人教版2023年九年级下册 第26章 反比例函数 单元培优训练题 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版2023年九年级下册 第26章 反比例函数 单元培优训练题 （含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 848.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-15 06:43:59 | ||
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文档简介
人教版2023年九年级下册 第26章 反比例函数 单元培优训练题
一．选择题
1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b，的图象是（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．已知反比例函数y＝经过平移后可以得到函数y＝﹣1，关于新函数y＝﹣1，下列结论正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．该函数的图象与y轴有交点
C．该函数图象与x轴的交点为（1，0）
D．当0＜x≤时，y的取值范围是0＜y≤1
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，﹣3），点P（m，n）（m＜0）在反比例函数上，且PB⊥y轴，垂足为B．若△ABP的面积为S，则下列判断正确的是（ ）
A．当m＝﹣1时，S＝12
B．S与m成一次函数关系
C．随着点P位置的变换，△POB与△ABP的面积也随之变化
D．S与m成反比例关系
5．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于30℃的时间为min
6．方程x2+2x﹣1＝0的根可视为直线y＝x+2与双曲线y＝交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围是（ ）
A．0＜x0＜1 B．1＜x0＜2 C．2＜x0＜3 D．3＜x0＜4
7．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中S△OBP是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
8．如图，反比例函数图象l1的表达式为y＝（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0），点A在y轴的正半轴上，过点A作BC∥x轴，交两个函数的图象于点B和C．下列说法中：
①若A的纵坐标为2，则C的横坐标为﹣1；②若2AC＝AB，则k＝
③若AC＝AB，则y1，y2的图象关于y轴对称；④当x＜﹣2时，则y2的取值范围为y2＜1
结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．①③④
10．如图，点A（a，3），B（b，2）都在双曲线y＝上，点C，D分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．2+2 D．8
二．填空题
11．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为y＝2x，药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．教室空气中的药物浓度不低于2mg/m3时，对杀灭病毒有效．当m＝3时，本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为 min．
12．如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（4，8），则点E的坐标为 ．
13．如图，点P是双曲线上的一点，点A，B是x轴正半轴上的不同点，连接AP，BP，已知OA：AB＝1：2，AP＝BP，△AOP的面积为3，则k＝ ．
14．如图，A，B两点在反比例函数的图象上，C，D两点在反比例函数的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于F，AC＝3，BD＝2，EF＝5，则m﹣n的值是 ．
15．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则n的值＝ ．
三．解答题
16．实验数据显示，一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完0.25kg低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y1＝x﹣3与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为（m，﹣5）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为反比例函数图象上任意一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式y1＜y2的解集．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D的坐标为（﹣4，1），且AD＝3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．
