2023-2024学年浙江省杭州市六县九校联盟高一年级第一学期期中联考数学试题（含解析）

2023-2024学年浙江省杭州市六县九校联盟高一年级第一学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则
( )
A. B. C. D.
2.命题“，使得”的否定是
( )
A. ，均有 B. ，均有
C. ，有 D. ，有
3.若且，则下列不等式成立的是
( )
A. B. C. D.
4.在上定义运算，则满足的实数的取值范围
( )
A. B.
C. 或 D.
5.设函数的定义域为，，若，则等于
( )
A. B. C. D.
6.若，，记，则函数的最小值为
( )
A. B. C. D.
7.已知函数，且，那么的值为
( )
A. B. C. D.
8.已知函数的最小值为，则的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是
( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知关于的不等式的解集为，则
( )
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
11.若函数在上为单调减函数，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
12.定义在上的函数，对任意的，都有，且函数为偶函数，则下列说法正确的是
( )
A. 关于直线对称
B. 在上单调递增
C.
D. 若，则的解集为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知集合，则它的真子集有 个
14.已知函数，是偶函数，则 ．
15.已知函数的定义域为，求实数的取值范围_____．
16.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，集合．
若，求和；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知的定义域为，求的定义域．
已知，求函数的解析式．
19.本小题分
已知正数满足，求的最小值及相应的的值
已知正数满足，求的最小值．
20.本小题分
已知定义在上的奇函数，且
求函数的解析式；
判断的单调性，并证明你的结论；
解不等式
21.本小题分
中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本万元，当年产量不足台时万元；当年产量不少于台时万元若每台设备的售价为万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
求年利润万元关于年产量台的函数关系式；
年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中获利最大？
22.本小题分
已知函数
解关于的不等式；
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
由与，求出两集合的交集即可．
【解答】
解：因为，，
所以．
2.【答案】
【解析】【分析】
直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，存在量词命题与全称量词命题的否定关系，基本知识的考查．
【解答】
解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“，使得”的否定是：，均有．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题．
解决问题的关键是根据各个选项结合不等式的性质逐一分析判断即可．
【解答】
解：对于，，，正负不确定，所以不正确；
对于，，，正负不确定，所以不正确；
对于，可能为，所以有可能，所以不正确；
对于， ，正确．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题属于以新定义为平台，考查了一元二次不等式的解法，是一道基础题．
根据题中已知得新定义，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围．
【解答】
解：，
，即，解得，
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查抽象函数及其应用，抽象函数的有关命题，常采用赋值法求解，属于中档题．
函数的定义域为，若，，令，，即可求得的值，再令，可求出的值，即可求解．
【解答】
解：，，
令，，则，
所以，
令，则，
，
令，，
则．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数新概念题，考查分段函数的图象和最值，属于中档题．
根据新定义作出函数图象，结合图象即可得答案．
【解答】
解：根据题意，作出函数的图象，
如图所示：
当时，由，解得，
当时，由，解得，
所以由函数图像可知，
当或时，函数取得最小值为．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性的及应用，涉及函数值的计算，属于中档题．
根据题意，由函数的解析式可得，由此可得，分析可得答案．
【解答】解：函数，则，
则，
若，则，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数的最值，考查基本不等式的应用，属于基础题．
分析可知函数在上单调递减，利用基本不等式求出在上的最小值，进而可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围．
【解答】
解：因为函数的最小值为，则函数在上单调递减，则，且，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
由题意可得，解得．
综上，．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查必要条件的判断，属于基础题．
根据必要条件的判定逐一分析各选项即可．
【解答】
解：对于，若，当时， ，故A错误；
对于，当时可得，是的必要条件，故B正确；
对于，当时可得，是的必要条件，故C正确；
对于，若，则，是的必要条件，故D正确；
故选BCD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
由题意结合三个二次的关系可得、、的关系，再结合选项逐个验证即可．
【解答】
解：由已知可得，是方程的两根，
则由韦达定理可得：，且，解得，，所以A正确，
选项B：，B正确，
选项C：化简为，解得，C错误，
选项D：化简为：，解得，D正确．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
由分段函数的单调性可得关于的不等式组，求出的取值范围结合选项即可解．
【解答】
解：因为函数在上为单调减函数，
所以，解得，
由选项可知，可以为，．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性和单调性以及对称性，属于中档题．
根据函数的对称性和单调性逐一分析各选项即可．
【解答】
解：因为为偶函数，则关于轴对称，
故关于对称，关于直线对称，故A正确；
对任意的，都有，
所以函数在上单调递增，
又因为关于对称，所以函数在上单调递减，故B错误；
根据对称性可知，所以，故C正确；
若，则，当时，，当或时，，
则的解集为，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的真子集问题，是一道基础题．
求出集合，求出的子集即可．
【解答】
解：集合，
则它的真子集有，，共个，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查偶函数的定义和性质，注意奇偶函数的定义域关于原点对称的特点，属于基础题．
利用偶函数的定义及图象关于轴对称的特点，结合二次函数的图象的对称轴，建立关于，的方程，即可求出的值．
【解答】
解：函数，是偶函数，
，或，
，．
偶函数的图象关于轴对称，
，．
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．
把函数的定义域为转化为对任意恒成立，然后对分类讨论得答案．
【解答】
解：函数的定义域为，
对任意恒成立，
当时，不等式化为，不满足题意；
当时，则，解得．
综上，实数的取值范围是．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，属于中档题．
根据幂函数的图象与性质求出的值，然后根据函数的奇偶性和单调性求出的取值范围．
【解答】解： 幂函数在上单调递减，
，解得，
，或，
又幂函数的图象关于轴对称，
为偶函数，是偶数，，，
由，即，
即，
得，
解得或．
故实数的取值范围为．
故答案为：
17.【答案】解：当时，集合或，
集合，
，
或，
，，
当时，则，解得；
当时，则或，解得，
综上所述，或．
即实数的取值范围是，．

