7.5 三角形内角和定理 第1课时 课件(共17张PPT)北师大版数学八年级上册

(共17张PPT)
第1课时
7.5 三角形内角和定理
第七章 平行线的证明
一、学习目标
1.经历证明三角形内角和定理的过程，能简单应用该定理．
2.对比过去拼纸等探索过程，体会实验和数学符号的作用，增强观察、猜想、推理论证等能力．
二、新课导入
回顾：
三角形的内角和等于多少？
三角形内角和等于180°
在前面的课程中，通过拼接我们能发现三角形的三个内角拼到一起
恰好构成一个平角.
但是测量有误差，而且三角形有无数个，我们不可能用上述方法进
行一一验证.那有没有更加合理的方法证明呢？
三、概念剖析
思考：在操作过程中, 我们发现了与边BC 平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
通过添加与底边边平行的直线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明结论．
B
C
A
l
三、概念剖析
已知：△ABC ，
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
首先我们要写出已知和求证；如下：
A
B
C
三、概念剖析
证法一：
如图过A作EF∥BC.
∴∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）
F
2
1
E
A
B
C
三、概念剖析
证法二：
如图延长BC到D，过C作CE∥BA.
∴∠A=∠1
(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行,同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠BAC=180°（等量代换）
E
2
1
D
A
B
C
三、概念剖析
思路总结：为了证明三个角的和为180°,将三个内角转化为一个平角,这种转化思想是数学中的常用方法.
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
E
2
1
D
A
B
C
辅助线
四、典型例题
例1.补充证明.已知：△ABC ，求证:∠BAC+∠B+∠C=180°.
如图过A作AE∥BC.
∴∠B=∠1
(两直线平行,内错角相等)
∠EAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠EAC=∠1+∠BAC，∠B=∠1，∠EAC+∠C=180°.
∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）
1
E
A
B
C
证明：
总结：为了证明三个角的和为180°,还可将三个内角转化为同旁内角.
三、典型例题
例2.在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x ＋ 15)°，
从而有3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
【当堂检测】
2.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
3.在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
【解析】根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．
比例关系可考虑用方程思想求角度.
【当堂检测】
【当堂检测】
解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
三、典型例题
例3.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
∴∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,
从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
三、典型例题
【当堂检测】
4.如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.
解：如图，由题意得BE∥AD,
∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，
∴∠EBA=∠BAD=40°，∠BAC=40°+15°=55°,
∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC
=180°-55°-40°=85°
D
E
四、课堂总结
证法
转化为一个平角
或同旁内角互补
三角形的内角和等于180 °
作辅助线
转化思想