19．已知在平面直角坐标系中有矩形ABCD，满足A（1，0），B（2，0）．
（1）如图1，若反比例函数的图象经过点D，且与BC交于点E，求点E的坐标；
（2）如图2，将矩形沿线段MN翻折，使得点C与点A重合，此时点M，N在同一个反比例函数的图象上，试求出此时矩形的边AD的长度和线段MN所在直线的解析式．
20．已知在平面直角坐标系xOy中，点（a，﹣1），（a﹣1，﹣2）在反比例函数的图象上．
（1）求k的值；
（2）将反比例函数的图象中x轴上方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到新的函数图象如图1所示，新函数记为函数F．
①如图2，直线y＝﹣x+b与函数F在第三象限的图象交于A，B两点，点A横坐标为x1，点B横坐标为x2，且x1＜x2＜0，x1＝2x2，点P在x轴上，连接AP，BP．当AP+BP最小时．求点P的坐标；
②已知一次函数y＝nx+n﹣2（n≠0）的图象与函数F的图象有三个不同的交点，直接写出n的取值范围．
21．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数的图象交于B（a，4），C两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点M是反比例函数图象在第一象限上的点，且S△MAB＝4，请求出点M的坐标；
（3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线BC方向平移，使其经过点C，再将双曲线在第三象限的一支沿射线CB方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，PQ为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”PQ的长．
人教版2023年九年级下册 第26章 反比例函数 单元培优训练题
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：若a＞0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、三象限，的图象在一、三象限，
若a＞0，b＜0，
则y＝ax+b经过一、三、四象限，的图象在二、四象限，
若a＜0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、四象限，的图象在二、四象限，
若a＜0，b＜0，
则y＝ax+b经过二、三、四象限，的图象在一、三象限，
故选：A．
2．【解答】解：如图，反比例函数y＝的图象是双曲线，若点在反比例函数的图象上，则其纵横坐标的积为常数k，即xy＝k，
通过观察发现，点A、C、D可能在图象上，点B不在图象上，
故选：B．
3．【解答】解：A．当x＞0时，y随x的增大而减小，本选项错误，不符合题意；
B．该函数的图象与y轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意；
C．该函数图象与x轴的交点为（1，0），故本选项正确，符合题意；
D．当0＜x≤时，y的取值范围是y≥1，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
4．【解答】解：A、∵点P（m，n）（m＜0）在反比例函数上，
∴把m＝﹣1代入得：n＝6，
∴P（﹣1，6），B（0，6），
∴△ABP的面积，原说法错误，不符合题意；
B、∵点P（m，n）（m＜0）在反比例函数上，
∴，
∵m＜0，
∴，
∴PB＝﹣m，，
∴△ABP的面积，
∴S与m成一次函数关系，正确，符合题意；
C、随着点P位置的变换，△ABP的面积也随之变化，但△POB的面积始终等于，原说法错误，不符合题意；
D、由B知S与m成一次函数关系，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
5．【解答】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8min，
故A选项不合题意；
由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y＝，
代入点（8，100）可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝，
故B选项不合题意；
令y＝20，则＝20，
∴x＝40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100℃，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x＝10，则y＝＝80℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min，
令y＝30，则＝30，
∴，
∴水温不低于30℃的时间为＝min，
故选：D．
