北京市海淀区重点学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(无答案)

北京市重点学校
2023—2024—1高一上学期12月学情监测数学学科试卷
考试时间90分钟 满分120分
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．命题“对任意的，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．为得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数在定义域上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，、，则“”是“函数有零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表，以下说法中错误的是（ ）
1 2 3 4
1.21 3.79 10.28
A． B．当时，
C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点
10．已知函数，若关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．函数的定义域是__________．
12．计算：化简的结果是__________．
13．已知函数
①当时，函数的值域是__________；
②若函数的图象与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是__________．
14．函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是__________．
15．同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是__________．
①如果，那么函数为奇函数；②如果，那么为单调函数；
③如果，那么函数没有零点；④如果，那么函数的最小值为2．
三、解答题（共5小题，共55分）
16．（本小题7分）已知函数，，，的图象如图所示．
（1）函数的图象的序号是__________；的图象的序号是__________；
（2）在同一直角坐标系中，利用已有图象画出的图象，直接写出关于的方程在中解的个数；
（3）分别描述这三个函数增长的特点．
17．（本小题10分）已知函数，函数．
（1）在同一直角坐标系中画出、的图象；
（2），用表示、中的较小者，记为．
①用解析法表示函数，并写出函数的值域；
②讨论关于的方程的根的个数．（直接写出结论）
18．（本小题10分）为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于2020年在其扶贫基地投入200万元研发资金，用于养殖业发展，并计划今后7年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长．
（1）写出第年（2021年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）该企业从第几年开始（2021年为第一年），每年投入的资金数将超过400万元？（参考数据：，，，，）
19．（本小题12分）已知函数，．
（1）若，求的最大值；
（2）若，的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．
20．（本小题16分）已知幂函数是偶函数，．
（1）求实数的值和解析式；
（2）判断的奇偶性，并用定义证明；
（3）直接写出的单调递减区间，并求不等式的解集．