28.2.2应用举例第3课时(方位角)课件 19张PPT 2022—2023学年人教版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 28.2.2应用举例第3课时(方位角)课件 19张PPT 2022—2023学年人教版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 24.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-14 21:05:47 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
方位角问题
28.2 解直角三角形及其应用
| 28.2.2 应用举例 第3课时 |
知识导航
解直角三角形能解决那些实际问题？
知识回顾
A
D
B
E
C
α
β
α
β
α
β
α
β
仰俯角相关模型
典例讲解
例1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？
方向角定义
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角
北偏东30°
南偏西45°
30°
45°
O
东
西
北
南
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
解：如图，在 Rt△APC 中，
PC = PA·cos(90°－65°)
= 80×cos25°
≈ 72.505.
在 Rt△BPC 中，∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile.
例2 如图，A，B 两城市相距 200 km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，100 km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)？
解：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°．
∵ AC＋BC＝AB，
∴ PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，
即 PC＋PC＝200，
解得 PC ≈ 126.8 km＞100 km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
200 km
C
例3 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？
北
东
A
C
B
60°
30°
D
∵ BD∥CE∥AF，
∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°．
∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°.
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC，
∴∠ABC =∠BAC，
∴ BC = AC = 12 海里．
∴ AF = AC · cos30° = 6 ≈ 10.392 ＞ 8，
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
例4 如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5 km到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
如图，作CH⊥AD于点H. 设CH＝x，
在Rt△ACH 中，∠A＝37°， tan 37°＝ ，
∴ AH＝＝ .
在Rt△CEH 中，
∵∠CEH＝45°， ∴CH＝EH＝x.
∵ CH⊥AD，BD⊥AD， ∴CH∥BD，
∴ .
∵AC＝CB，∴AH＝HD.
∴ ＝x＋5. ∴ x≈15.
∴AE＝AH＋HE＝ ＋15≈35(km)，
∴E 处距离港口A 约35 km.
解：
知识小结
α
β
α
β
α
β
α
β
方位角相关模型
30°
45°
O
东
西
北
南
课堂练习
如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB 是( )
A．2海里 B．2sin 55°海里
C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里
C
如图，一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P 的距离是( )
A．15海里 B．30海里
C．45海里 D．30海里
B
如图，有一个古建筑 A，它周围 800 米内有古建筑群，乡村路要由西向东修筑，在 B 点处测得古建筑 A 在北偏东 60° 方向上，向前直行 1200 米到达 D 点，这时测得古建筑 A 在 D 点北偏东 30° 方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑群会不会遭到破坏？
解：过点 A 作 AE⊥BD，垂足为 E.
∵ 点 A 在点 B 的北偏东 60° 方向上，在点 D 的北偏东 30° 方向上，
∴ ∠ABE = 30°，∠ADE = 60°.
∴∠BAD =∠ADE -∠ABE = 30° =∠ABE.
∴ AD = BD = 1200 米.
∴ AE = AD·sin60° = 1200× ≈ 1039.2＞800（米）.
∴ 不会遭到破坏.
E
如图，一艘轮船位于灯塔P 南偏西60°方向的A 处，它向东 航行20海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P 的最短离．(结果保留根号)
解：
如图，作PC⊥AB 交AB 的延长线于点C，
则∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AB＝20.
∴PC＝BC，
AC＝PC · tan 60°＝PC.
∴AB＝AC－BC＝(－1)·PC＝20.
∴PC＝ ＝10＋10(海里)．
答：轮船航行途中与灯塔P 的最短距离是(10 ＋10)海里．
方位角问题
28.2 解直角三角形及其应用
| 28.2.2 应用举例 第3课时 |
知识导航
解直角三角形能解决那些实际问题？
知识回顾
A
D
B
E
C
α
β
α
β
α
β
α
β
仰俯角相关模型
典例讲解
例1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？
方向角定义
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角
北偏东30°
南偏西45°
30°
45°
O
东
西
北
南
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
解：如图，在 Rt△APC 中，
PC = PA·cos(90°－65°)
= 80×cos25°
≈ 72.505.
在 Rt△BPC 中，∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile.
例2 如图，A，B 两城市相距 200 km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，100 km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)？
解：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°．
∵ AC＋BC＝AB，
∴ PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，
即 PC＋PC＝200，
解得 PC ≈ 126.8 km＞100 km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
200 km
C
例3 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？
北
东
A
C
B
60°
30°
D
∵ BD∥CE∥AF，
∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°．
∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°.
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC，
∴∠ABC =∠BAC，
∴ BC = AC = 12 海里．
∴ AF = AC · cos30° = 6 ≈ 10.392 ＞ 8，
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
例4 如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5 km到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
如图，作CH⊥AD于点H. 设CH＝x，
在Rt△ACH 中，∠A＝37°， tan 37°＝ ，
∴ AH＝＝ .
在Rt△CEH 中，
∵∠CEH＝45°， ∴CH＝EH＝x.
∵ CH⊥AD，BD⊥AD， ∴CH∥BD，
∴ .
∵AC＝CB，∴AH＝HD.
∴ ＝x＋5. ∴ x≈15.
∴AE＝AH＋HE＝ ＋15≈35(km)，
∴E 处距离港口A 约35 km.
解：
知识小结
α
β
α
β
α
β
α
β
方位角相关模型
30°
45°
O
东
西
北
南
课堂练习
如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB 是( )
A．2海里 B．2sin 55°海里
C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里
C
如图，一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P 的距离是( )
A．15海里 B．30海里
C．45海里 D．30海里
B
如图，有一个古建筑 A，它周围 800 米内有古建筑群，乡村路要由西向东修筑，在 B 点处测得古建筑 A 在北偏东 60° 方向上，向前直行 1200 米到达 D 点，这时测得古建筑 A 在 D 点北偏东 30° 方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑群会不会遭到破坏？
解：过点 A 作 AE⊥BD，垂足为 E.
∵ 点 A 在点 B 的北偏东 60° 方向上，在点 D 的北偏东 30° 方向上，
∴ ∠ABE = 30°，∠ADE = 60°.
∴∠BAD =∠ADE -∠ABE = 30° =∠ABE.
∴ AD = BD = 1200 米.
∴ AE = AD·sin60° = 1200× ≈ 1039.2＞800（米）.
∴ 不会遭到破坏.
E
如图，一艘轮船位于灯塔P 南偏西60°方向的A 处，它向东 航行20海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P 的最短离．(结果保留根号)
解：
如图，作PC⊥AB 交AB 的延长线于点C，
则∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AB＝20.
∴PC＝BC，
AC＝PC · tan 60°＝PC.
∴AB＝AC－BC＝(－1)·PC＝20.
∴PC＝ ＝10＋10(海里)．
答：轮船航行途中与灯塔P 的最短距离是(10 ＋10)海里．