14.3.2.2运用完全平方公式因式分解（同步课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
文档属性
| 名称 | 14.3.2.2运用完全平方公式因式分解（同步课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 40.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-14 09:24:48 | ||
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文档简介
第14章
整式的乘法
与因式分解
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
14.3.2.2
运用完全平方
公式因式分解
复习回顾
(a+b)2=a2+2ab+b2，
我们把
(a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
符号语言：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央.”
复习回顾
法二：借助几何图形证明：
如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 .
它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 .
复习回顾
法二：借助几何图形证明：
它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即
如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 .
所以(a-b)2=a2-2ab+b2.
(a-b)2
(a-b2)
a-b
b
b
a-b
ab
ab
b2
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
复习回顾
思考：
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1. 说一说积的次数和项数；
2. 两个完全平方式的积有相同的项吗？与 a，b 有什么关系？
3. 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a，b 有什么关系？它的符号与什么有关？
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同；
新知探究
思考：
对照 a? ± 2ab + b? = (a ± b)?，填空：
3. a? + 4ab + 4b? = ( )? + 2· ( ) ·( ) + ( )? = ( )?.
2. m? - 6m + 9 = ( )? - 2·( )·( ) + ( )? = ( )?；
1. x? + 4x + 4 = ( )? + 2·( )·( ) + ( )? = ( )?；
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
m
m - 3
3
x
2
m
3
新知探究
思考：
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4；
（2）1 + 4a?；
（3）4b2 + 4b - 1；
（4）a2 + ab + b2；
（5）x2 + x + 0.25.
是
（2）因为它只有两项.
不是
（3）4b? 与 -1 的符号不统一.
不是
不是
是
（4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
典例精析
例1
已知4????2+????????+36是完全平方式，则 m 的值为（??? ?）
A．8 B．±8 C．24 D．±24
?
【分析】解：∵4????2+????????+36是一个完全平方式，
∴mx＝±2?2x?6，
解得：m＝±24，
故选：D．
?
D
变式
若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( )
A . 11 B. 9 C. - 11 D. - 9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x = -2×x×3，故可知 N = 32 = 9.
典例精析
例2
(1)
4x2-4x+1
解：原式=
(2)
分解因式：
解：原式=
(3) -3a2x2 + 24a2x - 48a2；
＝(a2 + 4 + 4a)(a2 + 4 - 4a)
解：(3) 原式＝-3a2(x2 - 8x + 16)
＝-3a2(x - 4)2.
(4) 原式＝(a2 + 4)2 - (4a)2
＝(a + 2)2(a - 2)2.
(4) (a2 + 4)2 - 16a2.
典例精析
例3
分解因式：
(1) ax2+2a2x+a3 (2) -3x2+6xy-3y2 (3) (x+y)2-12x-12y+36
解：(1)原式= a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2
(3)原式=(x+y)2-12(x+y)+36
=(x+y)2-2·(x+y)·6+62
=(a+b-6)2
(2)原式= -3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2
典例精析
例4
(1) (x2+y2)2-4x2y2 (2)4x2(x-1)-16(1-x)2 (3)16x4-72x2+81
解: (1) 原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2
(2)原式=4x2(x-1)-16(x-1)2=4(x-1)[x2-4(x-1)]
=4(x-1)(x2-4x+4)=4(x-1)(x-2)2
(3)原式=(4x2)2-2 · 4x2 · 9+92
= (4x2-9)2=[(2x+3)(2x-3)]2
=(2x+3)2(2x-3)2
分解因式：
典例精析
01
02
运用完全平方公式分解因式时，避免与平方差公式混淆．
03
运用完全平方公式分解因式时，有公因式应先提公因式．
运用完全平方公式分解因式时，应注意熟练把握公式的结构特征，避免出现符号、项数上的错误．
典例精析
例5
计算：
（1）3.142+6.28×6.86+6.862；（2）20222?2022×4042+20212.
?
解：（1）3.142+6.28×6.86+6.862
=3.142+2×3.14×6.86+6.862
=3.14+6.862
=102
=100．
?
（2）20222-2022×4042+20212
=20222-2×2022×2021+20212
=（2022-2021）2
=12
=1．
典例精析
例6
(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
典例精析
例7
已知 a，b，c 分别是△ABC 三边的长，且 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c) ＝ 0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．
∴△ABC 是等边三角形．
解：由 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c) ＝ 0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2 ＝ 0，
即 (a－b)2＋(b－c)2 ＝ 0.
∴ a－b ＝ 0，b－c ＝ 0. ∴ a ＝ b ＝ c.
