中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1． 已知 ， 则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
2．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为α，高为h米，扶梯的长度是（ ）
A． B．hcosα C．hsinα D．
（第2题） （第4题） （第5题） （第6题） （第8题）
3．暗箱中有大小质量都相同的红色，黑色小球若干个，随机摸出红球的概率是，已知黑色小球有个，则红球的数量为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
5．如图△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D， 则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
6．如图，为圆O的直径，C为圆O上一点，过点C作圆O的切线交的延长线于点D，，连接，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2 B． C．﹣2或2 D．2
8．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（ ）
A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2
9．如图，在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，则EF的长为（ ）
A．5 B．2 C．2 D．4
10．二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w＝s﹣t，（s为常数）则w的值（ ）
A．与p、q的值都有关 B．与p无关，但与q有关
C．与p、q的值都无关 D．与p有关，但与q无关
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则tan∠CBE=
（第12题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
13．在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为 .
14．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1.设经过格点A、B、E三点的圆弧与线段交于点D，则弧的弧长为 .
15．如图，在△ABC中，AC>AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于点G，交AE于点F，交AC于点M， EG的延长线交AB于点H，若∠BAC=60°，则 =
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接AC，BC．已知点E坐标为，点D在线段AC上，且．则四边形BCDE面积的大小为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球.
（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率.
（2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率.
18．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
19．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中的边上确定一点D，连结，使得；
（2）在图②中的边上确定一点E，连结，使得；
（3）在图③中的边上确定一点M，边上确定一点N，连结，使得．
21．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点是第四象限内抛物线上一动点，连接，，求的面积的最大值；
（3）当时，抛物线有最小值5，求的值．
22．如图1，在中，，，点D是边上一动点，连接，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，，点M是的中点．
（1）若，求四边形的面积；
（2）在（1）的条件下，求当点D从点B运动至点C的过程中，点M运动的路径长．
（3）如图2，连接并延长交射线于点F，设，，求y与x之间的函数关系式．
23． 定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形.
图1 图2 图3
（1）如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分，，求证：和为叠似三角形；
（2）如图2，和为叠似三角形，若，，，求四边形ABCD的周长；
（3）如图3，在中，D是BC上一点，连结AD，点E在AD上，且，F为AC中点，且，若，，求的值.
24．如图, 为 的直径， 为 上的点，连接 平分 ．
（1）求证： ；
（2）如图，过点 作 ，垂足为 ，延长 与 交于点 ，求证：
（3）在（2）的条件下，若 ，求线段 的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1． 已知 ， 则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】∵已知 ， ∴
∴
故答案为：D.
2．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为α，高为h米，扶梯的长度是（ ）
A． B．hcosα C．hsinα D．
【答案】D
【解析】设扶梯的长度为x米，
根据题意，sinα＝
解得x＝
故答案为：D
3．暗箱中有大小质量都相同的红色，黑色小球若干个，随机摸出红球的概率是，已知黑色小球有个，则红球的数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵暗箱中有大小质量都相同的红色，黑色小球若干个，随机摸出红球的概率是，
∴随机摸出黑球的概率是：
∴暗箱中小球总数为：
∴暗箱中红色小球的数量为：
故答案为：C.
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【解析】∵ AB是⊙O的直径 ，∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=20°，
∴∠A=90°-∠ABD=70°，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°.
故答案为：C.
5．如图△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D， 则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】B
【解析】连接CD，如图所示，
∵∠C＝90°，∠B＝20°，
∴∠A=90°-∠B=70°，
∵AC=DC，
∴∠CDA=∠A=70°，
∴∠ACD=180°-70°-70°=40°，
∴的度数为40°。
故答案为：B.
6．如图，为圆O的直径，C为圆O上一点，过点C作圆O的切线交的延长线于点D，，连接，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ， ，
∵ ， 为圆O的直径，
∴ ， ，
∵ 是圆O的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
故答案为：C；
7．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2 B． C．﹣2或2 D．2
【答案】C
【解析】由题意可得：二次函数的解析式为：，
∴，
解得：，，
综上所述：m的值为：-2或2，
故答案为：C.