6．【解答】解：依题意得方程x3+3x﹣2＝0的实根是函数y＝x2+3与y＝的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，
∴它们的交点在第一象限，
当x＝1时，y＝x2+3＝4，y＝＝2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x＝时，y＝x2+3＝3，y＝＝4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x＝时，y＝x2+3＝3，y＝＝6，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
…
∴x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围0＜x＜1．
故选：A．
7．【解答】解：如图：
∵△AOB和△ACD均为正三角形，
∴∠AOB＝∠CAD＝60°，
∴AD∥OB，
∴S△ABP＝S△AOP，
∴S△OBP＝S△AOB，
过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE＝S△ABE＝S△AOB，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴S△OBE＝×6＝3，
∴S△OBP＝S△AOB＝2S△OBE＝6．
故选：C．
8．【解答】解：法一、设A（m，k2m），B（2m，2k2m），
∵A，B关于直线x＝1的对称点A′（2﹣m，k2m），B′（2﹣2m，2k2m）在反比例函数图象l1y＝（x＞0）上，
∴k1＝k2m（2﹣m）＝2k2m（2﹣2m），
解得，m＝，
∴＝m（2﹣m）＝．
法二、由对称性可得函数l2的解析式为：y＝﹣，
令k2x＝﹣，整理得，k2x2﹣2k2x+k1＝0，
设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，
则m和n是k2x2﹣2k2x+k1＝0的两根，
由根与系数的关系可得出m+n＝2①，mn＝，
∵点A是OB的中点，
∴2m＝n②，
由①②可知，m＝，n＝，
∴mn＝＝．
故选：A．
9．【解答】解：①将y＝2代入y2＝得x＝﹣1，故①正确．
②∵xB yB＝﹣2，xC＝﹣xB，yC＝yB，
∴xC yC＝﹣xB yB＝1，故②错误．
③若AC＝AB，则k＝2，
∴y1，y2的图象关于y轴对称，
故③正确．
④当x＝﹣2时，y2＝1，
∵y2＝（x＜0）随x增大而增大，
∴x＜﹣2时0＜y2＜1，
故④错误．
故选：C．
10．【解答】解：分别把点A（a，3）、B（b，2）代入双曲线y＝得：a＝2，b＝3，
则点A的坐标为（2，3）、B点坐标为（3，2），
作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，
所以点P坐标为（﹣2，3），Q点坐标为（3，﹣2），
连接PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，
四边形ABCD周长＝DA+DC+CB+AB
＝DP+DC+CQ+AB
＝PQ+AB
＝+
＝5+
＝6，
故选：B．
二．填空题
11．【解答】解：当m＝3是，y＝2×3＝6，
∴A（3，6），
设熏蒸完后函数的关系式为：y＝，
∴k＝3×6＝18，
∴熏蒸完后函数的关系式为：y＝，
∵药物浓度不低于2mg/m3，
∴当2x≥2时，x≥1，
当y＝≥2时，x≤9，
∴有效时长为9﹣1＝8（min），
故答案为：8．
12．【解答】解：∵点B的坐标为（4，8），点B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝4×8＝32．
∴反比例函数的解析式为y＝．
∵点E在反比例函数图象上，
∴可设E（a，）．
∴AD＝a﹣4＝ED＝．
∴a1＝8，a2＝﹣4．
∵a＞0，
∴a＝8．
∴E（8，4）．
故答案为：（8，4）．
13．【解答】解：过点P作PH⊥x轴于点H，
设OA＝a，
∵OA：AB＝1：2，
∴AB＝2a，
∵AP＝BP，PH⊥x轴，
∴，
∵△AOP的面积为3，
∴，即OA PH＝6，
∵OA＝a，AH＝a，
∴OH PH＝12，
∵点P是双曲线上的一点，
∴k＝xy＝OH PH＝12．
故答案为：12
14．【解答】解：连接OA、OC、OD、OB，如图，
由反比例函数的性质可知S△AOE＝S△BOF＝|m|＝m，S△COE＝S△DOF＝|n|＝﹣n，
∵S△AOC＝S△AOE+S△COE，
∴AC OE＝×3OE＝OE＝（m﹣n）…①，
∵S△BOD＝S△DOF+S△BOF，
∴BD OF＝×（EF﹣OE）＝×BD（5﹣OE）＝5﹣OE＝（m﹣n）…②，
由①②两式解得OE＝2，
则k1﹣k2＝6．
故答案为：6．
15．【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：
∵四边形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD＝＝|n|，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故答案为：﹣3．
三．解答题
16．【解答】解：（1）由题意可得：当0≤x＜1.5时，
设函数关系式为：y＝kx，则150＝1.5k，解得：k＝100，
故y＝100x（0≤x＜1.5），
