人教版八年级数学上册 14.3.2公式法（3） 同步练习
一、选择题
1．把代数式2x2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（x2﹣9） B．2（x﹣3）2
C．2（x+3）（x﹣3） D．2（x+9）（x﹣9）
2．（2018·贺州）下列各式分解因式正确的是（ ）
A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2
B．2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2
C．2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y）
D．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．4m2-4m+1=4m（m-1） B．a3b2-a2b+a2=a2（ab2-b）
C．x2-7x-10=（x-2）（x-5） D．10x2y-5xy2=5xy（2x-y）
4．a是有理数，则多项式﹣a2+a﹣ 的值（ ）
A．一定是正数 B．一定是负数
C．不可能是正数 D．不可能是负数
5．已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为 （3x+a）（x+b） 其中a,b均为整数，则a+3b=（ ）
A．30 B． C．31 D．
6．对于非零的两个实数a，b，规定 ，那么将 结果再进行分解因式，则为（ ）
A．a(a+2)(a-2) B．a(a+4)(a-4) C．(a+4)(a-4) D．a(a2+4)
二、填空题
7．（2015九下·嘉峪关期中）分解因式：2a2﹣8b2=
8．在实数范围内分解因式：a﹣4a3= ．
9．因式分解：x2﹣x﹣12= ．
10．若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017= ．
11．（2018·菏泽）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
三、解答题
12．因式分解：
（1）20a3﹣30a2
（2）16﹣（2a+3b）2
（3）﹣16x2y2+12xy3z
（4）5x2y﹣25x2y2+40x3y
13．分解因式：
（1）25（x+y）2﹣9（x﹣y）2
（2）m2﹣3m﹣28
（3）x2+x﹣20．
14．分解因式
（1）x3﹣2x2+3x﹣2
（2）2x3+x2﹣5x﹣4
（3）x3﹣x2+2x﹣8．
15．（2017九上·江津期中）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）= ．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
16．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3）．
故答案为：C．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
2．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，符合题意；
B、2x2﹣4xy+9y2=无法分解因式，故不符合题意；
C、2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y），故不符合题意；
D、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】分解因式的步骤：先考虑提公因式，再考虑能否用完全平方公式或平方差公式。对各选项的左边分解因式，可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、4m2-4m+1=（2m-1）2，故本选项不符合题意；
B、a3b2-a2b+a2=a2（ab2-b+1），故本选项不符合题意；
C、（x-2）（x-5）=x2-7x+10，故本选项不符合题意；
D、10x2y-5xy2=xy（10x-5y）=5xy（2x-y），故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的方法：运用公式法、提公因式法、十字相乘法，逐个判断即可。
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵﹣a2+a﹣ =﹣（a﹣ ）2，
∴多项式﹣a2+a﹣ 的值不可能是正数．
故答案为：C．
【分析】先运用完全平方公式对其分解变形，再利用偶次幂的非负性即可判断。
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）
=（3x-7）（2x-21-x+13）
=（3x-7）（x-8），
=（3x+a）（x+b），
∴a=-7，b=-8，
故a+3b=-7-24=-31.
故答案为：D
【分析】先利用提公因式法对其因式分解，再根据对应项系数相等可得a、b的值，据此即可求解。
6．【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ =a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4).
故答案为：B.
【分析】先根据新定义运算法则可得， =a3-16a，再利用提公因式法和公式法因式分解即可。
7．【答案】2（a﹣2b）（a+2b）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a2﹣8b2，
=2（a2﹣4b2），
=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
8．【答案】a（1+2a）（1﹣2a）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：a﹣4a3=a（1﹣4a2）
=a（1+2a）（1﹣2a）．
故答案为：a（1+2a）（1﹣2a）．
【分析】先提公因式，再运用平方差公式即可分解。
9．【答案】（x﹣4）（x+3）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．
故答案为：（x﹣4）（x+3）.
【分析】利用十字相乘法即可分解。
10．【答案】-2020
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，
∴x2﹣2x=1，
2x3﹣7x2+4x﹣2017
=2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017，
=2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017，
=6x﹣3x2﹣2017，
=﹣3（x2﹣2x）﹣2017
=﹣3﹣2017
=﹣2020，
故答案为：﹣2020.