8．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（ ）
A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2
【答案】D
【解析】连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．∴ ，
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3cm，∴ ，
∴ ，
∵OB=OC，OF⊥BC，∴BF=CF，
∴
∴ ，
故答案为：D．
9．如图，在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，则EF的长为（ ）
A．5 B．2 C．2 D．4
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠EPB+∠CPF＝90°，∠CPF+∠CFP＝90°，
∴∠EPB＝∠CFP，
∴△EPB∽△PFC，
∴ ＝ ，
∵PB＝CP，BE＝2，CF＝3，
∴BP＝PC＝ ，
∴PE＝ ＝ ＝ ，PF＝ ＝ ＝ ，
∴EF＝ ＝ ＝5，
故答案为：A．
10．二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w＝s﹣t，（s为常数）则w的值（ ）
A．与p、q的值都有关 B．与p无关，但与q有关
C．与p、q的值都无关 D．与p有关，但与q无关
【答案】D
【解析】∵二次函数y＝x2+px+q＝（x+ ）2+ ，
∴该抛物线的对称轴为x＝﹣ ，且a＝1＞0，
当x＝﹣ ＜0，
∴当x＝1时，二次函数有最大值为：1+p+q＝8，即p+q＝7，
∴当x＝0时，二次函数有最小值为：q＝t，即t＝7﹣p，
当x＝﹣ ＞1，
∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q＝8，
∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q＝t，即t＝9+p，
当0≤﹣ ＜
此时当x＝1时，函数有最大值1+p+q＝8，
当x＝﹣ 时，函数有最小值q﹣ ＝t，即t＝7﹣p﹣，
＜﹣ ≤1，当x＝0时，函数有最大值q＝8，当x＝﹣ 时，函数有最小值q﹣ ＝t，即t＝8﹣ ，
x＝﹣ ＝ ，当x＝0或1时.函数有最大值q＝8，
当x＝﹣ 时，函数有最小值q﹣ ＝t，即t＝8﹣
∵w＝s﹣t，
∴w的值与p有关，但与q无关，
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为 ．
【答案】（-1，0）
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为（3，0），
∴点Q的横坐标为1×2-3=-1，∴点Q的坐标为（-1，0）．
故答案为：（-1，0）．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则tan∠CBE=
【答案】
【解析】设BC的中点为O，连接AO，交BE于F．由于AB、AE分别切⊙O于B、E，
则AB=AE，且∠BAF=∠EAF．
又∵AF=AF，∴△ABF≌△AEF．∴AO垂直平分BE．
在Rt△ABO中，BF⊥AO，则∠FBO=∠BAO，
易知BO=2，AB=5，
∴tan∠BAO=tan∠CBE=．
13．在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为 .
【答案】2
【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD=∠ABC= （6-2）×180°=120°，AB=BC=CD，
∴∠BAC=∠ACB=∠CBD=∠CDB=（180°-120°）=30°，
∠ABM =90°，
设 则
故答案为：2.
14．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1.设经过格点A、B、E三点的圆弧与线段交于点D，则弧的弧长为 .
【答案】
【解析】连接，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴弧所对的圆心角为，
∴的长，
故答案为.
15．如图，在△ABC中，AC>AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于点G，交AE于点F，交AC于点M， EG的延长线交AB于点H，若∠BAC=60°，则 =
【答案】
【解析】 解：延长EH到P，使GH=HP，连接AP和BP，
∵BF⊥AD，
∴∠ABG+∠BAG=90°，∠AMG+∠MAG=90°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAG=∠MAG，
∴∠ABG=∠AMG，
∴AB=AM，
∴BG=MG，
∵BE=EC，
∴GE∥AC，
∴AH=BH，
∴四边形APBG是平行四边形，
∴AP=BG，AP∥BG，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵∠BAC=60°，AD是角平分线，
∴∠BAG=30°，
在Rt△ABG中，=tan30°=，
∴.
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接AC，BC．已知点E坐标为，点D在线段AC上，且．则四边形BCDE面积的大小为 ．
【答案】
【解析】∵二次函数y=x2+2x-3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点；
故将y=0代入y=x2+2x-3得：x2+2x-3=0，
解得：x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
将x=0代入y=x2+2x-3得：y=-3，
∴C（0，-3）；
设AC所在直线的解析式为y=kx+b，
将A（-3，0），C（0，-3）代入得：
，
解得：，
故AC所在直线的解析式为y=-x-3；
设D（x，-x-3）（-3＜x＜0），
∵A（-3，0），D（x，-x-3）；
∴，
即；
解得：
∴；
∵，A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）；
∴；AB=4，OC=3；
∴；
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球.
