初中数学人教版九年级上学期 第二十一章 21.1 一元二次方程
一、单选题
1．（2019八下·利辛期末）方程2x2-6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：2x2-6x=9可变形为2x2-6x-9=0，
二次项系数为2、一次项系数为-6、常数项为-9，
故答案为：D
【分析】首先把方程化为一般式，然后可得二次项系数、一次项系数、常数项．
2．（2020八下·河北期中）方程：① ，② ，③ ，④ 中，一元二次方程是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：① 不是一元二次方程；
② 不是一元二次方程；
③ 是一元二次方程；
④ 是一元二次方程．
综上：一元二次方程是③和④
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐一判断即可．
3．（2020八下·哈尔滨月考）如果x=4是一元二次方程x －3x=a 的一个根，则常数a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把x＝4代入方程
可得16-12= ，
解得a=±2，
故答案为：C．
【分析】把x＝4代入原方程得关于a的一元一次方程，从而得解.
4．（2020八下·温州月考）方程4x2=81-9x化成一般形式后，二次项的系数为4，它的一次项是（ ）
A．9 B．-9x C．9x D．-9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 将4x2=81-9x化成一般形式为4x2+9x-81=0，
一次项为9x.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次项ax2，一次项bx，常数项c，据此解答即可.
5．（2020·中山模拟）若 是方程 的一个根.则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可知：
∴
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.
二、填空题
6．（2020八下·绍兴月考）请你写出一个有一个根为0的一元二次方程 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有一根为0，
∴可令：x(x-5)=0, x(x+3)=0，等等.
故答案为：x(x-5)=0.
【分析】由于一元二次方程有一根为0，右式分解后必有一个因式为x, 另外一个因式是一个一元一次二项式即可.
7．（2020八下·吴兴期末）已知x=1是关于方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m＝ ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=1代入方程x2+mx﹣3＝0中，
得1+m-3=0，
∴m=2.
故答案为：m=2.
【分析】利用方程根的定义将x=1代入方程x2+mx﹣3＝0中，得到关于m的一元一次方程，求出m的值即可.
8．（2020八下·房山期中）关于x的一元二次方程ax2+bx－2020=0有一个根为x=－1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝ ，b＝ ．
【答案】1；-2019 答案不唯一
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝-1代入ax2＋bx 2020＝0得a-b 2020＝0，
当a＝1时，b＝-2019．
故答案为：1，-2019．答案不唯一
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝-1代入方程得到a-b 2020＝0，于是a取1时，计算对应的b的值．答案不唯一
9．（2019八下·哈尔滨期中）方程 是关于x的一元二次方程，则m= ．
【答案】±1．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴2|m|=2且m+2≠0
解得：m=±1
故答案为：±1．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，2|m|=2，求出即可．
10．（2020·顺德模拟）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2020的值为 ．
【答案】2023
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝3+2020=2023．
故答案为：2023．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
三、解答题
11．已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？
【答案】解：化简 +bx（x-1）= -2b，得（a+b-c） -bx+2b=0，∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，即a+b-c＞0，∴ +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将已知方程化成一般形式，再根据a、b、c为三角形的三条边，利用三角形三边关系定理判断二次项系数a+b-c＞0，就可得出此方程是关于x的一元二次方程。
12．有一个三角形，面积为30cm2，其中一边比这边上的高的4倍少1cm． 若设这边上的高为xcm，请你列出关于x的方程，并判断它是什么方程？若是一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】解： x（4x-1）=30，是一元二次方程，一般形式为2x2- x-30=0，二次项系数为2，一次项系数为- ，常数项为-30.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设这边上的高为xcm ，则这条边长表示为 （4x-1） cm，根据三角形的面积等于底乘以高除以2列出方程，并整理成一般形式，通过观察，该方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，2次项的系数不为0，而且是整式方程，故该方程是一元二次方程；进而根据得出其二次项系数，一次项系数，常数项。
13．已知a，b，c均为有理数，试判断关于x的方程 是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数，一次项系数及常数项.
【答案】解：将上述方程整理可化简为
因为a为有理数即可知 恒成立， ，
所以该方程为一元二次方程
且二次项系数，一次项系数以及常数项分别为 ，
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】将方程合并同类项，根据一元二次方程的含义，讨论二次项的系数即可得到答案。
14．（2019八上·鸡东期末）已知a，b，c都是实数，且满足(2－a)2＋ ＝0，且ax2＋bx＋c＝0，求代数式3x2＋6x＋1的值．
【答案】解：依题意知(2－a)2≥0， ≥0， ≥0，
所以 解得
所以ax2＋bc＋c＝0即为2x2＋4x－8＝0，可化为x2＋2x＝4，
故3x2＋6x＋1＝3(x2＋2x)＋1＝3×4＋1＝13．
【知识点】一元二次方程的根；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据非负数的性质，列方程组，求出a、b、c的值，然后得到一元二次方程，整体代入求值即可.
