AQ+AP
等于长方形ABCD周长
的
一.关注运动全程
二.分析出关键图形（动中取静）
三.找到等量关系：
四.用含t的代数式表示线段 DQ= ，AQ= ，AP=
五.建方程：
六.解方程
七.检验
（1）方程的解是否正确 ；（2）方程的解是否符合题意
（主要看是否在t的取值范围内）
t
6-t
2t
t=3
AQ+AP = 长方形ABCD的周长的
6-t+2t= ×2×(6+12)
知识讲解
解：
（2）因为运动时间为t s时，AQ+AP等于长方形ABCD周长的 。
由题意，得
6-t+2t= ×2×(6+12)，
解得
t=3.
答：当t=2(s)时，AQ=AP；当t=3(s)时，AQ+AP等于长方形ABCD周长的 .
知识讲解
1.在例题的情境中，如果点P到达点B后沿BC方向继续运动，点Q到达点A后沿AB方向继续运动，如图所示，当点P到达C点时，点P和点Q同时停止运动。试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段CP长度的一半。
随堂训练
等量关系：_____________
用含t的代数式表示线段
AP= ，CP=_______
2t
18-2t
AQ= CP
解：由题意，得
t-6=(18-2t)，
解得 t=7.5s.
即当t为7.5s时，线段AQ的长度等于线段CP长度的一半。
随堂训练
2. 如图，在长方形ABCD中，AD=16cm，AB=12cm。动点P从点A出发，沿着线段AB，BC向点C运动，速度为2cm/s；动点Q从B出发，沿着线段BC向点C运动，速度为1cm/s。P，Q同时出发，设运动的时间是t(s).
随堂训练
(1).请用含有t的代数式表示下列线段的长度：
BQ=
当点P在AB上运动时，AP=
PB=
t
2t
12-2t
当点P运动到BC上时，PB=
PC=
2t-12
28-2t
(2).当点P在AB上运动时，t为何值，能使PB=BQ
(3).点P能否追上Q点 如果能，求出t的值，如果不 能，说明理由。
随堂训练
2.解：由题意，得
12-2t=t，
解得 t=4.
答：当t=4（s）时，能使PB=BQ.
3.假设运动ts时，点P能追上点Q,
由题意，得
2t-12=t，
解得 t=12 .
答：当t=12 s时，P点能追上Q点.
随堂训练
一.关注
二.分析出
三.找到
四.用代数式
五.建
六.解
七.检验
（1）方程的解
（2）方程的解
运动全程
关键图形
等量关系
表示线段
方程
方程
是否正确
是否符合题意
动点问题解题策略
课堂小结