2023-2024学年天津市北辰区南仓中学高一上学期教学质量过程性检测与诊断数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市北辰区南仓中学高一上学期教学质量过程性检测与诊断数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设全集为，集合，，则集合( )
A. B. 或
C. D. 或
2.对于命题：，则命题的否定为
( )
A. B.
C. D.
3.设，则“”是“”的
( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
4.已知，，，则
( )
A. B. C. D.
5.已知则的函数值为
( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致形状是
( )
A. B.
C. D.
7.已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为
( )
A. B. C. 或 D.
8.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是
A. B. C. D.
9.已知函数，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
10.函数的定义域为 ．
11.不论且为何值，函数的图象一定经过点，则点的坐标为 ．
12.求的值是 ．
13.已知，，求 ．
14.已知，，且，则的最小值为 ____．
15.已知，对于任意的，都存在，使得成立，其中，则的范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
已知集合，求：
；
；
．
17.本小题分
已知，求的最小值；
已知，求的最小值；
已知，求的最小值．
18.本小题分
已知函数．
根据绝对值和分段函数知识，将写成分段函数；
在下面的直角坐标系中画出函数的图象，根据图象，写出函数的单调区间、值域．不要求证明；
若在区间上，满足，求实数的取值范围．
19.本小题分
求不等式的解集？
20.本小题分
已知函数，且．
判断并证明函数在其定义域上的奇偶性．
证明函数在上单调递增；
设函数，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】先分别求出集合 和集合集合 ，再求出 ，与集合 求并集即可．
【详解】因为 ， 或 ；
； 或 ．
故选D
【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型．
2.【答案】
【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求．
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：
命题： 的否定为 ．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】先求出 的解集，再根据集合间的关系即可求解．
【详解】解：由 ，
解得： 或 ，
设 ， ，
又 ，
故“ ”是“ ”的必要非充分条件．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】平方后比较大小即可
【详解】由题意得 ， ，而 ，得 ，
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】由分段函数， ，代入运算可得解．
【详解】由题意，可得 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】本题为分段函数图像判断，写出分段函数，可根据特殊点进行判断．
【详解】函数 的定义域为 ，
，排除选项， ，排除选项．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断．
【详解】 是幂函数，
，即 ，解得 ，或 ，
又当 时， 单调递减， ，
当 时， ，不合题意，舍去；
当 ， ，符合题意，
故 ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【详解】因为 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，所以 在 上是减函数，又因为 ，
所以 ，选B．
9.【答案】
【解析】【分析】方程 有四个不同的实数根，即直线 与曲线 ，作出函数图象，即转化为 在 有两个不等实根，可得答案．
【详解】设 ，该直线恒过点 ，方程 有四个不同的实数根
如图作出函数 的图象，
结合函数图象，则 ，
所以直线 与曲线 有两个不同的公共点，
所以 在 有两个不等实根，
令 ，
实数 满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
10.【答案】
【解析】【分析】要使函数式有意义，列出不等式组求解即可．
【详解】要使 有意义，
只需满足 ，解得 且 ．
所以定义域为 ．
故答案为：
11.【答案】
【解析】【分析】根据指数函数性质可知 时，函数 过的点坐标与 无关，即可求出 ．
【详解】由题意可知，当 时，不论 为何值时 ，
此时函数 ，
所以 的图象经过点 ．
故答案为：
12.【答案】
【解析】【分析】根据根式及分数指数幂化简求解即可．
【详解】

．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】利用对数的换底公式，结合对数的运算求解即可．
【详解】解：由 ， ，
可得
，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】根据题意，将原式化为 ，再由基本不等式，即可得到结果．
【详解】因为 ， ，且 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 或 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】对双变量问题，先处理不含参部分，根据存在性问题可得 ，结合二次函数的对称性可求得最值，进而可得 ，再根据恒成立问题结合参变分离运算求解．
【详解】存在 ，使得 ，则
的对称轴为 ，则当 时， 取到最大值为
，则
任意的 ， ，则
在 上单调递增，则当 时取到最小值
故的范围是
故答案为： ．
16.【答案】因为 ，
如图，由数轴可知， ，

由中图知， ，又因为 ，
所以 或 ，
因为 ，
所以 或 ， 或 ，
如图，由由数轴可知， 或 ．


【解析】根据条件，利用并集的运算即可求出结果；
先求 ，再根据补集的运算即可求出结果；
先求出 ，再根据交集的运算即可求出结果．
17.【答案】由 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 等号成立，即 的最小值为 ．
由 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 等号成立，即 的最小值为 ．
由 ，则 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，即 的最小值 ．

【解析】由 ，化简 ，结合基本不等式，即可求解；
由 ，可得 ，化简 ，结合基本不等式，即可求解；
由 ，化简 ，结合基本不等式，即可求解．
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
18.【答案】 ．
的图象如下图所示：
由图可知： 的单调增区间为 ，单调递减区间 ，值域为： ．
由可知： 在区间 上单调递增，
由 得 ，
解得： ．

【解析】根据绝对值的知识将 写成分段函数的形式．
根据 的解析式画出 的图象，结合图象求得 的单调区间、值域．
结合函数的单调性列不等式组，由此求得 的取值范围．
19.【答案】因为 ，即 ，
令 ，解得 或 ，
当 ，即 时，则不等式的解集为 ；
当 ，即 时，则不等式的解集为 或 ；
当 ，即 时，则不等式的解集为 或 ；
综上所述：当 时，则不等式的解集为 ；
当 时，则不等式的解集为 或 ；
当 时，则不等式的解集为 或 ．

【解析】根据题意分类讨论两根的大小运算求解．
20.【答案】由 则 ，
为奇函数，证明如下：
的定义域为 ，关于原点对称，
，故 为奇函数，
任取 ，不妨设 ，
则 ，
由于 ，则 且 ，故 ，
所以 ，故 在 上单调递增，
由知 在 上单调递增，所以 ，
对于任意的 ， ， 恒成立，则 ，
故 ，
当 时， ，显然满足题意，
当 ， 为开口向上的二次函数，显然不符合 ，
当 ， 为开口向下的二次函数，所以 ，故 ，解得 ，
综上可得

【解析】根据奇偶性的定义即可判断，
根据单调性的定义即可求证，
由函数的单调性可得 ，进而根据二次型函数的性质，求解 的最值即可求解．
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