【解析】本题主要考查了交集、并集的运算，考查了集合间的包含关系等，属于中档题．
求出集合或，，从而能求出和；
由，得，由此能求出实数的取值范围．
18.【答案】解：函数的定义域为，
可得，
则
则中：，
解得 ，
可得的定义域为；
令，则，
则，，
所以函数的解析式为．
【解析】 本题考查复合函数的定义域及函数解析式的求法，属于基础题．
由题意得中， 则，即有，解得 ，可得的定义域．
由换元法求解，令，则，则，，从而得函数解析式．
19.【答案】解：由，得，
解得，
解得，，当且仅当时，取得最小值，
故的最小值为，此时；
解：正数满足，
所以，
则
，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
因此，的最小值为．
【解析】本题考查由基本不等式求最值，属于一般题．
利用，解不等式，即可求出结果；
本题考查由基本不等式求最值，属于一般题．
，利用基本不等式，即可求出结果．
20.【答案】解：定义在上的奇函数，则，即，解得，
又，即，解得，
当时，函数为增函数，
证明如下：设，
，
又由，则，则有，
即，即函数为增函数
由得，在上单调递增，
，是定义在上的奇函数，
，
，解得，
不等式的解集为
【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性以及利用函数单调性解不等式，属于中档题．
根据奇函数的性质求出的值，再由，求出的值，即可求解；
利用定义法进行证明；
根据函数的奇偶性和单调性进行求解即可．
21.【答案】解：Ⅰ当时，
，
当时，
，
于是．
Ⅱ由Ⅰ可知当时，
，
此时当时取得最大值为万元，
当时，
，
当且仅当即时取最大值为万元，
综上所述，当年产量为台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
【解析】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．
Ⅰ通过利润销售收入成本，分、两种情况讨论即可；
Ⅱ通过Ⅰ配方可知当时，当时取得最大值为万元，利用基本不等式可知当时，当时取最大值为万元，比较即得结论．
22.【答案】解：因为函数，
所以即为，
所以，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
综上：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
因为对任意的，恒成立，
所以对任意的，恒成立，
当时，恒成立，
所以对任意的时，恒成立，
令，当且仅当，即时取等号， 所以，
所以实数的取值范围是．
当时，，
因为，所以函数的值域是，
因为对任意的，总存在，使成立，
所以的值域是的值域的子集，
当时，， 则，解得，
当时，，
则，解得， 当时，，不成立；
综上：实数的取值范围．

【解析】本题考查一元二次不等式求解，考查一元二次不等式恒成立求参数的取值范围及存在性问题，属于较难题．
由题意可得，对进行分类讨论得出不等式的解集即可；
由不等式恒成立，对进行分类讨论分离参数转化任意的时，恒成立，进行求解即可；
求出的值域，由对任意的，总存在，使成立，可知的值域为的值域的子集，求出的取值范围即可．
第1页，共15页