人教版2023年八年级上册 第15章 分式 单元检测卷 （含解析）

人教版2023年八年级上册 第15章 分式 单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列式子中，是分式的是（　　）
A．﹣3x B． C． D．
2．要使分式有意义，x应满足的条件是（　　）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x＝﹣3
3．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．扩大3倍 C．不变 D．扩大9倍
4．下列各式是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
5．计算的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．2a﹣1
6．下列方程中，是分式方程的是（　　）
A．+＝1 B．x+＝2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1
7．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（　　）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x+2＝3（2x﹣1） D．x﹣2＝3（2x﹣1）
8．若x是自然数，则表示的值的对应点落在数轴（如图）上的范围是（　　）
A．① B．②
C．③ D．①②③均有可能
9．某列车提速前行驶400km与提速后行驶500km所用时间相同，若列车平均提速20km/h，设提速后平均速度为x km/h，所列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
10．若关于x的方程＝1的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＞3 C．m＞3且m≠1 D．m＜3且m≠1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．用科学记数法表示0.0000064＝　 　．
12．如果分式的值为零，则m的值是 　 　．
13．计算：＝　 　．
14．若＝，则分式的值为 　 　．
15．分式和的最简公分母为 　 　．
16．生产一批零件，甲乙合作10天可以完成，若甲独做15天可以完成，若乙独做要 　 　天才能完成．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算：．
18．（9分）分式计算：
（1）；
（2）；
（3）．
19．（8分）解下列方程：
（1）； （2）．
20．（6分）化简求值：，其中a＝﹣11．
21．（6分）阅读下面的解题过程：
已知：＝，求的值．
解：＝知x≠0，所以＝3，即x+＝3．
所以＝x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7．
故的值为．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知：＝，求的值．
22．（8分）某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比爽．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套少10元，用400元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）租用100套以上服装，乙商店给以每套打八折后再减200元的优惠，若该参赛队伍准备花费5000元租用一定数量的服装，则在哪家店租的套数更多？请说明理由．
23．（9分）深化理解：阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴解得：．
∴＝x﹣2+．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 　 　；
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．
人教版2023年八年级上册 第15章 分式 单元检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列式子中，是分式的是（　　）
A．﹣3x B． C． D．
【分析】由分式的概念即可判断．
【解答】解：﹣3x、、的分母中不含有字母，不是分式；﹣的分母中含有字母，属于分式．观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
2．要使分式有意义，x应满足的条件是（　　）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x＝﹣3
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
【解答】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故选：C．
3．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．扩大3倍 C．不变 D．扩大9倍
【分析】将原式中的x、y分别用3x、3y代替，化简，再与原分式进行比较．
【解答】解：∵把分式中的x与y同时扩大为原来的3倍，
∴原式变为：＝＝9 ，
∴这个分式的值扩大9倍．
故选：D．
4．下列各式是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据最简分式的概念逐一判断即可．
【解答】解：A．＝，不符合题意；
B．＝＝，不符合题意；
C．是最简分式，符合题意；
D．＝，不符合题意；
故选：C．
5．计算的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．2a﹣1
【分析】先分母不变，把分子相加，然后约分即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝﹣1．
故选：A．
6．下列方程中，是分式方程的是（　　）
A．+＝1 B．x+＝2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1
【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；
C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（　　）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x+2＝3（2x﹣1） D．x﹣2＝3（2x﹣1）
【分析】首先根据，可得：﹣＝3，然后方程两边同时乘（2x﹣1），判断出去分母化为一元一次方程，正确的是哪个即可．
【解答】解：∵，
∴﹣＝3，
方程两边同时乘（2x﹣1），可得：x﹣2＝3（2x﹣1）．
故选：D．
8．若x是自然数，则表示的值的对应点落在数轴（如图）上的范围是（　　）
A．① B．②
C．③ D．①②③均有可能
【分析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据数轴得出取值范围即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝﹣1，
则在②的范围内，
故选：B．
9．某列车提速前行驶400km与提速后行驶500km所用时间相同，若列车平均提速20km/h，设提速后平均速度为x km/h，所列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【分析】根据动车提速前后速度间的关系，可得出动车提速前的平均速度为（x﹣20）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合动车提速后行驶400km与提速后行驶500km所用的时间相同，即可动出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵提速后平均速度为x km/h，且动车平均提速20km/h，