归纳总结
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab + b2 = (a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项；
（2）其中两项是两个数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负
当堂检测
1.下列式子为完全平方式的是( )
A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1.
2.分解因式x2-2x+1的最终结果是( )
A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)2
3.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是( )
A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2
D
C
A
4.下列分解因式错误的是( )
A. x2-y2= (x+y) (x-y) B. x2+6x+9= (x+3)2
C. x2+xy=x (x+y) D. x2+y2= (x+y)2
D
当堂检测
5.若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( )
A.1或-3 B. -1或3 C.±1 D.±3
6.已知????=????+2，则代数式3????2?6????????+3????2+2022的值为（???? ）
A．2020 B．2024 C．2021 D．2034
?
A
D
7．分解因式????2+4????????+4????2?1=__________________________．
8．若x2﹣8x+m2＝(x﹣4)2，那么m＝_____．
9．若????2+(3?????)????+9可以用完全平方式来分解因式，则m的值为__________．
?
?????或9
?
????+????????+????)(????+?????????????
?
±????
?
当堂检测
10.分解因式：
(1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1
解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2
(2)原式= -(x2+2xy+y2)=-(x+y)2
(3)原式=(a+1)2
(4)原式=(2x)2-2·2x·1+1=(2x-1)2
当堂检测
11．分解因式：
(1)?????2????2+????3； (2)????3?????10????2????+25????????；
(3)????2?52+85?????2+16； (4)(????2+????2?????2)2?4????2????2.
?
（1）解：?????2????2+????3=????1?2????+????2=?????????12；
?
（2）解：????3?????10????2????+25????????=????????(????2?10????+25)
=????????(?????5)2；
?
（3）解：????2?52+85?????2+16=????2?52?8????2?5+16
=????2?5?42=????2?92=????+32?????32
?
（4）解：＝????2+????2?????2+2????????????2+????2?????2?2????????＝????+????2?????2?????????2?????2
＝????+????+????(????+?????????)(?????????+????)(??????????????)．
?
当堂检测
解：
∵????2+????2+2?????4????+5=0，
∴????2+2????+1+????2?4????+4=0，
∴?(????+1)?+(????-2)?=0，
解得????=?1，????=2，
∴2????2+4?????3
=2×(-1)?+4×2?3
=2+8-3
=7．
?
12.已知????2+????2+2?????4????+5=0, 求2????2+4?????3 的值．
整式的乘法
与因式分解
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
14.3.2.2
运用完全平方
公式因式分解
复习回顾
(a+b)2=a2+2ab+b2，
我们把
(a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
符号语言：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央.”
复习回顾
法二：借助几何图形证明：
如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 .
它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 .
复习回顾
法二：借助几何图形证明：
它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即
如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 .
所以(a-b)2=a2-2ab+b2.
(a-b)2
(a-b2)
a-b
b
b
a-b
ab
ab
b2
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
复习回顾
思考：
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1. 说一说积的次数和项数；
2. 两个完全平方式的积有相同的项吗？与 a，b 有什么关系？
3. 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a，b 有什么关系？它的符号与什么有关？
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同；
新知探究
思考：
对照 a? ± 2ab + b? = (a ± b)?，填空：
3. a? + 4ab + 4b? = ( )? + 2· ( ) ·( ) + ( )? = ( )?.
2. m? - 6m + 9 = ( )? - 2·( )·( ) + ( )? = ( )?；
1. x? + 4x + 4 = ( )? + 2·( )·( ) + ( )? = ( )?；
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
m
m - 3
3
x
2
m
3
新知探究
思考：
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4；
（2）1 + 4a?；
（3）4b2 + 4b - 1；
（4）a2 + ab + b2；
（5）x2 + x + 0.25.
是
（2）因为它只有两项.
不是
（3）4b? 与 -1 的符号不统一.
不是
不是
是
（4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
典例精析
例1
已知4????2+????????+36是完全平方式，则 m 的值为（??? ?）
A．8 B．±8 C．24 D．±24
?
【分析】解：∵4????2+????????+36是一个完全平方式，
∴mx＝±2?2x?6，
解得：m＝±24，
故选：D．
?
D
变式
若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( )
A . 11 B. 9 C. - 11 D. - 9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x = -2×x×3，故可知 N = 32 = 9.
典例精析
例2
(1)
4x2-4x+1
解：原式=
(2)
分解因式：
解：原式=
(3) -3a2x2 + 24a2x - 48a2；
＝(a2 + 4 + 4a)(a2 + 4 - 4a)
解：(3) 原式＝-3a2(x2 - 8x + 16)
＝-3a2(x - 4)2.
