27.2相似三角形（第1课时） 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
相似三角形（第1课时）
　　1．相似多边形：
　　两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．
　　相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
　　2．相似多边形的性质：
　　3．相似比：
　　相似多边形对应边的比叫做相似比．
　　在相似多边形中，最简单的是____________．
相似三角形
　　你能说出相似三角形的定义吗？
问题
　　如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，如果
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′， ＝ ＝ ＝k，
　　即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与△A′B′C′ 相似，相似比为 k．
　　思考：△A′B′C′ 与△ABC 的相似比是什么？
　　　　　　　　 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．△ABC 与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”．
A
B
C
A′
B′
C′
　　如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，如果
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′， ＝ ＝ ＝k，
　　即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与△A′B′C′ 相似，相似比为 k．
　　△A′B′C′ 与△ABC 的相似比为 ．
相似比具有顺序性．
　　　　　　　　 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．△ABC 与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”．
A
B
C
A′
B′
C′
　　特别提醒：
　　用符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上．△ABC∽△A′B′C′ 表示顶点 A 与 A′， B 与 B′，C 与 C′ 分别对应；如果仅说“△ABC 与△A′B′C′ 相似”，没有用“∽”连接，则需要分类讨论它们之间的对应关系．
A
B
C
A′
B′
C′
　　如果 k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
　　当 ＝ ＝ ＝k＝1 时，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，故△ABC≌△A′B′C′（SSS），即当 k＝1 时，这两个三角形全等．
　　全等三角形是相似比为 1 的相似三角形，即全等三角形是特殊的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形．
思考
A
B
C
A′
B′
C′
　　根据相似三角形的定义你能得到相似三角形的性质吗？
　　相似三角形的定义可以看作是性质，即相似三角形的三个角分别相等，三条边成比例．
　　符号表示：∵△ABC∽△A′B′C′，
　　∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，
＝ ＝ ．
思考
A
B
C
A′
B′
C′
　　如何判定两个三角形相似？
　　相似三角形的定义也可以看作是判定，即三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．
思考
　　符号表示：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′，
＝ ＝ ＝k，
　　∴△ABC∽△A′B′C′．
A
B
C
A′
B′
C′
　　判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？我们先来探究下面的问题．
问题
问题
　　如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2 都相交的平行线 l3，l4，l5．分别度量 l3，l4，l5 在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度， 与 相等吗？
l1
l2
l3
l4
l5
A
D
B
E
C
F
问题
　　任意平移 l5， 与 还相等吗？直线 l3，l4，l5 在直线 l1，l2 上截得的线段有什么关系？
l1
l2
l3
l4
A
D
B
E
　　可以发现： ＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ 等．
C
F
l5
l5
C
F
　　平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
　　（2）所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关．
　　（3）对应线段的比相等是指同一直线上的两条线段的比等于另一条直线上与它们对应的线段的比．
　　注意：（1）截线是一组平行线，被截直线不一定平行．
l1
l2
l3
l4
l5
A
D
B
E
C
F
　　把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现两种情况，如图所示．
l1
l2
l3
l4
l5
A
D
E
B
C
图①
l1
l2
l3
l4
l5
A
D
E
B
C
图②
　　在图①中，把 l4 看成是平行于△ABC 的边 BC 的直线；在图②中，把 l3 看成是平行于△ABC 的边 BC 的直线，那么我们可以得到结论：
　　　平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
l1
l2
l3
l4
l5
A
D
E
B
C
图①
l1
l2
l3
l4
l5
A
D
E
B
C
图②
问题
　　如图，在△ABC 中，DE∥BC，且 DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，△ADE 与△ABC 有什么关系？
A
B
C
D
E
　　猜想：△ADE∽△ABC．
　　你能证明你的猜想吗？
问题
　　如图，在△ABC 中，DE∥BC，且 DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，△ADE 与△ABC 有什么关系？
A
B
C
D
E
　　猜想：△ADE∽△ABC．
　　分析：利用相似的定义证明，即证明∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ＝ ＝ ．
A
B
C
D
E
　　由前面的结论可得， ＝ ．
F
　　　　　　　　　　　　　　　　　而 中的 DE 不在△ABC 的边 BC 上，不能直接利用前面的结论．
但从要证的 ＝ 可
以看出，除 DE 外，AE，AC，BC 都在△ABC 的边上，因此只需将 DE 平移到 BC 边上去，使得 BF＝DE，再证明 ＝ 就可以了．
如图，只要过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F，BF 就是平移 DE 所得的线段．
A
B
C
D
E
F
　　证明：如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F．
　　在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A．
　　∵DE∥BC，
　　∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．
　　∵DE∥BC，EF∥AB，
　　∴四边形 DBFE 为平行四边形， ＝ ，
＝ ．
　　∴ ＝ ＝ ．
　　∴DE＝BF．
A
B
C
D
E
F
　　∴△ADE∽△ABC．
　　∴ ＝ ．
　　平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
　　因此，我们有如下判定三角形相似的定理：
　　符号表示：
　　∵DE∥BC，
　　∴△ADE∽△ABC．
A
B
C
D
E
　　例1　如图，DE∥BC，AB＝5，AC＝6，AD＝2，求 AE 的长．
A
B
C
D
E
　　解：∵DE∥BC ，
　　∴ ＝ ．
　　∵AB＝5，AC＝6，AD＝2，
　　∴ ＝ ．
　　∴AE＝ ．
　　例2　如图，在△ABC 中，DE∥BC， ＝ ，BC＝12，求 DE 的长．
A
B
C
D
E
　　解：∵DE∥BC ，
　　∴△ADE∽△ABC．
　　∴ ＝ ＝ ．
　　∵ ＝ ，BC＝12，
　　∴DE＝ BC＝4．
提醒
　　（1）当三角形中出现平行线时，可利用相似三角形建立比例式求线段的长．
　　（2）在利用平行线判定两个三角形相似时，只需两条直线平行这一个条件就能证明这两个三角形相似．
相似三角形的判定（平行线分线段成比例）
利用平行线判定两个三角形相似的定理
相似三角形
平行线分线段成比例
定义及表示方法
相似三角形对应边、对应角的性质
平行线分线段成比例的基本事实
平行线分线段成比例的基本事实的推论