2022—2023学年人教版数学九年级下册28.2.1解直角三角形 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
解直角三角形
| 28.2 解直角三角形及其应用
| 28.2.1 解直角三角形 第1课时 |
知识导航
学习锐角的三角函数有什么作用？
知识回顾
锐角三角函数
正弦
∠A的对边
斜边
sin A =
余弦
正切
∠A 的邻边
斜边
cosA =
∠A 的对边
∠A 的邻边
tanA =
特殊
特殊三角函数
三角板模型
计算器计算
任意
新知探究
活动一 如图，在 Rt△ABC 中，其中∠C = 90°.共有六个元素（三条边，三个角），它们有什么关系.
C
c
b
a
A
B
三边关系
三角关系
边与角关系
a2 + b2 =c2(勾股定理)
∠A +∠B =90°(两锐角互余定理)
三角函数
sinA = ，
cosA = ，
tanA =.
由直角三角形中的已知元素(至少有一个是边)，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形
解直角三角形
C
c
b
a
A
B
典例讲解
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC =，BC =，，解这个直角三角形.
A
B
C
解：∵
∴∠A=60° ，
∠B=90°-∠A=90°- 60°=30°，
AB=2AC=2 .
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°，b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
A
B
C
b
c
a
35°
解：
针对练习
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝ ，则∠A 的度数为(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
D
在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A的值，最适宜的做法是(　　)
A．计算tan A 的值求出 B．计算sin A 的值求出
C．计算cos A 的值求出
D．先根据sin B 求出∠B，再利用90°－∠B 求出
C
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，BC = 5， 试求 AB 的长.
A
C
B
解：
设
例4 如图，在△ABC 中，AB＝1，AC＝，sin B ＝，求BC 的长．
A
C
B
如图，过点A 作AD⊥BC 于点D.
∵AB＝1，sin B＝
∴AD＝AB · sin B＝
∴BD＝
∴CD＝
∴BC＝CD＋BD＝
解：
知识小结
解直角三角形
定义
依据
思想
三边关系
三角关系
边与角关系
a2 + b2 =c2(勾股定理)
∠A +∠B =90°(两锐角互余定理)
三角函数
sinA = ，
cosA = ，
tanA =.
数形结合、方程思想
课堂练习
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°， AB = 8，则 BC 的长是 ( )
D
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A， ∠B，∠C 的对边，则下列各式正确的是 ( )
A. b = a·tanA B. b = c·sinA
C. b = c·cosA D. a = c·cosA
A
C
B

C
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 37°，BC = 32， 则 AC = (参考数据：sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75).
如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD = 3，cosB = ，则 AC 的长为 .
24
3.75
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，角平分线 ，解这个直角三角形.
解：
∵ AD 平分∠BAC，
D
A
B
C
6
如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
在 Rt△CDB 中，∠DCB =∠ACB－∠ACD = 45°，
解：如图，作 CD⊥AB 于点 D.
在 Rt△ACD 中，∵∠A = 30°，∴∠ACD = 90° - ∠A = 60°.
∴ BD = CD = 2.
D
解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
在△ACD 中，∠C = 45°，AC = 2，
∴ CD = AD = sinC · AC = 2sin45° = .
在△ABD 中，∠B = 30°，
∴ BD =
∴ BC = CD + BD =
如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，AC = 2，求 BC 的长.
D
A
B
C
在△ABC 中，AB = ，AC = 13，cosB = ，求 BC 的长.
图②
图①
解：∵cosB = ，∴∠B = 45°.
当△ABC 为钝角三角形时，如图①.
∵AC = 13，∴由勾股定理得 CD = 5.
∴BC = BD + CD = 12 + 5 = 17
当△ABC 为锐角三角形时，如图②，
此时 .BC = BD - CD = 12 - 5 = 7.
综上可知，BC 的长为 7 或 17.
图②
图①
如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO.并延长AO 交⊙O 于点E，与PB 的延长线交于点D.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 ，且OC＝4，求PA 的长和tan D 的值．
(1)证明：如图，连接BO，
∵PB 为⊙O 的切线，B 为切点，
∴OB⊥PD，∠PBO＝90°.
又∵OA＝OB，OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC.
又∵OP＝OP，
∴△PAO ≌ △PBO，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴PA 是⊙O 的切线．
(2)解：∵∠ACO＝∠PAO＝90°，∠AOC＝∠POA，
∴△AOC∽△POA，∴ .
又∵OC＝4，∴AC＝6.
在Rt△AOC 中，
OA＝ ，
∴PA＝OA＝3，又易知PA＝PB，∴PB＝3.
在Rt△PAO 中，
PO＝ ＝13.
如图，连接BE. ∵AE 为直径，∴∠ABE＝90°.
又∵OC⊥AB，∴BE∥OP，
∴△DBE∽△DPO，BE＝2OC＝8.
∴ .
即 .解得BD .
∴在Rt△DBO 中，tan D＝ .