第三章函数的概念与性质 单元检测（含解析）

第三章 函数的概念与性质 单元检测
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1．函数，则（ ）
A．3 B．2 C．6 D．5
2．已知函数的定义域为，满足，当，且时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数是定义在上的偶函数，在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则函数的部分图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．下列两组函数中，表示同一函数的是（ ）
（1）和；（2）和.
A．仅（1）是 B．仅（2）是 C．（1）（2）都是 D．（1）（2）都不是
8．已知函数在区间上的最小值为9，则函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．6
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9．已知为定义在上的偶函数且不是常函数，，若是奇函数，则（ ）
A．的图象关于对称 B．
C．是奇函数 D．与关于原点对称
10．下列函数值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知幂函数的图像经过中的三个点，则的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．9
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域是 .
14．已知一个奇函数与一个偶函数的和为函数，则 .
15．若是幂函数，则 ．
16．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是
四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知函数．
(1)求；
(2)当时，求x的取值范围．
18．已知函数的定义域为，且满足对任意，，有.
(1)求，的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明你的结论；
(3)当时，，解不等式.
19．已知函数.
(1)若函数的值域是，求实数的值；
(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(3)是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
20．已知函数是定义在区间上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明.
21．已知幂函数的定义域为全体实数R．
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围．
22．新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本）
(2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
数学参考答案
1．C
【分析】直接根据分段函数解析式，代入计算即可．
【详解】由分段函数解析式得，，
故选：C．
2．D
【分析】由题意可得函数的图象关于对称，且在上是减函数，根据函数的对称性的单调性比较大小即可.
【详解】因为，所以函数的图象关于对称，
因为当，且时，恒成立，
所以函数在上是减函数，
又，，且，
所以.
故选：D.
3．B
【分析】利用偶函数的性质，分段解不等式即得.
【详解】函数是上的偶函数，在上是严格减函数，则在上是严格增函数，，
不等式化为：或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：B
4．D
【分析】根据的正负，确定的正负，从而根据的单调性得答案.
【详解】因为，所以或，
对A、D：由得，此时与在定义域上单调递减，
所以在定义域上是减函数，故A错误，D正确；
对B、C：由得，此时与在定义域上单调递增，
所以在定义域上是增函数，故B、C均错误；
故选：D
5．D
【分析】借助配凑法即可解答．
【详解】由，得．
故选：D
6．B
【分析】根据的定义域即可得出的定义域.
【详解】因为的定义域为，
所以令，得，
所以的定义域为.
故选：B
7．A
【分析】根据函数的定义域和解析式是否相同判断即可.
【详解】对于（1），两个函数定义域都为，化简后两个函数都为，
所以（1）中两个函数是同一个函数；
对于（2），的定义域是，
的定义域为或，定义域不一致，所以不是同一个函数.
故选：A
8．C
【分析】构造函数，易知为奇函数，根据已知条件确定在上的最小值为9，再根据奇函数的性质判断在上的最大值，最终确定函数在区间上的最大值.
【详解】由题可设，，其定义域为，
易知：，则为奇函数，
又因为函数在区间上的最小值为9.
则在区间上的最小值为
由奇函数对称区间上的单调性相同：故在区间上的最大值为.
所以在区间上的最大值为.
故选：C
9．ABC
【分析】根据偶函数和函数对称性的定义可判断A选项；利用函数的周期性可判断B选项；利用奇函数的定义可判断C选项；利用对称性定义可判断D选项.
【详解】对于选项A，因为是奇函数，所以，
即，整理得2，
所以的图象关于对称，故A正确；
对于选项B，因为为偶函数，所以，
所以，所以，故B正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，因为，所以与关于轴对称，不关于原点对称，故D错误.
故选：ABC.
10．BD
【分析】根据一次函数的性质，可直接判断；根据，可判断；对于，函数解析式分离常数后即可求出值域，进而可判断；根据基本初等函数的单调性可判断.
【详解】因为函数的值域为,故错误；
因为，
故函数的值域为，故正确；
因为，
故函数的值域为，则错误；
因为函数在上均单调递增，
所以当时，有最小值，
故函数的值域为，故正确，
故选：
11．ABD
【分析】利用函数的奇偶性和周期性结合赋值法判断各选项
【详解】因为函数为奇函数，所以，A正确；
由为偶函数，得，即，B正确；
由为奇函数，得，所以，即，C错误．
由上可知，则，则，所以，D正确．
故选：ABD
12．BC
【分析】设，利用幂函数的性质知，点一定在幂函数图像上，再分别讨论过三点，过三点，过三点，即可求出结果.
【详解】设，因为，
由幂函数的性质可知的图像必定经过点,
若的图像经过三点，由，得为正奇数，
则的解析式可能为，有，此时；
若的图像经过三点，由，得，
则，有，此时；
若的图像经过三点，由，得到，，此时不在图像上，即的图像不同时经过三点，
故选：BC.
13．
【分析】利用二次根式的意义计算即可.
【详解】由题意可知，
即函数的定义域为.
故答案为：
14．
【分析】按题意列方程即可
【详解】记，按题意有，
又，
解得，
故答案为：.
15．2
【分析】根据幂函数的定义列方程来求得的值.
【详解】令，得，解得．
故答案为：
16．10
【分析】由题意，设该厂月获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可.
【详解】由题意，设该厂月获利为元，则：
，
当工厂日获利不少于1 000元时，即，
即，
解得：.
故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.
故答案为：10
17．【详解】（1）因为时，，所以；
因为时，，所以；
即；
（2）由，得或，
解得或，
所以x的取值范围是．
18．【详解】（1）令，则，
令，则.
（2）为偶函数，证明如下：
令，则，又函数定义域为，
所以为偶函数.
（3）令，则，且，
所以，即，
故在上递增，又为偶函数，则在上递减，
由，则，
所以不等式解集为.
19．【详解】（1）函数，值域是，
且二次函数图象是抛物线，开口向下，
有且只有一个值，
即，
解得或；
的值为0或4.
（2）函数图象是抛物线，开口向下，对称轴是；
要使在上是单调递减的，应满足；
的取值范围是.
（3）当，即时，在上是减函数，
若存在实数，使在上的值域是，
则有，即，解得不存在；
当，即时，在上是增函数，
则有，即，解得；
当，即时，在上先增后减，
所以在处取最大值；
，
解得或6（不满足条件，舍去）；
综上，存在实数，使在上的值域恰好是.
20．【详解】（1）函数是定义在区间上的奇函数,
所以，解得，
由，解得，
所以，
此时，满足为奇函数，
故.
（2）函数在上单调递增，证明如下：
设任意，且，
则,
，且，
，即，，又，，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
21．【详解】（1）因为为幂函数，
所以，解得或，
又时，，定义域不为R，舍去，
所以，.
（2）由（1）得，，在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
当时,，显然成立；
当x时，得在x时恒成立，
由对勾函数的性质得，在x时单调递减，
所以，所以，
所以实数k的取值范围为.
22．【详解】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元，
总成本为，
所以
.
所以年利润.
（2）由（1）当时，
（百辆）时（万元），
当时，
当且仅当（百辆）时，
因为2820万元万元,
所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元.