【分析】由条件可知x2﹣2x=1，再对所求式子拆项、局部提公因式，整体代入计算即可。
11．【答案】-12
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=-3×4
=-12
故答案为：-12
【分析】将a3b+2a2b2+ab3分解因式转化为ab（a+b）2，再整体代入求值。
12．【答案】（1）解：20a3﹣30a2=10a2（2a﹣3）
（2）解：16﹣（2a+3b）2
=42﹣（2a+3b）2
=（4+2a+3b）（4﹣2a﹣3b）
（3）解：﹣16x2y2+12xy3z=﹣4xy2（4x﹣3yz）
（4）解：5x2y﹣25x2y2+40x3y=5x2y（1﹣5y+8x）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）运用提公因式法即可分解；
（2）运用平方差公式即可分解；
（3）运用提公因式法即可分解；
（4）运用提公因式法即可分解。
13．【答案】（1）解：25（x+y）2﹣9（x﹣y）2
=[5（x+y）+3（x﹣y）][5（x+y）﹣3（x﹣y）]
=（8x+2y）（2x+8y）
=4（4x+y）（x+4y）
（2）解：m2﹣3m﹣28=（m﹣7）（m+4）
（3）解：x2+x﹣20
=（x+5）（x﹣4）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）先运用平方差公式，再运用提公因式法即可分解；
（2）运用十字相乘法即可分解；
（3）运用十字相乘法即可分解。
14．【答案】（1）解：x3﹣2x2+3x﹣2
=x3﹣2x2+x+2x﹣2
=x（x﹣1）2+2（x﹣1）
=（x﹣1）（x2﹣x+2）
（2）解：2x3+x2﹣5x﹣4
=2x3+x2﹣x﹣4x﹣4
=x（2x﹣1）（x+1）﹣4（x+1）
=（x+1）（2x2﹣x﹣4）
（3）解：x3﹣x2+2x﹣8
=x3﹣x2﹣2x+4x﹣8
=x（x﹣2）（x+1）+4（x﹣2）
=（x﹣2）（x2+x+4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）先把3x拆成x+2x，从而分成 x3﹣2x2+x和 2x﹣2两组，在每组内提公因式、运用公式分解，再在两组之间提公因式分解即可；
（2）先把-5x拆成-x-4x，从而分成 2x3+x2﹣x和-4x-4两组，在每组内提公因式、十字相乘法分解，再在两组之间提公因式即可分解；
（3）先把+2x拆成-2x+4x，从而分成 x3﹣x2﹣2x和4x-8两组，在每组内提公因式、十字相乘法分解，再在两组之间提公因式即可分解。
15．【答案】（1）解：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）= =1
（2）解：设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59
（3）解：F（15）= ，F（26）= ，F（37）= ，F（48）= = ，F（59）= ，∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可设m=n2（n为正整数），根据最佳分解的定义就可证得F（m）= =1。
（2）根据“吉祥数”的定义，可知（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36 ，整理可得出y=x+4，结合x的取值范围，就可得出满足题意所有“吉祥数”。
（3）利用（2）中所得的所有“吉祥数” ，比较大小可得出最大值。
16．【答案】（1）解：∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9.
（2）解：∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）解：∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8.
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性即可求解；
（2）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、b的值，最后根据三角形三边关系即可求解；
（3）由条件可知b=a-8，代入原式左边，类比材料提供的思路方法，对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、c的值，据此即可解答。
1 / 1人教版八年级数学上册 14.3.2公式法（3） 同步练习
一、选择题
1．把代数式2x2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（x2﹣9） B．2（x﹣3）2
C．2（x+3）（x﹣3） D．2（x+9）（x﹣9）
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3）．
故答案为：C．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
2．（2018·贺州）下列各式分解因式正确的是（ ）
A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2
B．2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2
C．2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y）
D．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，符合题意；
B、2x2﹣4xy+9y2=无法分解因式，故不符合题意；
C、2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y），故不符合题意；
D、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】分解因式的步骤：先考虑提公因式，再考虑能否用完全平方公式或平方差公式。对各选项的左边分解因式，可得出答案。
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．4m2-4m+1=4m（m-1） B．a3b2-a2b+a2=a2（ab2-b）
C．x2-7x-10=（x-2）（x-5） D．10x2y-5xy2=5xy（2x-y）
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、4m2-4m+1=（2m-1）2，故本选项不符合题意；
B、a3b2-a2b+a2=a2（ab2-b+1），故本选项不符合题意；
C、（x-2）（x-5）=x2-7x+10，故本选项不符合题意；
D、10x2y-5xy2=xy（10x-5y）=5xy（2x-y），故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的方法：运用公式法、提公因式法、十字相乘法，逐个判断即可。
4．a是有理数，则多项式﹣a2+a﹣ 的值（ ）
A．一定是正数 B．一定是负数
C．不可能是正数 D．不可能是负数
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵﹣a2+a﹣ =﹣（a﹣ ）2，
∴多项式﹣a2+a﹣ 的值不可能是正数．
故答案为：C．
【分析】先运用完全平方公式对其分解变形，再利用偶次幂的非负性即可判断。
5．已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为 （3x+a）（x+b） 其中a,b均为整数，则a+3b=（ ）
A．30 B． C．31 D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）
=（3x-7）（2x-21-x+13）
=（3x-7）（x-8），
=（3x+a）（x+b），
∴a=-7，b=-8，
故a+3b=-7-24=-31.
故答案为：D
【分析】先利用提公因式法对其因式分解，再根据对应项系数相等可得a、b的值，据此即可求解。
6．对于非零的两个实数a，b，规定 ，那么将 结果再进行分解因式，则为（ ）
A．a(a+2)(a-2) B．a(a+4)(a-4) C．(a+4)(a-4) D．a(a2+4)
【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ =a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4).
故答案为：B.
