第三章函数的概念与性质 单元检测(含解析)

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名称 第三章函数的概念与性质 单元检测(含解析)
格式 docx
文件大小 723.1KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-12-14 16:14:21

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第三章 函数的概念与性质 单元检测
一、单选题:(本大题共8小题,每小题5分,共40 分.在每小题四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的)
1.函数,则( )
A.3 B.2 C.6 D.5
2.已知函数的定义域为,满足,当,且时,恒成立,设,,(其中),则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.若函数是定义在上的偶函数,在区间上是严格减函数,且,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
4.若,则函数的部分图象可能是( )
A. B. C. D.
5.若函数,则( )
A. B. C. D.
6.若函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
7.下列两组函数中,表示同一函数的是( )
(1)和;(2)和.
A.仅(1)是 B.仅(2)是 C.(1)(2)都是 D.(1)(2)都不是
8.已知函数在区间上的最小值为9,则函数在区间上的最大值为( )
A. B. C.3 D.6
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中 ,有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分,正确选项不全得2分,有错误选项得0分)
9.已知为定义在上的偶函数且不是常函数,,若是奇函数,则( )
A.的图象关于对称 B.
C.是奇函数 D.与关于原点对称
10.下列函数值域为的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则( )
A. B. C. D.
12.已知幂函数的图像经过中的三个点,则的值可能为( )
A. B. C.3 D.9
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.函数的定义域是 .
14.已知一个奇函数与一个偶函数的和为函数,则 .
15.若是幂函数,则 .
16.某小型服装厂生产一种风衣,日销货量件(单位:件)(∈N*)与货价p(单位:元/件)之间的关系为p=160-2,生产x件所需成本C=100+30(单位:元),当工厂日获利不少于1 000元时,该厂日产量最少生产风衣的件数是
四、解答题:本大题共6小题,共70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.已知函数.
(1)求;
(2)当时,求x的取值范围.
18.已知函数的定义域为,且满足对任意,,有.
(1)求,的值;
(2)判断函数的奇偶性并证明你的结论;
(3)当时,,解不等式.
19.已知函数.
(1)若函数的值域是,求实数的值;
(2)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,使得在上的值域恰好是?若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由.
20.已知函数是定义在区间上的奇函数,且.
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数在区间上的单调性,并用函数单调性的定义证明.
21.已知幂函数的定义域为全体实数R.
(1)求的解析式;
(2)若在上恒成立,求实数k的取值范围.
22.新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召,2020年积极引进新能源汽车生产设备,通过分析,全年需要投入固定成本万元.每生产(百辆)新能源汽车,需另投入成本万元,且,由市场调研知,每辆车售价万元,且生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式;(利润销售量售价成本)
(2)年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
数学参考答案
1.C
【分析】直接根据分段函数解析式,代入计算即可.
【详解】由分段函数解析式得,,
故选:C.
2.D
【分析】由题意可得函数的图象关于对称,且在上是减函数,根据函数的对称性的单调性比较大小即可.
【详解】因为,所以函数的图象关于对称,
因为当,且时,恒成立,
所以函数在上是减函数,
又,,且,
所以.
故选:D.
3.B
【分析】利用偶函数的性质,分段解不等式即得.
【详解】函数是上的偶函数,在上是严格减函数,则在上是严格增函数,,
不等式化为:或,解得或,
所以不等式的解集为.
故选:B
4.D
【分析】根据的正负,确定的正负,从而根据的单调性得答案.
【详解】因为,所以或,
对A、D:由得,此时与在定义域上单调递减,
所以在定义域上是减函数,故A错误,D正确;
对B、C:由得,此时与在定义域上单调递增,
所以在定义域上是增函数,故B、C均错误;
故选:D
5.D
【分析】借助配凑法即可解答.
【详解】由,得.
故选:D
6.B
【分析】根据的定义域即可得出的定义域.
【详解】因为的定义域为,
所以令,得,
所以的定义域为.
故选:B
7.A
【分析】根据函数的定义域和解析式是否相同判断即可.
【详解】对于(1),两个函数定义域都为,化简后两个函数都为,
所以(1)中两个函数是同一个函数;
对于(2),的定义域是,
的定义域为或,定义域不一致,所以不是同一个函数.
故选:A
8.C
【分析】构造函数,易知为奇函数,根据已知条件确定在上的最小值为9,再根据奇函数的性质判断在上的最大值,最终确定函数在区间上的最大值.
【详解】由题可设,,其定义域为,
易知:,则为奇函数,
又因为函数在区间上的最小值为9.
则在区间上的最小值为
由奇函数对称区间上的单调性相同:故在区间上的最大值为.
所以在区间上的最大值为.
故选:C
9.ABC
【分析】根据偶函数和函数对称性的定义可判断A选项;利用函数的周期性可判断B选项;利用奇函数的定义可判断C选项;利用对称性定义可判断D选项.
【详解】对于选项A,因为是奇函数,所以,
即,整理得2,
所以的图象关于对称,故A正确;
对于选项B,因为为偶函数,所以,
所以,所以,故B正确;
对于选项C,,故C正确;
对于选项D,因为,所以与关于轴对称,不关于原点对称,故D错误.
故选:ABC.
10.BD
【分析】根据一次函数的性质,可直接判断;根据,可判断;对于,函数解析式分离常数后即可求出值域,进而可判断;根据基本初等函数的单调性可判断.
【详解】因为函数的值域为,故错误;
因为,
故函数的值域为,故正确;
因为,
故函数的值域为,则错误;
因为函数在上均单调递增,
所以当时,有最小值,
故函数的值域为,故正确,
故选:
11.ABD
【分析】利用函数的奇偶性和周期性结合赋值法判断各选项
【详解】因为函数为奇函数,所以,A正确;
由为偶函数,得,即,B正确;
由为奇函数,得,所以,即,C错误.
由上可知,则,则,所以,D正确.
故选:ABD
12.BC
【分析】设,利用幂函数的性质知,点一定在幂函数图像上,再分别讨论过三点,过三点,过三点,即可求出结果.
【详解】设,因为,
由幂函数的性质可知的图像必定经过点,
若的图像经过三点,由,得为正奇数,
则的解析式可能为,有,此时;
若的图像经过三点,由,得,
则,有,此时;
若的图像经过三点,由,得到,,此时不在图像上,即的图像不同时经过三点,
故选:BC.
13.
【分析】利用二次根式的意义计算即可.
【详解】由题意可知,
即函数的定义域为.
故答案为:
14.
【分析】按题意列方程即可
【详解】记,按题意有,
又,
解得,
故答案为:.
15.2
【分析】根据幂函数的定义列方程来求得的值.
【详解】令,得,解得.
故答案为:
16.10
【分析】由题意,设该厂月获利为元,获利=总收入-成本,即,求解二次不等式即可.
【详解】由题意,设该厂月获利为元,则:

