5.8 三元一次方程组课件(共29张PPT) 北师大版八年级数学上册

(共29张PPT)
*5.8 三元一次方程组
第五章 二元一次方程组
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
思考：若含有 3 个未知数的方程组如何求解？
情景导入
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
在上边问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组:
x+y+z=23
x-y=1
2x+y-z=20
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
问题引入
三个小动物年龄之和为 26 岁
流氓兔比加菲猫大 1 岁
流氓兔年龄的 2 倍加上米老鼠的年龄之和比加菲猫大 18 岁
求
三
个
小
动
物
的年
龄
三元一次方程（组）的概念
互动探究
问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？
未知量：
流氓兔的年龄
加菲猫的年龄
米老鼠的年龄
每一个未知量都用一个字母表示
x 岁
y 岁
z 岁
三个未知数（元）
等量关系：
(1)流氓兔的年龄 + 加菲猫的年龄 + 米老鼠的年龄 = 26
(2)流氓兔的年龄 - 1 = 加菲猫的年龄
(3) 2×流氓兔的年龄 + 米老鼠的年龄 = 加菲猫的年龄 + 18
用方程表示等量关系.
x + y + z = 26
①
x - 1 = y
②
2x + z = y + 18
③
问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
x + y + z = 26
①
x - 1 = y
②
2x + z = y + 18
③
二元一次方程
三元一次方程
含两个未知数
未知数的次数都是 1
含三个未知数
未知数的次数都是 1
因三个小动物的年龄必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
x + y + z = 26，
①
x - 1 = y，
②
2x + z = y + 18.
③
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
练一练：下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
A.
B.
C.
D.
D
[注意] 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
三元一次方程组的解
二
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？
①
②
③
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫三元一次方程.
共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
典例精析
例1 解方程组
解：由方程②得 x = y + 1. ④
把④分别代入①③得
2y + z = 22. ⑤
3y - z = 18. ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 y = 8，z = 6.
把 y = 8 代入④，得 x = 9.
所以原方程的解是
x = 9，
y = 8，
z = 6.
①
②
③
类似二元一次方程组的“消元”，把“三元”化成“二元”.
总结归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
例2 在等式 y = ax2＋bx＋c 中，当 x = －1 时，y = 0；当 x = 2 时，y = 3；当 x = 5 时；y = 60. 求 a，b，c 的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c = 0， ①
4a＋2b＋c = 3， ②
25a＋5b＋c = 60. ③
②－①， 得 a＋b = 1. ④
③－①， 得 4a＋b = 10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b = 1，
4a＋b = 10.
a = 3，
b = -2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a = 3，
b = -2
c = -5.
a = 3，
b = -2，
c = -5.
因此
例3 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含 A、B、C 三种食物，下表给出的是每份(50g)食物 A、B、C 分别所含的铁、钙和维生素的量(单位).
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
三元一次方程组的应用
分析：（1）如果设食谱中 A、B、C 三种食物各有 x、y、z 份，请列出方程组，使得 A、B、C 三种食物中所含的营养量刚好满足婴儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A、B、C 的份数.
解：(1)设食谱中 A，B，C 三种食物各 x，y，z 份，由该食谱中包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素，得方程组
③
①
②
(2) - ×4， - ,得
⑤

④
⑤+④，得
⑥

④
通过回代，得 z = 2，y = 1，x = 2.
答：该食谱中包含 A 种食物 2 份，B 中食物 1 份，C 种食物 2 份.
随堂练习
1. 一个三位数，各数位上的数字和是14，个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2. 求这个三位数.
解：设百位数字是 x，十位数字是 y，个位数字是 z；由题意得 x+y+z=14 ①
x+z=y ②
7x=y+z+2 ③
将 x+z=y 代入①中，得 y=7，再将 y=7代入③中
解得 x=2，y=7，z=5. 这个三位数是275.
2. 解方程组：
x+y+z=26,
x-y=1,
2x-y+z=18.
1.已知 |x-6y|+2(4y-1)2+|3x-6z|=0,则 x+y+z= .
2.解方程组
要使运算简便，消元应选（ ）
A.先消x B.先消y
C.先消z D.先消常数项
2x-y+3z=3
-4x+y+2z=11
5x+y+7z=1
巩固练习
5
B
3. 某次知识竞赛共出了30个试题，评分标准如下:
答对一题加4分，答错一题扣1分，不答记0分，已知小刚同学不答的题比答错的多3题，他的总分为81分,则他答对了（ ）
A.19题 B.20题
C.21题 D.22题
C
4. 解方程组
x=0
y=8
z=2
x:y=2:1
y:z=2:1
x+y-3z=3
(1)
(2)
3x+2y=16
2x-y+2z=-4
x+2y-z=14
(1)
x=4
y=2
z=1
(2)
1.解方程组 ，则 x＝_____，
y＝______，z＝_______.
x＋y－z ＝ 11，
y＋z－x ＝ 5，
z＋x－y ＝ 1.
①
②
③
【解析】通过观察未知数的系数，可采取① + ②求出 y， ②+③求出 z，最后再将 y 与 z 的值代入任何一个方程求出 x 即可.
6
8
3
2.若 x＋2y＋3z ＝ 10，4x＋3y＋2z ＝ 15，则 x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x + 5y + 5z = 25，所以 x + y + z = 5.
D
3.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b| ＝ 0，求a，b，
c 的值．
解：因为三个非负式的和等于 0，所以每个非负式都为 0.
可得方程组 解得
4.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大 495，求原三位数．
解： 设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为 x、y、z.由题意，得
解得
答：原三位数是 368.
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解法