∴动车提速前的平均速度为（x﹣20）km/h．
根据题意得：＝．
故选：C．
10．若关于x的方程＝1的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＞3 C．m＞3且m≠1 D．m＜3且m≠1
【分析】先求得方程的解，再把x＞0转化成关于m的不等式，求得m的取值范围，注意x≠1．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：2﹣（x+m）＝x﹣1，
解得：x＝，
∵方程的解是正数，
∴＞0且，
解得：m＜3且m≠1，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．用科学记数法表示0.0000064＝　6.4×10﹣7　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000064＝6.4×10﹣7；
故答案为：6.4×10﹣7．
12．如果分式的值为零，则m的值是 　1　．
【分析】根据分式值为零的条件即可求得答案．
【解答】解：由题意可得m﹣1＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1．
13．计算：＝　8　．
【分析】先解负整数指数幂和零指数幂，再计算减法即可求解．
【解答】解：原式＝9﹣1＝8．
故答案为：8．
14．若＝，则分式的值为 　　．
【分析】设b＝k，则a＝3k，将它们 代入原式进行化简运算即可．
【解答】解：∵＝，
∴设b＝k，则a＝3k，
∴原式＝
＝
＝．
故答案为：．
15．分式和的最简公分母为 　12x2y2　．
【分析】根据最简公分母的概念解答即可．
【解答】解：分式和的最简公分母为12x2y2，
故答案为：12x2y2．
16．生产一批零件，甲乙合作10天可以完成，若甲独做15天可以完成，若乙独做要 　30　天才能完成．
【分析】设乙独做要x天才能完成，根据甲乙合作10天可以完成，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设乙独做要x天才能完成，
根据题意得：+＝1，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，
∴乙独做要30天才能完成．
故答案为：30．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质等分别化简得出答案．
【解答】解：
＝1﹣1+8﹣2
＝6．
18．（9分）分式计算：
（1）；
（2）；
（2）．
【分析】（1）直接约分即可得出答案；
（2）先通分，再计算减法即可；
（3）先计算括号内的运算、将除法转化为乘法，再约分即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝﹣
＝；
（3）原式＝
＝ab．
19．（8分）解下列方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据解分式方程的步骤进行解答即可；
（2）根据解分式方程的步骤进行解答即可．
【解答】解：（1）；
去分母得：2（x+1）＝x﹣4，
2x+2＝x﹣4，
x＝﹣6，
检验，x＝﹣6是分式方程的解．
∴x＝﹣6；
（2）．
去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
x＝2，
检验：x＝2是增根，
∴原分式方程无解．
20．（6分）化简求值：，其中a＝﹣11．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝，
当a＝﹣11时，
原式＝．
21．（6分）阅读下面的解题过程：
已知：＝，求的值．
解：＝知x≠0，所以＝3，即x+＝3．
所以＝x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7．
故的值为．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知：＝，求的值．
【分析】根据题意给出的倒数法即可求出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝4，
∴a+﹣5＝4，
∴a+＝9，
∴a2+2+＝81，
∴a2+＝79
∴
＝a2++3
＝79+3
＝82，
∴＝．
22．（8分）某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比爽．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套少10元，用400元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）租用100套以上服装，乙商店给以每套打八折后再减200元的优惠，若该参赛队伍准备花费5000元租用一定数量的服装，则在哪家店租的套数更多？请说明理由．
【分析】（1）设在甲商店租用的服装每套x元，则在乙商店租用的服装每套（x+10）元，根据用400元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出在乙商店租的套和在甲商店租的套数，再比较即可．
【解答】解：（1）设在甲商店租用的服装每套x元，则在乙商店租用的服装每套（x+10）元，
由依意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是该分式方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50，
答：在甲商店租用的服装每套40元，在乙商店租用的服装每套50元；
（2）在乙商店租的套数更多，理由如下：
在甲商店租的套数为：5000÷40＝125（套），
在乙商店租的套数为：5000÷（50×0.8）+200÷50＝125+4＝129（套），
∵124＜129，
∴在乙商店租的套数更多．
23．（9分）深化理解：阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴解得：．
∴＝x﹣2+．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 　x+7+　；
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．
【分析】（1）利用题干中的方法进行变形即可得出结论；
（2）利用（1）中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，利用整除性质即可得出结论．
【解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b，
则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴，
解得：．
∴＝＝x+7+．
故答案为：x+7+．
（2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b，
则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b
＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b
＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，
∵对于任意x上述等式成立，
∴，
解得：．
∴＝＝2x+11+．
∵x为整数，分式的值为整数，
∴为整数，
∴x＝4或16或2或﹣10．