当工厂日获利不少于1 000元时,即,
即,
解得:.
故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.
故答案为:10
17.【详解】(1)因为时,,所以;
因为时,,所以;
即;
(2)由,得或,
解得或,
所以x的取值范围是.
18.【详解】(1)令,则,
令,则.
(2)为偶函数,证明如下:
令,则,又函数定义域为,
所以为偶函数.
(3)令,则,且,
所以,即,
故在上递增,又为偶函数,则在上递减,
由,则,
所以不等式解集为.
19.【详解】(1)函数,值域是,
且二次函数图象是抛物线,开口向下,
有且只有一个值,
即,
解得或;
的值为0或4.
(2)函数图象是抛物线,开口向下,对称轴是;
要使在上是单调递减的,应满足;
的取值范围是.
(3)当,即时,在上是减函数,
若存在实数,使在上的值域是,
则有,即,解得不存在;
当,即时,在上是增函数,
则有,即,解得;
当,即时,在上先增后减,
所以在处取最大值;

解得或6(不满足条件,舍去);
综上,存在实数,使在上的值域恰好是.
20.【详解】(1)函数是定义在区间上的奇函数,
所以,解得,
由,解得,
所以,
此时,满足为奇函数,
故.
(2)函数在上单调递增,证明如下:
设任意,且,
则,
,且,
,即,,又,,
所以,即,
所以函数在上单调递增.
21.【详解】(1)因为为幂函数,
所以,解得或,
又时,,定义域不为R,舍去,
所以,.
(2)由(1)得,,在上恒成立,
即在上恒成立,即在上恒成立,
当时,,显然成立;
当x时,得在x时恒成立,
由对勾函数的性质得,在x时单调递减,
所以,所以,
所以实数k的取值范围为.
22.【详解】(1)每辆车售价5万元,年产量(百辆)时销售收入为万元,
总成本为,
所以
.
所以年利润.
(2)由(1)当时,
(百辆)时(万元),
当时,
当且仅当(百辆)时,
因为2820万元万元,
所以年产量90百辆时利润最大,最大利润为2820万元.