当x≥1.5时，设函数关系式为：，则a＝150×1.5＝225，解得：a＝225，
故，
综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：，
（2）第二天早上7：00不能驾车去上班．
∵晚上8：00到第二天早上7：00有11个小时，
∴x＝11时，，
∴第二天最早上7：00不能驾车去上班．
17．【解答】解：（1）因为点B在直线AB上，
所以m﹣3＝﹣5，
解得m＝﹣2．
故点B坐标为（﹣2，﹣5）．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
k＝﹣2×（﹣5）＝10，
所以反比例函数的解析式为．
（2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，
，
解得或．
故点A坐标为（5，2）．
又S△POC＝2S△AOC，
即，
所以|yP|＝4，
故点P纵坐标为4或﹣4．
将y＝4代入得，
x＝．
将y＝﹣4代入得，
x＝．
所以点P的坐标为（）或（）．
（3）根据函数图象可知，
当x＜﹣2或0＜x＜5时，
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即y1＜y2．
即不等式y1＜y2的解集为：x＜﹣2或0＜x＜5．
18．【解答】解：（1）∵点D的坐标为（﹣4，1），点D在反比例函数图象上，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的图象为：y＝﹣；
（2））∵D（﹣4，1），AD＝3，
∴A（﹣4，4），
∵C为AO中点，
∴C（﹣2，2），
设直线CD对应的函数解析式为y＝tx+b，把C（﹣2，2），D（﹣4，1）代入得：
，
解得，
∴直线CD对应的函数解析式为y＝x+3；
设E（m，m+3），则F（m，﹣），
∴EF＝m+3+，
∴S△OEF＝EF |xE|＝×（m+3+）×（﹣m）＝﹣（m+3）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣3时，S△OEF取最大值，最大值为，
∴△OEF面积的最大值是．
19．【解答】解：（1）矩形ABCD，A（1，0），B（2，0），
∴E的横坐标为2，
把x＝2代入得，y＝1，
∴点E的坐标为（2，1）；
（2）连接CM，
设反比例函数为y＝（k≠0），
∵A（1，0），B（2，0），
∴M（1，k），N（2，），
∴AM＝k，BN＝，
由题意可知AM＝CM＝k，AN＝CN，
由勾股定理得DM＝＝＝，AN＝＝＝，
∵AD＝BD，
∴k+＝+，
∴＝﹣，
整理得＝+1+k2﹣1﹣2 ，
∴2 ＝k2，
∴4（+1）（k2﹣1）＝k4，
∴3k2＝4，
∴k＝（负数舍去），
∴AD＝k+＝，M（1，），N（2，），
设直线MN的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+．
20．【解答】解：（1）∵点（a，﹣1），（a﹣1，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣a＝﹣2（a﹣1），
解得：a＝2，
则k＝2×（﹣1）＝﹣2；
（2）①由（1）知，反比例函数的表达式为：y＝﹣，
则将反比例函数的图象中x轴上方部分沿x轴翻折，，
则翻折后函数的表达式为：y＝，
联立y＝和y＝﹣x+b并整理得：x2﹣bx+2＝0，
则x1+x2＝b，x1x2＝2，
∵x1＜x2＜0，x1＝2x2，
∴2x2 x2＝2，
解得：x2＝﹣1，
则x1＝﹣2，
即点A、B的坐标分别为（﹣2，﹣1）、（﹣1，﹣2），
作点B关于x轴的对称点C（﹣1，2），
连接AC交x轴于点P，则此时AP+BP最小，理由：
AP+BP＝AP+CP＝AC为最小，
设直线AC的表达式为：y＝mx+n，
则，解得：，
则直线AC的表达式为：y＝3x+5，
当y＝0时，x＝﹣，
即点P（﹣，0）；
②∵y＝nx+n﹣2＝n（x+1）﹣2，
则该一次函数过点（﹣1，﹣2），如图：
当n＞0时，
如图：l：y＝nx+n﹣2，
直线l和y轴右侧函数有2个交点时，必然和y轴左侧的函数有一个交点，符合题设条件，
联立y＝﹣和y＝nx+n﹣2，
整理得：nx2+nx﹣2x+2＝0，
则Δ＝（n﹣2）2﹣8n＞0，
解得：n＞6+4或n＜6﹣4，
∵n＞0，
∴0＜n＜6﹣4或n＞6+4；
当n＜0时，
直线和y轴左侧函数有2个交点时，必然和y轴右侧的函数有一个交点，符合题设条件，
联立y＝和y＝nx+n﹣2，
整理得：nx2+nx﹣2x﹣2＝0，
则Δ＝（n﹣2）2+8n＞0，
解得：n≠﹣2
∵n＜0，
∴﹣2＜n＜0或n＜﹣2；
综上，一次函数y＝nx+n﹣2（n≠0）的图象与函数F的图象有三个不同的交点，则﹣2＜n＜0或n＜﹣2或0＜n＜6﹣4或n＞6+4．
21．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝x+b，得0＝﹣2+b，
∴b＝2，
∴y＝x+2，
把B（a，4）代入y＝x+2，得4＝a+2，
∴a＝2，
∴k＝2×4＝8，
∴y＝，
∴一次函数和反比例函数的表达式分别为：y＝x+2，y＝；
（2）令y＝x+2中y＝0，得x＝﹣2，
∴点A（﹣2，0），
∴AB＝＝4，
∵S△MAB＝4＝×4 h，
∴h＝，即点M满足在与y＝x+2距离为的直线上，
