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浙教版2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟卷（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知，：：，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第8题） （第9题） （第10题）
2．如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE＝DE，∠B＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．80°
3．已知，，，，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（ ）．
A． B． C． D．
5． 在 Rt 和 Rt 中， ， 若添加一个条件， 使得 Rt Rt ，则下列条件中不符合要求的是 （ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的抛物线y=x2-ax-4的对称轴为直线x=2，则下列各点在这条抛物线上的是（ ）
A．(3，4) B．(-2，-8)
C．(4，4) D．( ， )
7．我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c＝0；④a+b+c＞0．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，是等边三角形ABC的边AB上一点，且.现将折叠，使点与点重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF等于（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知抛物线y=-x2-6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是
12． 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 寸．
（第12题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
13．三个正方形方格和扇形的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形的面积为 ．
14．如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．若，则 的值为 ．
15．如图，在矩形中，已知，如果将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、，如果，那么的长为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“世”、“界”、“杯”的三个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“杯”的概率；
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“世界”的概率．
18．如图，图、图、图均为的正方形网格，线段的端点均在格点上，按要求在图、图、图中各画一条线段，将线段分为：两部分．
要求：（1）所画线段的位置不同．（2）点、均在格点上．
19．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线.已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
（1）求乙山处到河边的垂直距离；
（2）求河的宽度.（结果保留整数）
20．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：.设这种产品每天的销售利润为y（元）.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．如图所示， 以平行四边形的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F， 延长交于点G.
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积.
22．如图所示，抛物线经过点，点，与轴交于点，连接，点是线段上不与点、重合的点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为点设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
23．如图
（1）如图1，在 中，D为AB上一点， ．求证： ；
（2）如图2，在□ 中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点， ．若 ， ，求AD的长．
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是 内一点， ， ， ， ， ，求DF的长．
24．如图1：在 中， ， 为 边上一点（不与点 ， 重合），试探索 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论.
小明同学的思路是这样的：将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， .继续推理就可以使问题得到解决.
（1）请根据小明的思路，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在 中， ， 为 外的一点，且 ，线段 ， ， 之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知 是 的直径，点 ， 是 上的点，且 .
①若 ， ，求弦 的长为 ；
②若 ，求 的最大值，并求出此时 的半径.
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浙教版2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟卷（2）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知，：：，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，BC：CE=3：4，
∴
,
∴
解得：DF=12,
故答案为：B.
2．如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE＝DE，∠B＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．80°
【答案】C
【解析】∵BE＝DE，∠B＝40°，
∴∠D＝∠B＝40°，
∴∠A＝∠D＝40°，
故答案为：C．
3．已知，，，，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，
∴AB＝＝，∴sinA＝＝，
tanA＝， tanB＝，
cosB＝＝，故C符合题意．
故答案为：C．
4．一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 画树状图如图.
∵共有16种等可能的结果，两次摸出红球的有9种情况，
∴两次摸出红球的概率为 .
故答案为：D.
5． 在 Rt 和 Rt 中， ， 若添加一个条件， 使得 Rt Rt ，则下列条件中不符合要求的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A：若添加，即可根据两角对应相等的两个三角形相似证得Rt Rt ，所以A符合条件；；
B：若添加，即可根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似证得Rt Rt ，所以B符合条件；
C：若添加，即可根据两角对应相等的两个三角形相似证得Rt Rt ，所以C符合条件；
D：：若添加，不能判定Rt Rt ，所以D不符合条件；
故答案为：D.
6．已知关于x的抛物线y=x2-ax-4的对称轴为直线x=2，则下列各点在这条抛物线上的是（ ）
A．(3，4) B．(-2，-8) C．(4，4) D．( ， )
【答案】D
【解析】 关于 的抛物线 的对称轴为直线 ，
，解得 ，
则抛物线的解析式为 ，
当 时， ，则点 不在这条抛物线上，
当 时， ，则点 不在这条抛物线上，
当 时， ，则点 不在这条抛物线上，
当 时， ，则点 在这条抛物线上，
故答案为：D．
7．我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接OA，交BF于点P，如图所示：
∵正六边形
∴，
在Rt △APF中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c＝0；④a+b+c＞0．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【解析】①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故①正确；
②∵对称轴为直线x=1，∴-=1，∴b=-2a，∴2a+b=0，故②错误；
③当x=-2时y=4a-2b+c＜0，故③错误；
④当x=1时y=a+b+c＞0，故④正确；
∴正确的是①④，
故答案为：D.
9．如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
10．如图所示，是等边三角形ABC的边AB上一点，且.现将折叠，使点与点重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵AD∶DB=1∶2，
∴设AD=a，则BD=2a，AB=3a，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=3a，∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠得CE=DE，CF=DF，∠C=∠EDF=60°，
∵∠A+∠AED=∠EDF+∠FDB，即60°+∠AED=60°+∠FDB，
∴∠AED=∠FDB，
∴△ADE∽△BFD，
∴，
设CE=x，则ED=x，AE=3a-x，
设CF=y，则DF=y，FB=3a-y，
∴，
∴，
∴，即.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知抛物线y=-x2-6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是
【答案】m<-9
【解析】∵抛物线y=-x2-6x+m与x轴没有交点，
∴
∴ 36+4m＜0
∴ m＜-9
则 m的取值范围是 m＜-9
故答案为：m＜-9.
