1.1.2 等边三角形的性质 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
第1章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
教学目标
1.了解等腰三角形中线、高线、角平分线的性质
2.掌握等边三角形的性质
重点难点
1.等边三角形的性质
2.用等腰、等边三角形的性质解决实际问题
提出问题，导入新课
上节课我们学习了等腰三角形，你能说出等腰三角形的性质吗？
等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）.
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）.
提出问题，导入新课
试猜想等腰三角形的两底角的平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？
证明猜想，探求新知
如图，在△ABC 中，AB = AC，BD 和 CE 是角平分线．
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：
求证：
BD = CE.
A
C
B
E
1
2
D
∵ AB = AC (已知)，
∴∠ABC =∠ACB (等边对等角).
证明：
∠2 = ∠ACB (已知)，
又∵∠1 = ∠ABC，
∴∠1 =∠2 (等式性质)．
在 △BDC 与 △CEB 中，
∠DCB =∠ EBC (已知)，
BC = CB (公共边)，
　∠1 =∠2 (已证)，
∴
△BDC≌△CEB (ASA)．
∴
BD = CE (全等三角形的对应边相等)．
A
C
B
E
1
2
D
证明猜想，探求新知
例2 证明：等腰三角形两腰上的中线相等.
已知：如图，在△ABC 中， AB= AC，BD和CE是△ABC 的两腰上的中线.
求证：BD=CE.
A
B
C
D
E
证明猜想，探求新知
证明猜想，探求新知
A
B
C
D
E
证明： ∵ AB=AC，
∴ ∠ABC= ∠ACB（等边对等角）.
∵ BD和CE是△ABC两腰上的中线，
∴CD= AC，BE= AB，∴CD= BE.
在△BDC 和△CEB 中，
∠ACB= ∠ABC， BC=CB，CD= BE ，
∴ △BDC≌△CEB（SAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
证明猜想，探求新知
例3 证明： 等腰三角形两腰上的高相等．
BP = CQ．
求证：
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，BP，CQ 是
△ABC 两腰上的高．
证明：
∵ AB = AC (已知)，∴∠QBC =∠PCB.
在△BQC 与△CPB 中，
∵∠BQC =∠CPB，∠QBC =∠PCB，BC = CB，
∴△BQC≌△CPB (AAS).
∴ BP = CQ.
A
C
B
P
Q
变式训练，开拓思路
如果把等腰三角形两底角的平分线（二等分线）换成三等分线、四等分线，你能得到一个什么结论？如图.
A
B
C
D
E
AB=AC，∠CBD = ∠ABC，∠ ECB = ∠ACB，则BD与CE有何数量关系？
BD=CE
如何证明呢？
变式训练，开拓思路
2. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
(1) 如果 AD = AC，AE = AB，
那么 BD = CE 吗？ 为什么？
A
C
B
D
E
BD = CE
(2) 如果 AD = AC，AE = AB，
那么 BD = CE 吗？ 为什么？
BD = CE
如何证明
归纳新知
分别将等腰三角形底边两端点与腰上某一点相连，如果两条连线与底边所夹的角相等，那么这两条连线段相等.
两腰上和顶点等距的两点到对角顶点的距离相等.
思维迁移
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
A
B
C
思维迁移
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
证明：在△ABC 中，
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
同理∠A =∠B.
又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)，
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
思维迁移 总结归纳
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
练习巩固，提高能力
A
C
B
D
E
1.如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC
的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是
cm.
练习巩固，提高能力
证明：∵△ACM 和△BCN 都为等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60°.
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，
即∠ACN＝∠MCB.
∵ CA＝CM，CB＝CN，
∴△CAN≌△CMB (SAS).
∴ AN＝BM.
2. 如图所示，△ACM 和 △BCN 都为等边三角形，连接 AN、BM，求证：AN = BM.
练习巩固，提高能力
3.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
A
B
D
C
E
练习巩固，提高能力
解：∵ △ADE是等边三角形，
∴ AD=DE=AE， ∠ADE= ∠DEA= ∠DAE =60°.
∵ D，E是BC的三等分点，
∴ BD=DE=EC，∴BD=AD，
∴ ∠ABD= ∠BAD= 30°（三角形的外角性质）.
同理， ∠ ACE= ∠CAE= 30°.
∴ ∠BAC= ∠BAD+ ∠DAE+ ∠BAD
= 30°+ 60°+ 30°
=120°.
A
B
D
C
E
课堂小结
等腰三角形两底角上的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：
底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
课后作业
教材第7页习题1.2第1，2，3题.
小结与反思
这节课你学到了什么？谈谈你的收获，