∴点M在y＝x或y＝x+4上，
由，得，，
∵点M在第一象限，
∴点M坐标为（2，2），
由，得，，
∵点M在第一象限，
∴点M坐标为（﹣2+2，2+2），
综上点M坐标为（2，2）或（﹣2+2，2+2）；
（3）平移之后的曲线为：y＝﹣6和y＝，
由，得，，
∴点P（﹣2，2）点Q（2，﹣2），
∴PQ＝＝4．
一．选择题
1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b，的图象是（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．已知反比例函数y＝经过平移后可以得到函数y＝﹣1，关于新函数y＝﹣1，下列结论正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．该函数的图象与y轴有交点
C．该函数图象与x轴的交点为（1，0）
D．当0＜x≤时，y的取值范围是0＜y≤1
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，﹣3），点P（m，n）（m＜0）在反比例函数上，且PB⊥y轴，垂足为B．若△ABP的面积为S，则下列判断正确的是（ ）
A．当m＝﹣1时，S＝12
B．S与m成一次函数关系
C．随着点P位置的变换，△POB与△ABP的面积也随之变化
D．S与m成反比例关系
5．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于30℃的时间为min
6．方程x2+2x﹣1＝0的根可视为直线y＝x+2与双曲线y＝交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围是（ ）
A．0＜x0＜1 B．1＜x0＜2 C．2＜x0＜3 D．3＜x0＜4
7．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中S△OBP是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
8．如图，反比例函数图象l1的表达式为y＝（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0），点A在y轴的正半轴上，过点A作BC∥x轴，交两个函数的图象于点B和C．下列说法中：
①若A的纵坐标为2，则C的横坐标为﹣1；②若2AC＝AB，则k＝
③若AC＝AB，则y1，y2的图象关于y轴对称；④当x＜﹣2时，则y2的取值范围为y2＜1
结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．①③④
10．如图，点A（a，3），B（b，2）都在双曲线y＝上，点C，D分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．2+2 D．8
二．填空题
11．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为y＝2x，药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．教室空气中的药物浓度不低于2mg/m3时，对杀灭病毒有效．当m＝3时，本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为 min．
12．如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（4，8），则点E的坐标为 ．
13．如图，点P是双曲线上的一点，点A，B是x轴正半轴上的不同点，连接AP，BP，已知OA：AB＝1：2，AP＝BP，△AOP的面积为3，则k＝ ．
14．如图，A，B两点在反比例函数的图象上，C，D两点在反比例函数的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于F，AC＝3，BD＝2，EF＝5，则m﹣n的值是 ．
15．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则n的值＝ ．
三．解答题
16．实验数据显示，一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完0.25kg低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y1＝x﹣3与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为（m，﹣5）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为反比例函数图象上任意一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式y1＜y2的解集．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D的坐标为（﹣4，1），且AD＝3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．
19．已知在平面直角坐标系中有矩形ABCD，满足A（1，0），B（2，0）．