(4) 原式＝(a2 + 4)2 - (4a)2
＝(a + 2)2(a - 2)2.
(4) (a2 + 4)2 - 16a2.
典例精析
例3
分解因式：
(1) ax2+2a2x+a3 (2) -3x2+6xy-3y2 (3) (x+y)2-12x-12y+36
解：(1)原式= a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2
(3)原式=(x+y)2-12(x+y)+36
=(x+y)2-2·(x+y)·6+62
=(a+b-6)2
(2)原式= -3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2
典例精析
例4
(1) (x2+y2)2-4x2y2 (2)4x2(x-1)-16(1-x)2 (3)16x4-72x2+81
解: (1) 原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2
(2)原式=4x2(x-1)-16(x-1)2=4(x-1)[x2-4(x-1)]
=4(x-1)(x2-4x+4)=4(x-1)(x-2)2
(3)原式=(4x2)2-2 · 4x2 · 9+92
= (4x2-9)2=[(2x+3)(2x-3)]2
=(2x+3)2(2x-3)2
分解因式：
典例精析
01
02
运用完全平方公式分解因式时，避免与平方差公式混淆．
03
运用完全平方公式分解因式时，有公因式应先提公因式．
运用完全平方公式分解因式时，应注意熟练把握公式的结构特征，避免出现符号、项数上的错误．
典例精析
例5
计算：
（1）3.142+6.28×6.86+6.862；（2）20222?2022×4042+20212.
?
解：（1）3.142+6.28×6.86+6.862
=3.142+2×3.14×6.86+6.862
=3.14+6.862
=102
=100．
?
（2）20222-2022×4042+20212
=20222-2×2022×2021+20212
=（2022-2021）2
=12
=1．
典例精析
例6
(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
典例精析
例7
已知 a，b，c 分别是△ABC 三边的长，且 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c) ＝ 0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．
∴△ABC 是等边三角形．
解：由 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c) ＝ 0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2 ＝ 0，
即 (a－b)2＋(b－c)2 ＝ 0.
∴ a－b ＝ 0，b－c ＝ 0. ∴ a ＝ b ＝ c.
归纳总结
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab + b2 = (a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项；
（2）其中两项是两个数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负
当堂检测
1.下列式子为完全平方式的是( )
A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1.
2.分解因式x2-2x+1的最终结果是( )
A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)2
3.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是( )
A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2
D
C
A
4.下列分解因式错误的是( )
A. x2-y2= (x+y) (x-y) B. x2+6x+9= (x+3)2
C. x2+xy=x (x+y) D. x2+y2= (x+y)2
D
当堂检测
5.若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( )
A.1或-3 B. -1或3 C.±1 D.±3
6.已知????=????+2，则代数式3????2?6????????+3????2+2022的值为（???? ）
A．2020 B．2024 C．2021 D．2034
?
A
D
7．分解因式????2+4????????+4????2?1=__________________________．
8．若x2﹣8x+m2＝(x﹣4)2，那么m＝_____．
9．若????2+(3?????)????+9可以用完全平方式来分解因式，则m的值为__________．
?
?????或9
?
????+????????+????)(????+?????????????
?
±????
?
当堂检测
10.分解因式：
(1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1
解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2
(2)原式= -(x2+2xy+y2)=-(x+y)2
(3)原式=(a+1)2
(4)原式=(2x)2-2·2x·1+1=(2x-1)2
当堂检测
11．分解因式：
(1)?????2????2+????3； (2)????3?????10????2????+25????????；
(3)????2?52+85?????2+16； (4)(????2+????2?????2)2?4????2????2.
?
（1）解：?????2????2+????3=????1?2????+????2=?????????12；
?
（2）解：????3?????10????2????+25????????=????????(????2?10????+25)
=????????(?????5)2；
?
（3）解：????2?52+85?????2+16=????2?52?8????2?5+16
=????2?5?42=????2?92=????+32?????32
?
（4）解：＝????2+????2?????2+2????????????2+????2?????2?2????????＝????+????2?????2?????????2?????2
＝????+????+????(????+?????????)(?????????+????)(??????????????)．
?
当堂检测
解：
∵????2+????2+2?????4????+5=0，
∴????2+2????+1+????2?4????+4=0，
∴?(????+1)?+(????-2)?=0，
解得????=?1，????=2，
∴2????2+4?????3
=2×(-1)?+4×2?3
=2+8-3
=7．
?
12.已知????2+????2+2?????4????+5=0, 求2????2+4?????3 的值．