西安名校2023-2024学年度第一学期期中考试
高三 数学（理科）试题 （时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则的真子集共有（ ）
A．15个 B．16个 C．31个 D．32个
2．若复数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．已知非零向满足，且，则向量的模长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）、放电电流（单位：）三者之间满足关系．假设某款电动汽车的蓄电池容量为，正常行驶时放电电流为，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
5.函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C． D．
6.已知，则（ ）
A．-3 B．3 C． D．
7.若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数，图象向左平移个单位后关于直线对称，则下列关于函数说法正确的是（ ）
A．在区间上有一个零点 B．关于对称
C．在区间上单调递增 D．在区间上的最大值为2
9.在△ABC中，，，D是AC边的中点，点E满足，则与的夹角为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
10.若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11.若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
①函数有两个极值点；
②若关于的方程恰有1个解，则；
③函数的图象与直线（）有且仅有一个交点；
④若，且，则无最值.
A．①② B．①③④ C．②③ D．①③
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13．若变量，满足约束条件，则的最大值是______.
14.已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
15．已知函数的定义域为,其导函数为,若函数为偶函数,函数为偶函数,则下列说法正确的序号有___________.
①函数关于轴对称;
②函数关于中心对称;
③若,则;
④若当时,,则当时,.
16. 设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求的最大值和最小值;
(2)设,求的对称中心及单调递增区间.
18.(本小题满分12分)
已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在R上单调递增，求实数a的取值范围．
19.(本小题满分12分)
记的内角 的对边分别为 ，已知.
(1)证明：；
(2)若，，角的内角平分线与边交于点，求的长.
20.(本小题满分12分)
2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高三年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高三（1）班（以下简称一班）和高三（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A、B题库每题的概率分别为、，三班能正确回答A、B题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响.
(1)若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；
(2)若一班和三班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？
21.(本小题满分12分)
已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有三个零点，，，求证：.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.
23.（本小题满分10分）
已知函数，且.
若函数的最小值为，试证明点在定直线上；
(2)若，时，不等式恒成立，求实数的取值范围.数学（理科）试题答案
一.选择题（本大题共12小题，共60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B D C D C B A C B C D
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)
13.9 14.4 15.①③④ 16.
三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 解：(1)由题意得,（2分）
令,则,则.（4分）
所以当时,有;当时,. （5分）
(2)由题得,（7分）
从而.（9分）
由,得.故对称中心是.（12分）
再由,
得.所以单调递增区间是.（12分）
18. 解：当时，函数，则，
，，
所求切线方程为，即；-------------5分
函数，，
在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，-----------7分
令，，令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
，
实数的取值范围为． --------------12分
19. 解：解：（1）证明：因为
所以（1分）
所以
即（3分）
所以（4分）
由余弦定理得：（5分）
（6分）
又（7分）
所以，（9分）
由角平分线定理可得，，（10分）
在中，由余弦定理得：（11分）
所以（12分）
20. 解：（1）由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分，
其概率为，-----2分
若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，
其概率为，---------4分
于是一班总分不少于100分的概率为；-----6分
（2）由条件知，随机变量X可能取值为60，80，100，120，
，，
，．
所以X的分布列为：
X 60 80 100 120
P
，----------8分
设三班最后的总分为Y，Y可能取值为30，60，90，120，
，，
，，
的分布列：
，---------11分
因为，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.----12分
21. 解：（1）由，可知定义域，
，----1分
令，则，
①当时，，则成立，即成立，
所以在上单调递增； -------3分
②当时，令，得，记，
，当变化时，，的变化情况如下表
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.-------------5分
（2）因为函数有三个零点，，，
不妨设，所以，
即在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
由，知，故，--------6分
因为，
所以，即，----------------8分
因此，
令，
所以，令，
则在上单调递减，且，
，
所以在上单调递减，且，因此，-----------------11分
则，
所以.--------------------12分
22. 【解析】由和，得.....................1分
，化简得，故：.....................3分
将两边同时乘以，得.....................4分
因为，所以
得的直角坐标方程 .....................5分
（2）设直线的极坐标方程 .....................6分
由，得，由，得.....................7分
故，.....................8分
当时，取得最大值.....................9分
此时直线的极坐标方程为：，其直角坐标方程为：......................10分
23．【详解】（1）（当且仅当时取等号），.....................3分
，即点在定直线上......................5分
（2）当，时，，.....................6分
由得：，.....................7分
，则，.....................8分
，解得：，.....................9分
即实数的取值范围为......................10分