（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率.
（2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率.
【答案】（1）解：由题意可知，布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球，
所以从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率为；
（2）解：根据题意画出相应树状图如下，
由树状图可知，共有9中等可能结果，其中摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的有4种结果，
∴摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为.
18．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
．
平分，
，
又，
，
，
，
是切线；
（2）解：如图，取中点，连接，
于点．
四边形是矩形，
，
．
在中，，
，
在中，，，
，
的长是．
19．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【答案】（1）解：在Rt△EFH中，∵∠H=90°，
∴tan∠EFH=i=1：0.75= = ，
设EH=4x，则FH=3x，
∴EF= =5x，
∵EF=15，
∴5x=15，x=3，
∴FH=3x=9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m
（2）解：∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，
H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9，
∴日照间距系数=L：（H﹣H1）= ，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴ ≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中的边上确定一点D，连结，使得；
（2）在图②中的边上确定一点E，连结，使得；
（3）在图③中的边上确定一点M，边上确定一点N，连结，使得．
【答案】（1）解：如图①，点D即为所求．
；
（2）解：如图②，点E即为所求；（3）解：如图③，点M，N即为所求．
21．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点是第四象限内抛物线上一动点，连接，，求的面积的最大值；
（3）当时，抛物线有最小值5，求的值．
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
又∵
∴；
（2）解：过点作轴交于点，
当时，，
∴点，
设直线的表达式为，
把和代入得：
，解得
∴直线的表达式为，
设点， 则点，
∴，
∵，
∴有最大值，最大值为；
（3）解：∵，
即抛物线的最小值是，
即和不可能在抛物线对称轴两侧；
当时， 即，
则时，抛物线取得最小值，
即，
解得：(舍去)或，
即；
当时， 即，
则时， 抛物线取得最小值，
即，
解得：或(舍去)，
综上，或；
22．如图1，在中，，，点D是边上一动点，连接，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，，点M是的中点．
（1）若，求四边形的面积；
（2）在（1）的条件下，求当点D从点B运动至点C的过程中，点M运动的路径长．
（3）如图2，连接并延长交射线于点F，设，，求y与x之间的函数关系式．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵，∴，
∵把绕点A逆时针旋转，得到，∴，，
∴，
∴，∴，∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴点M在的垂直平分线上，
如图，延长，交于点H，过点M作的垂直平分线，交于点F，交于点G，
∵垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
即F为的中点，
∵，为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
即G为的中点，
∴当点D在点B时，点M在点F处，点D在点C处时，点M在点G处，
∴点D在边上运动时，点M的运动轨迹为线段，
∴点M运动的路径长为；
（3）解：连接，，如图所示：
根据解析（2）可知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴，
，
即．
23． 定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形.
图1 图2 图3
（1）如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分，，求证：和为叠似三角形；
（2）如图2，和为叠似三角形，若，，，求四边形ABCD的周长；
（3）如图3，在中，D是BC上一点，连结AD，点E在AD上，且，F为AC中点，且，若，，求的值.
【答案】（1）证明：∵AC平分，∴，
∵，
又∵中，，
∴……1分
∴，
∴和为叠似三角形.
（2）解：∵，∴，
∵和为叠似三角形，
∴，∴，
∴……3分
∵和为叠似三角形，
∴，
∴，，
∴，∴，
∵，，∴……4分
∴.
（3）解：延长EF至点M，使，连结CM.
∵F为AC中点，∴，
∵，∴
∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴
∴，
∵，，∴
∴，即，
∴.
24．如图, 为 的直径， 为 上的点，连接 平分 ．
（1）求证： ；
（2）如图，过点 作 ，垂足为 ，延长 与 交于点 ，求证：
（3）在（2）的条件下，若 ，求线段 的长．
【答案】（1）解：如图，连接BC，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，即 ；
（3）解：如图，过点D作 于点M，过点D作 的延长线于点N，延长CO交 于点K，连接AD、FK，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ， ，
∴ ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
