28.2.2应用举例（第4课时）坡度课件 22张PPT 2022—2023学年人教版数学九年级下册

(共22张PPT)
坡度问题
28.2 解直角三角形及其应用
| 28.2.2 应用举例 第4课时 |
知识回顾
α
β
α
β
α
β
仰俯角、方位角相关模型
30°
45°
O
东
西
北
南
情景引入
从数学角底怎样描述山坡的陡峭
坡角、坡度定义
坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角 α .
坡度通常写成 1∶m 的形式.
坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的 比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h∶l .
α
l
h
i = h∶l
坡面
水平面
坡度等于坡角的正切值.
针对练习
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =____度.
2. 斜坡的坡角是 45°，则坡比是 _____.
3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______.
30
1 : 1
α
l
h
典例讲解
例1 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2. 小刚从山脚 A出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到 0.1 m）？
i = 1:2
A
B
C
在 Rt△ABC 中，
∠B = 90°，∠A ≈ 26.57°，AC = 240 m，
解：
用 α 表示坡角的大小，由题意可得
因此 α ≈ 26.57°.
答：这座山坡的坡角约为 26.57°，小刚上升了约 107.3 m.
从而 BC ≈ 240 sin26.57° ≈ 107.3 (m)．
因此
A
B
C
i = 1:2
例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶3，斜坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求：
(1) 斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1°)；
(2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1m).
A
D
B
C
i = 1:2.5
23
6
α
i = 1:3
解： 斜坡 CD 的坡度
i = tanα = 1∶2.5 = 0.4，
由计算器可求得 α ≈ 22°.
故斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
解：分别过点 B，C 作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F. 由题意可知 BE = CF = 23 m， EF = BC = 6 m.
在 Rt△ABE 中，
(2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1m).
E
F
A
D
B
C
i = 1:2.5
23
6
α
i = 1:3
∴ AD=AE+EF+FD
= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
在 Rt△DCF 中，
故坝底 AD 的长度为132.5 m，斜坡 AB 的长度为 72.7 m.
∵ FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)
针对练习
为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE 的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度B C. (参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)
解：
设BC＝x，
在Rt△ABC 中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，
∴AB＝==x
在Rt△EBD 中，i＝DB∶EB＝1∶1，
∴BD＝BE. ∴CD＋BC＝AE＋AB，
即2＋x＝4＋x，解得x＝12.
答：水坝原来的高度约为12米．
知识小结
坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角 α .
坡度通常写成 1∶m 的形式.
坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的 比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h∶l .
α
l
h
i = h∶l
坡面
水平面
坡度等于坡角的正切值.
课堂练习
如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高 BC = 3 m，则坡面 AB 的长度是 ( )
A. 9 m B. 6 m C. m D. m
A
C
B
B
如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE 平行于江面AB，迎水坡BC 的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB 的长约为(　　)
(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
A．5.1米 B．6.3米
C．7.1米 D．9.2米
A
如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)
280
为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD. 已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝123米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝，则CE 的长为________米．
8
一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基左右两边坡面的坡角分别是 45° 和 30°，求路基下底的宽 (精确到 0.01米，，).
45°
30°
4 米
12 米
A
B
C
D
E
F
解：如图，作DE⊥AB 于 E，CF⊥AB 于 F．
由题意知 DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
45°
30°
4 米
12 米
A
B
C
D
在 Rt△ADE 中，
E
F
在 Rt△BCF 中，同理可得
∴ AB＝AE＋EF＋BF ≈ 4＋12＋6.93 = 22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为 22.93 米．
(米).
(米).
一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示的位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝m，斜面坡角为30°，求木箱端点E 距地面AC 的高度EF.
解：如图，连接AE.
在Rt△ABE 中，AB＝3，BE＝，
则AE==
∵tan ∠EAB= = ∴∠EAB＝30°.
在Rt△AEF 中，∠EAF＝∠EAB+∠BAC
＝30°+30°＝60°，
∴EF＝AE × sin ∠EAF＝=3
答：木箱端点E 距地面AC 的高度EF 为3 m.
如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α 为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin 39°≈0.63， cos 39°≈0.78，tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24)
假设点D 移到D ′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE⊥AC 于点E，过点D ′作D ′E ′⊥AC 于点E ′，如图所示．
∵CD＝12，∠DCE＝60°，
∴DE＝CD ·sin 60°＝12× ＝6，
CE＝CD · cos 60°＝12× ＝6.
∵DE⊥AC，D ′E ′⊥AC，DD ′∥CE ′，
∴四边形DEE ′D ′是矩形．∴D ′E ′＝DE＝6.
∵∠D ′CE ′＝39°，∴CE ′＝≈≈12.8.
∴EE ′＝CE ′－CE＝12.8－6＝6.8≈7(米)．
答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
解：