（1）如图1，若反比例函数的图象经过点D，且与BC交于点E，求点E的坐标；
（2）如图2，将矩形沿线段MN翻折，使得点C与点A重合，此时点M，N在同一个反比例函数的图象上，试求出此时矩形的边AD的长度和线段MN所在直线的解析式．
20．已知在平面直角坐标系xOy中，点（a，﹣1），（a﹣1，﹣2）在反比例函数的图象上．
（1）求k的值；
（2）将反比例函数的图象中x轴上方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到新的函数图象如图1所示，新函数记为函数F．
①如图2，直线y＝﹣x+b与函数F在第三象限的图象交于A，B两点，点A横坐标为x1，点B横坐标为x2，且x1＜x2＜0，x1＝2x2，点P在x轴上，连接AP，BP．当AP+BP最小时．求点P的坐标；
②已知一次函数y＝nx+n﹣2（n≠0）的图象与函数F的图象有三个不同的交点，直接写出n的取值范围．
21．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数的图象交于B（a，4），C两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点M是反比例函数图象在第一象限上的点，且S△MAB＝4，请求出点M的坐标；
（3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线BC方向平移，使其经过点C，再将双曲线在第三象限的一支沿射线CB方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，PQ为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”PQ的长．
人教版2023年九年级下册 第26章 反比例函数 单元培优训练题
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：若a＞0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、三象限，的图象在一、三象限，
若a＞0，b＜0，
则y＝ax+b经过一、三、四象限，的图象在二、四象限，
若a＜0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、四象限，的图象在二、四象限，
若a＜0，b＜0，
则y＝ax+b经过二、三、四象限，的图象在一、三象限，
故选：A．
2．【解答】解：如图，反比例函数y＝的图象是双曲线，若点在反比例函数的图象上，则其纵横坐标的积为常数k，即xy＝k，
通过观察发现，点A、C、D可能在图象上，点B不在图象上，
故选：B．
3．【解答】解：A．当x＞0时，y随x的增大而减小，本选项错误，不符合题意；
B．该函数的图象与y轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意；
C．该函数图象与x轴的交点为（1，0），故本选项正确，符合题意；
D．当0＜x≤时，y的取值范围是y≥1，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
4．【解答】解：A、∵点P（m，n）（m＜0）在反比例函数上，
∴把m＝﹣1代入得：n＝6，
∴P（﹣1，6），B（0，6），
∴△ABP的面积，原说法错误，不符合题意；
B、∵点P（m，n）（m＜0）在反比例函数上，
∴，
∵m＜0，
∴，
∴PB＝﹣m，，
∴△ABP的面积，
∴S与m成一次函数关系，正确，符合题意；
C、随着点P位置的变换，△ABP的面积也随之变化，但△POB的面积始终等于，原说法错误，不符合题意；
D、由B知S与m成一次函数关系，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
5．【解答】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8min，
故A选项不合题意；
由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y＝，
代入点（8，100）可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝，
故B选项不合题意；
令y＝20，则＝20，
∴x＝40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100℃，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x＝10，则y＝＝80℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min，
令y＝30，则＝30，
∴，
∴水温不低于30℃的时间为＝min，
故选：D．
6．【解答】解：依题意得方程x3+3x﹣2＝0的实根是函数y＝x2+3与y＝的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，
∴它们的交点在第一象限，