【分析】先根据新定义运算法则可得， =a3-16a，再利用提公因式法和公式法因式分解即可。
二、填空题
7．（2015九下·嘉峪关期中）分解因式：2a2﹣8b2=
【答案】2（a﹣2b）（a+2b）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a2﹣8b2，
=2（a2﹣4b2），
=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
8．在实数范围内分解因式：a﹣4a3= ．
【答案】a（1+2a）（1﹣2a）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：a﹣4a3=a（1﹣4a2）
=a（1+2a）（1﹣2a）．
故答案为：a（1+2a）（1﹣2a）．
【分析】先提公因式，再运用平方差公式即可分解。
9．因式分解：x2﹣x﹣12= ．
【答案】（x﹣4）（x+3）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．
故答案为：（x﹣4）（x+3）.
【分析】利用十字相乘法即可分解。
10．若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017= ．
【答案】-2020
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，
∴x2﹣2x=1，
2x3﹣7x2+4x﹣2017
=2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017，
=2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017，
=6x﹣3x2﹣2017，
=﹣3（x2﹣2x）﹣2017
=﹣3﹣2017
=﹣2020，
故答案为：﹣2020.
【分析】由条件可知x2﹣2x=1，再对所求式子拆项、局部提公因式，整体代入计算即可。
11．（2018·菏泽）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
【答案】-12
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=-3×4
=-12
故答案为：-12
【分析】将a3b+2a2b2+ab3分解因式转化为ab（a+b）2，再整体代入求值。
三、解答题
12．因式分解：
（1）20a3﹣30a2
（2）16﹣（2a+3b）2
（3）﹣16x2y2+12xy3z
（4）5x2y﹣25x2y2+40x3y
【答案】（1）解：20a3﹣30a2=10a2（2a﹣3）
（2）解：16﹣（2a+3b）2
=42﹣（2a+3b）2
=（4+2a+3b）（4﹣2a﹣3b）
（3）解：﹣16x2y2+12xy3z=﹣4xy2（4x﹣3yz）
（4）解：5x2y﹣25x2y2+40x3y=5x2y（1﹣5y+8x）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）运用提公因式法即可分解；
（2）运用平方差公式即可分解；
（3）运用提公因式法即可分解；
（4）运用提公因式法即可分解。
13．分解因式：
（1）25（x+y）2﹣9（x﹣y）2
（2）m2﹣3m﹣28
（3）x2+x﹣20．
【答案】（1）解：25（x+y）2﹣9（x﹣y）2
=[5（x+y）+3（x﹣y）][5（x+y）﹣3（x﹣y）]
=（8x+2y）（2x+8y）
=4（4x+y）（x+4y）
（2）解：m2﹣3m﹣28=（m﹣7）（m+4）
（3）解：x2+x﹣20
=（x+5）（x﹣4）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）先运用平方差公式，再运用提公因式法即可分解；
（2）运用十字相乘法即可分解；
（3）运用十字相乘法即可分解。
14．分解因式
（1）x3﹣2x2+3x﹣2
（2）2x3+x2﹣5x﹣4
（3）x3﹣x2+2x﹣8．
【答案】（1）解：x3﹣2x2+3x﹣2
=x3﹣2x2+x+2x﹣2
=x（x﹣1）2+2（x﹣1）
=（x﹣1）（x2﹣x+2）
（2）解：2x3+x2﹣5x﹣4
=2x3+x2﹣x﹣4x﹣4
=x（2x﹣1）（x+1）﹣4（x+1）
=（x+1）（2x2﹣x﹣4）
（3）解：x3﹣x2+2x﹣8
=x3﹣x2﹣2x+4x﹣8
=x（x﹣2）（x+1）+4（x﹣2）
=（x﹣2）（x2+x+4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）先把3x拆成x+2x，从而分成 x3﹣2x2+x和 2x﹣2两组，在每组内提公因式、运用公式分解，再在两组之间提公因式分解即可；
（2）先把-5x拆成-x-4x，从而分成 2x3+x2﹣x和-4x-4两组，在每组内提公因式、十字相乘法分解，再在两组之间提公因式即可分解；
（3）先把+2x拆成-2x+4x，从而分成 x3﹣x2﹣2x和4x-8两组，在每组内提公因式、十字相乘法分解，再在两组之间提公因式即可分解。
15．（2017九上·江津期中）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）= ．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【答案】（1）解：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）= =1
（2）解：设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59
（3）解：F（15）= ，F（26）= ，F（37）= ，F（48）= = ，F（59）= ，∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可设m=n2（n为正整数），根据最佳分解的定义就可证得F（m）= =1。
（2）根据“吉祥数”的定义，可知（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36 ，整理可得出y=x+4，结合x的取值范围，就可得出满足题意所有“吉祥数”。
（3）利用（2）中所得的所有“吉祥数” ，比较大小可得出最大值。
16．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
【答案】（1）解：∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9.
（2）解：∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）解：∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8.
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性即可求解；
（2）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、b的值，最后根据三角形三边关系即可求解；
（3）由条件可知b=a-8，代入原式左边，类比材料提供的思路方法，对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、c的值，据此即可解答。
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