15．（2019九上·海淀期中）已知-1是方程x2+ax-b=0的一个根，求a2-b2+2b的值．
【答案】解：∵-1是方程x2+ax-b=0的一个根，
∴1-a-b=0，
∴a+b=1，
∴a2-b2+2b=（a+b）（a-b）+2b=a-b+2b=a+b=1．
【知识点】一元二次方程的根；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】将x=-1代入该一元二次方程，得到关于a、b的关系，对所求式子利用平方差公式变形，再整体代入计算即可。
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十一章 21.1 一元二次方程
一、单选题
1．（2019八下·利辛期末）方程2x2-6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9
2．（2020八下·河北期中）方程：① ，② ，③ ，④ 中，一元二次方程是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③
3．（2020八下·哈尔滨月考）如果x=4是一元二次方程x －3x=a 的一个根，则常数a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
4．（2020八下·温州月考）方程4x2=81-9x化成一般形式后，二次项的系数为4，它的一次项是（ ）
A．9 B．-9x C．9x D．-9
5．（2020·中山模拟）若 是方程 的一个根.则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2020八下·绍兴月考）请你写出一个有一个根为0的一元二次方程 ．
7．（2020八下·吴兴期末）已知x=1是关于方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m＝ ．
8．（2020八下·房山期中）关于x的一元二次方程ax2+bx－2020=0有一个根为x=－1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝ ，b＝ ．
9．（2019八下·哈尔滨期中）方程 是关于x的一元二次方程，则m= ．
10．（2020·顺德模拟）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2020的值为 ．
三、解答题
11．已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？
12．有一个三角形，面积为30cm2，其中一边比这边上的高的4倍少1cm． 若设这边上的高为xcm，请你列出关于x的方程，并判断它是什么方程？若是一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
13．已知a，b，c均为有理数，试判断关于x的方程 是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数，一次项系数及常数项.
14．（2019八上·鸡东期末）已知a，b，c都是实数，且满足(2－a)2＋ ＝0，且ax2＋bx＋c＝0，求代数式3x2＋6x＋1的值．
15．（2019九上·海淀期中）已知-1是方程x2+ax-b=0的一个根，求a2-b2+2b的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：2x2-6x=9可变形为2x2-6x-9=0，
二次项系数为2、一次项系数为-6、常数项为-9，
故答案为：D
【分析】首先把方程化为一般式，然后可得二次项系数、一次项系数、常数项．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：① 不是一元二次方程；
② 不是一元二次方程；
③ 是一元二次方程；
④ 是一元二次方程．
综上：一元二次方程是③和④
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐一判断即可．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把x＝4代入方程
可得16-12= ，
解得a=±2，
故答案为：C．
【分析】把x＝4代入原方程得关于a的一元一次方程，从而得解.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 将4x2=81-9x化成一般形式为4x2+9x-81=0，
一次项为9x.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次项ax2，一次项bx，常数项c，据此解答即可.
5．【答案】C
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可知：
∴
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.
6．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有一根为0，
∴可令：x(x-5)=0, x(x+3)=0，等等.
故答案为：x(x-5)=0.
【分析】由于一元二次方程有一根为0，右式分解后必有一个因式为x, 另外一个因式是一个一元一次二项式即可.
7．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=1代入方程x2+mx﹣3＝0中，
得1+m-3=0，
∴m=2.
故答案为：m=2.
【分析】利用方程根的定义将x=1代入方程x2+mx﹣3＝0中，得到关于m的一元一次方程，求出m的值即可.
8．【答案】1；-2019 答案不唯一
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝-1代入ax2＋bx 2020＝0得a-b 2020＝0，
当a＝1时，b＝-2019．
故答案为：1，-2019．答案不唯一
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝-1代入方程得到a-b 2020＝0，于是a取1时，计算对应的b的值．答案不唯一
9．【答案】±1．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴2|m|=2且m+2≠0
解得：m=±1
故答案为：±1．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，2|m|=2，求出即可．
10．【答案】2023
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝3+2020=2023．
故答案为：2023．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
11．【答案】解：化简 +bx（x-1）= -2b，得（a+b-c） -bx+2b=0，∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，即a+b-c＞0，∴ +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将已知方程化成一般形式，再根据a、b、c为三角形的三条边，利用三角形三边关系定理判断二次项系数a+b-c＞0，就可得出此方程是关于x的一元二次方程。
12．【答案】解： x（4x-1）=30，是一元二次方程，一般形式为2x2- x-30=0，二次项系数为2，一次项系数为- ，常数项为-30.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设这边上的高为xcm ，则这条边长表示为 （4x-1） cm，根据三角形的面积等于底乘以高除以2列出方程，并整理成一般形式，通过观察，该方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，2次项的系数不为0，而且是整式方程，故该方程是一元二次方程；进而根据得出其二次项系数，一次项系数，常数项。
13．【答案】解：将上述方程整理可化简为
因为a为有理数即可知 恒成立， ，
所以该方程为一元二次方程
且二次项系数，一次项系数以及常数项分别为 ，
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】将方程合并同类项，根据一元二次方程的含义，讨论二次项的系数即可得到答案。
14．【答案】解：依题意知(2－a)2≥0， ≥0， ≥0，
所以 解得
所以ax2＋bc＋c＝0即为2x2＋4x－8＝0，可化为x2＋2x＝4，
故3x2＋6x＋1＝3(x2＋2x)＋1＝3×4＋1＝13．
【知识点】一元二次方程的根；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据非负数的性质，列方程组，求出a、b、c的值，然后得到一元二次方程，整体代入求值即可.
15．【答案】解：∵-1是方程x2+ax-b=0的一个根，
∴1-a-b=0，
∴a+b=1，
∴a2-b2+2b=（a+b）（a-b）+2b=a-b+2b=a+b=1．
【知识点】一元二次方程的根；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】将x=-1代入该一元二次方程，得到关于a、b的关系，对所求式子利用平方差公式变形，再整体代入计算即可。
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