当x＝1时，y＝x2+3＝4，y＝＝2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x＝时，y＝x2+3＝3，y＝＝4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x＝时，y＝x2+3＝3，y＝＝6，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
…
∴x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围0＜x＜1．
故选：A．
7．【解答】解：如图：
∵△AOB和△ACD均为正三角形，
∴∠AOB＝∠CAD＝60°，
∴AD∥OB，
∴S△ABP＝S△AOP，
∴S△OBP＝S△AOB，
过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE＝S△ABE＝S△AOB，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴S△OBE＝×6＝3，
∴S△OBP＝S△AOB＝2S△OBE＝6．
故选：C．
8．【解答】解：法一、设A（m，k2m），B（2m，2k2m），
∵A，B关于直线x＝1的对称点A′（2﹣m，k2m），B′（2﹣2m，2k2m）在反比例函数图象l1y＝（x＞0）上，
∴k1＝k2m（2﹣m）＝2k2m（2﹣2m），
解得，m＝，
∴＝m（2﹣m）＝．
法二、由对称性可得函数l2的解析式为：y＝﹣，
令k2x＝﹣，整理得，k2x2﹣2k2x+k1＝0，
设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，
则m和n是k2x2﹣2k2x+k1＝0的两根，
由根与系数的关系可得出m+n＝2①，mn＝，
∵点A是OB的中点，
∴2m＝n②，
由①②可知，m＝，n＝，
∴mn＝＝．
故选：A．
9．【解答】解：①将y＝2代入y2＝得x＝﹣1，故①正确．
②∵xB yB＝﹣2，xC＝﹣xB，yC＝yB，
∴xC yC＝﹣xB yB＝1，故②错误．
③若AC＝AB，则k＝2，
∴y1，y2的图象关于y轴对称，
故③正确．
④当x＝﹣2时，y2＝1，
∵y2＝（x＜0）随x增大而增大，
∴x＜﹣2时0＜y2＜1，
故④错误．
故选：C．
10．【解答】解：分别把点A（a，3）、B（b，2）代入双曲线y＝得：a＝2，b＝3，
则点A的坐标为（2，3）、B点坐标为（3，2），
作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，
所以点P坐标为（﹣2，3），Q点坐标为（3，﹣2），
连接PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，
四边形ABCD周长＝DA+DC+CB+AB
＝DP+DC+CQ+AB
＝PQ+AB
＝+
＝5+
＝6，
故选：B．
二．填空题
11．【解答】解：当m＝3是，y＝2×3＝6，
∴A（3，6），
设熏蒸完后函数的关系式为：y＝，
∴k＝3×6＝18，
∴熏蒸完后函数的关系式为：y＝，
∵药物浓度不低于2mg/m3，
∴当2x≥2时，x≥1，
当y＝≥2时，x≤9，
∴有效时长为9﹣1＝8（min），
故答案为：8．
12．【解答】解：∵点B的坐标为（4，8），点B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝4×8＝32．
∴反比例函数的解析式为y＝．
∵点E在反比例函数图象上，
∴可设E（a，）．
∴AD＝a﹣4＝ED＝．
∴a1＝8，a2＝﹣4．
∵a＞0，
∴a＝8．
∴E（8，4）．
故答案为：（8，4）．
13．【解答】解：过点P作PH⊥x轴于点H，
设OA＝a，
∵OA：AB＝1：2，
∴AB＝2a，
∵AP＝BP，PH⊥x轴，
∴，
∵△AOP的面积为3，
∴，即OA PH＝6，
∵OA＝a，AH＝a，
∴OH PH＝12，
∵点P是双曲线上的一点，
∴k＝xy＝OH PH＝12．
故答案为：12
14．【解答】解：连接OA、OC、OD、OB，如图，
由反比例函数的性质可知S△AOE＝S△BOF＝|m|＝m，S△COE＝S△DOF＝|n|＝﹣n，
∵S△AOC＝S△AOE+S△COE，
∴AC OE＝×3OE＝OE＝（m﹣n）…①，
∵S△BOD＝S△DOF+S△BOF，
∴BD OF＝×（EF﹣OE）＝×BD（5﹣OE）＝5﹣OE＝（m﹣n）…②，
由①②两式解得OE＝2，
则k1﹣k2＝6．
故答案为：6．
15．【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：
∵四边形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD＝＝|n|，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故答案为：﹣3．
三．解答题
16．【解答】解：（1）由题意可得：当0≤x＜1.5时，
设函数关系式为：y＝kx，则150＝1.5k，解得：k＝100，
故y＝100x（0≤x＜1.5），
当x≥1.5时，设函数关系式为：，则a＝150×1.5＝225，解得：a＝225，
故，
综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：，
（2）第二天早上7：00不能驾车去上班．
∵晚上8：00到第二天早上7：00有11个小时，
∴x＝11时，，
∴第二天最早上7：00不能驾车去上班．
