1.1.1 全等三角形及等腰三角形的性质 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
第1章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 全等三角形及等腰三角形的性质
教学目标
1.掌握证明的基本步骤和书写格式
2.学会用综合方法证明等腰三角形的性质
重点难点
1.通过“探索-发现-猜想-证明”的过程发现等腰三角形的性质
2.掌握证明的步骤
提出问题，导入新课
在七年级下学期《三角形》一章中，我们学习了有关三角形全等的几条公理、定理，同学们还记得吗？
SSS
SAS
ASA
AAS
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
公理应用，探求新知
SSS、SAS、ASA是公理，不需要证明，是证明其他定理的基本依据，而AAS不是公理，需要证明，你能运用公理证明AAS吗？
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
公理应用，探求新知
已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180° (三角形的内角和等于 180°)，
∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E).
∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)，
∴∠C =∠F (等量代换).
∵ BC = EF (已知)，
∴△ABC≌△DEF (ASA).
F
E
D
C
B
A
问题引领，归纳新知
我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，那么，除了有两边相等外，等腰三角形还有哪些性质呢？比如两底角有何数量关系？你能证明你的结论吗？
等腰三角形的两底角相等.
问题引领，归纳新知
实验验证法：
（1）对折法；（2）量角法；（3）剪角重合法.
猜想的结论仅靠验证是不够的，还需要逻辑推理进行理论证明.怎样进行理论证明呢？回想一下证明的要求和步骤吧！
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.
求证： ∠B = ∠C.
证明：
作底边的中线 AD，则 BD = CD.
AB = AC ( 已知 )，
BD = CD ( 已作 )，
AD = AD (公共边)，
∴△BAD≌△CAD (SSS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
在 △BAD 和 △CAD 中，
方法一：作底边上的中线
问题引领，归纳新知
A
B
C
D
问题引领，归纳新知
（1）可以作顶角的平分线；
（2）作底边上的高.
在证明等腰三角形的两底角相等时，是通过作辅助线构造两个全等三角形达到证明两底角相等的目的.刚才的辅助线是作底边上的中线，那么还可以怎样作辅助线也能达到目的？
A
B
C
D
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
AB = AC ( 已知 )，
∠BAD = ∠CAD ( 已作 )，
AD = AD (公共边)，
∴△BAD ≌ △CAD (SAS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在 △BAD 和 △CAD 中，
问题引领，归纳新知
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
方法三：过点A作底边BC上的高，交BC于D ，
在Rt △ABD和Rt △ACD中，
∵ AB=AC， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （HL）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
A
B
C
D
问题引领，归纳新知
想一想：由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B =∠C 之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
由△BAD≌△CAD，
可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD.
又∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.
故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
A
B
C
D
问题引领，归纳新知
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图，在 △ABC 中，
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
证明后的定理和推论，以后可以直接运用.
总结归纳
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
A
C
B
D
1
2
∵ AB = AC，∠1 =∠2 (已知)，
∴ BD = CD，AD⊥BC (等腰三角形三线合一).
∵ AB = AC，BD = CD (已知)，
∴∠1 =∠2，AD⊥BC (等腰三角形三线合一).
∵ AB = AC，AD⊥BC (已知)，
∴ BD = CD，∠1 =∠2 (等腰三角形三线合一).
综上可得：如图，在△ABC 中，
总结归纳
练习巩固，提高能力
1.在△ABC 中，AB= AC.
（1）若∠A=40°，则∠C等于多少度？
（2）若∠B=72°，则∠A等于多少度？
解：（1）∵ AB= AC，∴ ∠B= ∠C.
又∠A=40°，∴ ∠B= ∠C=70°.
（2） ∵ AB= AC，∴ ∠B= ∠C.
又∠B=72° ， ∴ ∠C =72° ，
∴ ∠A= 36°.
2. 如图，已知 AB＝AE，∠BAD ＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．
练习巩固，提高能力
3. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为
__________；
(2) 等腰三角形一个角为 36°，它的另外两个角为
______________________；
(3) 等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 ________.
75°，30°
72°，72°，或 36°，108°
30°，30°
结论：在等腰三角形中，注意对角的分类讨论.
练习巩固，提高能力
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS).
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
课后作业
教材习题1.1第2，3，4题.
小结与反思
这节课你学到了什么？谈谈你的收获，