12． 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 寸．
【答案】26
【解析】弦CDAB，AB为⊙O的直径，
E为CD的中点，
又CD=10寸，
CE=DE=CD=5寸，
设OC=OA=m寸，则AB=2m寸，OE=（m-1）寸，
由勾股定理得：
解得m=13，
AB=26寸.
13．三个正方形方格和扇形的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形的面积为 ．
【答案】
【解析】连接OC，
由勾股定理得：，
由正方形的性质得：，
所以扇形的面积为：，
故答案为：．
14．如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．若，则 的值为 ．
【答案】
【解析】由题意可得：
在Rt△DEF中，
设DE=a，EF=3a，
∵沿折叠为
∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF
∴
∴
故答案为：
15．如图，在矩形中，已知，如果将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、，如果，那么的长为 ．
【答案】
【解析】如图，连接，
四边形为矩形，
，，
为的中点，
，
将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、，
，，
在中，，
，
，，
，
又，
，
，即，
，
；
故答案为：．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为
【答案】
【解析】 如图，
已知∠ACB=90° ，AC=3，BC=4，得AB=5．
又CD⊥AB，可得CD=．
易证△ABC∽△ACD∽△CBD，得，BD=
过点E作EG∥AB，交CD于点G．由平行线分线段成比例，得DG=CD= ，EG=
由EG∥AB得，△AFD∽△EFG，
∴，即，
解得DF=
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“世”、“界”、“杯”的三个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“杯”的概率；
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“世界”的概率．
【答案】（1）解：由题意可知，口袋中只有“世”、“界”、“杯”三种情况，
故球上的汉字刚好是“杯”的概率P= .
（2）解：列表如下：
世 界 杯
世 世、界 世、杯
界 界、世 界、杯
杯 杯、世 杯、界
∴P=
18．如图，图、图、图均为的正方形网格，线段的端点均在格点上，按要求在图、图、图中各画一条线段，将线段分为：两部分．
要求：（1）所画线段的位置不同．（2）点、均在格点上．
【答案】解：如图，线段即为所求．
19．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线.已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
（1）求乙山处到河边的垂直距离；
（2）求河的宽度.（结果保留整数）
【答案】（1）解：如图，过B作于点F，
∵乙山的坡比为，
∴，
设米，则米，
∴（米），
又米，
∴，
∴，
∴米，
答：乙山B处到河边的垂直距离为360米；
（2）解：过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，
，
∴米，，
∴（米），
∵从B处看A处的俯角为，
∴，
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米），
由（1）可知，米，
∴（米），
答：河的宽度约为195米.
20．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：.设这种产品每天的销售利润为y（元）.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴当时，y有最大值200.
故当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润为200元.
21．如图所示， 以平行四边形的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F， 延长交于点G.
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积.
【答案】（1）证明：连接.
∵A为圆心，∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
过点A作于点H，
则，
∴，，
∴.
22．如图所示，抛物线经过点，点，与轴交于点，连接，点是线段上不与点、重合的点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为点设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）解：，分别代入得，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）把代入得，
，
设所在直线解析式为，
把，代入得：
，
解得，
，
设，则，，
，
，，
，
轴，
，
又，
，
，
当时，有最大值为．
23．如图
（1）如图1，在 中，D为AB上一点， ．求证： ；
（2）如图2，在□ 中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点， ．若 ， ，求AD的长．
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是 内一点， ， ， ， ， ，求DF的长．
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：延长EF交DC延长线于G，
∵AC∥EF，
∴AC∥EG，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DG， ，
∴四边形AEGC是平行四边形，
∴ ， ，AC∥EG， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
令 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
即 ，
∴ ．
24．如图1：在 中， ， 为 边上一点（不与点 ， 重合），试探索 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论.
小明同学的思路是这样的：将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， .继续推理就可以使问题得到解决.
（1）请根据小明的思路，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在 中， ， 为 外的一点，且 ，线段 ， ， 之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知 是 的直径，点 ， 是 上的点，且 .
①若 ， ，求弦 的长为 ；
②若 ，求 的最大值，并求出此时 的半径.
【答案】（1）解： ，
理由：由旋转知， ， ，
，
，
，
， ，
在 中， ，
，
，
，
根据勾股定理得， ，
在 中， ，
；
（2）解： ，
理由：如图2，
将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ，
同（1）的方法得， ，
，在 中， ，
，
，
，
，
根据勾股定理得， ，
即： ；
（3）；解：如图3，过点 作 交 的延长线于 ， ， ， ， ， 根据勾股定理得， ， 连接 ， ， 是 的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，由①知 ， ， 当 时， 的最大值为 ， ， ， 在 中，根据勾股定理得， ， 的半径为 .
【解析】（3）① ， ，
，
，
，
故答案为： ；
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