17．【解答】解：（1）因为点B在直线AB上，
所以m﹣3＝﹣5，
解得m＝﹣2．
故点B坐标为（﹣2，﹣5）．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
k＝﹣2×（﹣5）＝10，
所以反比例函数的解析式为．
（2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，
，
解得或．
故点A坐标为（5，2）．
又S△POC＝2S△AOC，
即，
所以|yP|＝4，
故点P纵坐标为4或﹣4．
将y＝4代入得，
x＝．
将y＝﹣4代入得，
x＝．
所以点P的坐标为（）或（）．
（3）根据函数图象可知，
当x＜﹣2或0＜x＜5时，
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即y1＜y2．
即不等式y1＜y2的解集为：x＜﹣2或0＜x＜5．
18．【解答】解：（1）∵点D的坐标为（﹣4，1），点D在反比例函数图象上，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的图象为：y＝﹣；
（2））∵D（﹣4，1），AD＝3，
∴A（﹣4，4），
∵C为AO中点，
∴C（﹣2，2），
设直线CD对应的函数解析式为y＝tx+b，把C（﹣2，2），D（﹣4，1）代入得：
，
解得，
∴直线CD对应的函数解析式为y＝x+3；
设E（m，m+3），则F（m，﹣），
∴EF＝m+3+，
∴S△OEF＝EF |xE|＝×（m+3+）×（﹣m）＝﹣（m+3）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣3时，S△OEF取最大值，最大值为，
∴△OEF面积的最大值是．
19．【解答】解：（1）矩形ABCD，A（1，0），B（2，0），
∴E的横坐标为2，
把x＝2代入得，y＝1，
∴点E的坐标为（2，1）；
（2）连接CM，
设反比例函数为y＝（k≠0），
∵A（1，0），B（2，0），
∴M（1，k），N（2，），
∴AM＝k，BN＝，
由题意可知AM＝CM＝k，AN＝CN，
由勾股定理得DM＝＝＝，AN＝＝＝，
∵AD＝BD，
∴k+＝+，
∴＝﹣，
整理得＝+1+k2﹣1﹣2 ，
∴2 ＝k2，
∴4（+1）（k2﹣1）＝k4，
∴3k2＝4，
∴k＝（负数舍去），
∴AD＝k+＝，M（1，），N（2，），
设直线MN的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+．
20．【解答】解：（1）∵点（a，﹣1），（a﹣1，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣a＝﹣2（a﹣1），
解得：a＝2，
则k＝2×（﹣1）＝﹣2；
（2）①由（1）知，反比例函数的表达式为：y＝﹣，
则将反比例函数的图象中x轴上方部分沿x轴翻折，，
则翻折后函数的表达式为：y＝，
联立y＝和y＝﹣x+b并整理得：x2﹣bx+2＝0，
则x1+x2＝b，x1x2＝2，
∵x1＜x2＜0，x1＝2x2，
∴2x2 x2＝2，
解得：x2＝﹣1，
则x1＝﹣2，
即点A、B的坐标分别为（﹣2，﹣1）、（﹣1，﹣2），
作点B关于x轴的对称点C（﹣1，2），
连接AC交x轴于点P，则此时AP+BP最小，理由：
AP+BP＝AP+CP＝AC为最小，
设直线AC的表达式为：y＝mx+n，
则，解得：，
则直线AC的表达式为：y＝3x+5，
当y＝0时，x＝﹣，
即点P（﹣，0）；
②∵y＝nx+n﹣2＝n（x+1）﹣2，
则该一次函数过点（﹣1，﹣2），如图：
当n＞0时，
如图：l：y＝nx+n﹣2，
直线l和y轴右侧函数有2个交点时，必然和y轴左侧的函数有一个交点，符合题设条件，
联立y＝﹣和y＝nx+n﹣2，
整理得：nx2+nx﹣2x+2＝0，
则Δ＝（n﹣2）2﹣8n＞0，
解得：n＞6+4或n＜6﹣4，
∵n＞0，
∴0＜n＜6﹣4或n＞6+4；
当n＜0时，
直线和y轴左侧函数有2个交点时，必然和y轴右侧的函数有一个交点，符合题设条件，
联立y＝和y＝nx+n﹣2，
整理得：nx2+nx﹣2x﹣2＝0，
则Δ＝（n﹣2）2+8n＞0，
解得：n≠﹣2
∵n＜0，
∴﹣2＜n＜0或n＜﹣2；
综上，一次函数y＝nx+n﹣2（n≠0）的图象与函数F的图象有三个不同的交点，则﹣2＜n＜0或n＜﹣2或0＜n＜6﹣4或n＞6+4．
21．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝x+b，得0＝﹣2+b，
∴b＝2，
∴y＝x+2，
把B（a，4）代入y＝x+2，得4＝a+2，
∴a＝2，
∴k＝2×4＝8，
∴y＝，
∴一次函数和反比例函数的表达式分别为：y＝x+2，y＝；
（2）令y＝x+2中y＝0，得x＝﹣2，
∴点A（﹣2，0），
∴AB＝＝4，
∵S△MAB＝4＝×4 h，
∴h＝，即点M满足在与y＝x+2距离为的直线上，
∴点M在y＝x或y＝x+4上，
由，得，，
∵点M在第一象限，
∴点M坐标为（2，2），
由，得，，
∵点M在第一象限，
∴点M坐标为（﹣2+2，2+2），
综上点M坐标为（2，2）或（﹣2+2，2+2）；
（3）平移之后的曲线为：y＝﹣6和y＝，
由，得，，
∴点P（﹣2，2）点Q（2，﹣2），
∴PQ＝＝4．