沪科版八年级数学上册 13.1三角形中的边角关系 同步练习（三）
一、选择题
1．（2016七下·普宁期末）下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，△ABC中AB边上的高线是（ ）
A．线段AG B．线段BD C．线段BE D．线段CF
3．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长长6cm，则AB与AC的差为（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm
4．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的有（ ）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图所示，AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，AD⊥BC于D，DE是△ADC的中线，则以AD为高的三角形有（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
7．（2017七下·泰兴期末）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB=3，AC=5，DE=2，点D到AB的距离是（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
8．在三角形的中线，高线，角平分线中，一定能把三角形的面积等分的是 .
9．BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长之差为 cm．
10．如图，△ABC中，点D、E分别是BC、AD的中点，△ABC的面积为6，则阴影部分的面积是 ．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B= ．
12．如图所示，阴影部分的面积是 ， ， ，则 的面积是 ．
13．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为 ．
三、解答题
14．如图，△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝4，S△ABD＝10，求BC，CD的长.
15．如图，在 中， ，求 的长.
16．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
17．有一块三角形优良品种试验基地，如图，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制订出两种以上的划分方案以供选择（画图说明）.
18．如图，在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，判断DE+DF和BG的关系，并说明理由．
（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF和BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明，直接写出结果）
19．操作与探究 探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示）；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是D．
故选D．
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
2．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义可知，△ABC中AB边上高线应该是过点C向AB所在直线所作的垂线段，
所以△ABC中AB边上的高线是线段CF，
故答案为：D.
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点出发向其对边或所在的直线引垂线段，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高，据此即可判断。
3．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=BC.
∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB与AC的差值为6cm．
故答案为：C
【分析】根据三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和其对边中点的线段叫三角形的中线，可知BD=BC，再结合三角形的周长即可得到AB与AC的差。
4．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵∠1=∠2，
∴AE平分∠DAF，故③正确；
又∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC，故⑤正确．
故选C．
【分析】由∠1=∠2，根据三角形的角平分线的定义得出AE平分∠DAF；又∠3=∠4，利用等式的性质得到∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，那么AE平分∠BAC．
5．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由AB⊥AD，AB⊥BC，可知AB是△ABE、△ABC、△ACE、△ABD的高线，
即以AB为一条高线的三角形共有4个.
故答案为：D.
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点出发向其对边或所在的直线引垂线段，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高，据此即可判断。
6．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有3个，
∴以AD为高的三角形有3个.
故答案为：A.
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点出发向其对边或所在的直线引垂线段，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高，据此即可判断。
7．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AC=5，DE=2，
∴△ADC的面积为 ×5×2=5，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD的面积为5，
∴点D到AB的距离是2×5÷3= .
故选D.
【分析】此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出△ADC的面积是5三角形的面积等于底边长与高线成绩的一半，三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分.
8．【答案】三角形的中线
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵在三角形的中线，高线和角平分线中，只有中线一定能够把三角形的一边分成相等的两条线段，
∴一定能够将三角形面积等分的是“三角形的中线”.
故答案为：三角形的中线.
【分析】根据三角形的中线、高线、角平分线的定义，可知只有中线把一个三角形分成等底同高的两个三角形，据此可得答案。
9．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：5-3=2cm．
故答案为：2.
【分析】根据三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和其对边中点的线段叫三角形的中线，同时结合三角形的周长即可解答。
10．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△AEC= S△ACD，S△ACD= S△ABC，
∴S△AEC= S△ABC= ×6= ．
故答案为： .
【分析】根据点D、E分别是BC、AD的中点，可知AD、CE分别是△ABC、△ADC的中线，而三角形的中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形，据此即可解答。
11．【答案】30°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠EAD+∠2，
∴∠EAD=∠1﹣∠2=40°﹣20°=20°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣40°﹣20°=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据AE平分∠BAC，∠1=40°、∠2=20°可得∠EAD=20°，再在Rt△ABD中利用两锐角互余即可得∠B的度数。
12．【答案】5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接DF，设
∵阴影部分的面积是2cm2，
∴x+y=2cm2，
∵AE=ED，
∴ S△ABE=y， S△DEF=x，
∵BD=2DC，
∴
∴△ABC的面积= .
故答案为：5.
【分析】连接DF，由 AE=ED可知S△AEF=S△DEF、S△BDE=S△BAE，又由 B D = 2 D C可知S△CDF=S△BDF，设出 S△AEF=x ， S△BDE=y，由前面的推理即可用含x、y的代数式表示S△ABC，再根据x+y=2整体代入计算即可。
13．【答案】7
【知识点】等式的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH=6，S四边形BFOE=7，S四边形CGOF=8，
∴6+8=7+S四边形DHOG，
解得S四边形DHOG=7．
故答案为：7.
【分析】连接OC，OB，OA，OD，根据E、F、G、H依次是边AB、BC、CD、DA的中点，可知△AOE和△BOE、△BOF和△COF、△COG和△DOG、△DOH和△AOH都是等底等高，故每对面积相等，从而利用等式性质可得四边形ABCD中相对的两个小四边形面积和相等，据此代入即可计算。
14．【答案】解：∵在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE=4，S△ABD=10，
∴S△ABD= BD AE，
∴BD=5，
∵BD=DC，
∴CD=5，BC=2BD=10.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】根据AE也是△ABD的高，借助三角形面积公式即可得到BD长，再根据AE是△ABC的中线即可得BC、CD长。
15．【答案】解： ，
.
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】根据△ABC的面积等于AB×CE，又等于 B C × A D，据此列出等式即可求解。
16．【答案】（1）解：∵在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=30°.
（2）解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-40°=50°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和等于180°可知∠BAC=60°，再根据AE平分∠BAC即可求出∠BAE的度数；
（2）根据AD是△ABC的高，利用三角形内角和等于180°可得∠BAD=50°，借助（1）利用角的和差即可求出∠DAE的度数。
17．【答案】解：答案不唯一，如图所示：
（方案一）如图（1），在BC上取点D，E，F，使BD=DE=EF=FC，连接AD，AE，AF；
（方案二）如图（2），分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，FD；
（方案三）如图（3），分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD，AE，DF；
（方案四）如图（4），分别取BC的中点D，AB的中点E，AC的中点F，连接AD，DE，DF.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】根据三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答。
18．【答案】（1）解：结论：
理由：连结AD．则
即
∴
（2）证明：如图2，连结AD．
则
即
∴
（3）解：
证明：如图3，
即
∴
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）连结AD，△ABC被分成△ABD和△ACD，利用图形面积的和差可知 S△ABC=S△ABD+S△ACD，再根据三角形面积公式借助AB=AC即可；
（2）类比（1）的方法即可；
（3）根据 S△ABC=S△ABD S△ACD，类比（1）方法即可。
19．【答案】（1）
（2）
（3）6a；7
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：⑴∵CD=BC，△ABC的面积为a，△ABC与△ACD的高相等，
；
⑵分别过A、E作AG⊥BD，EF⊥BD，G、F为垂足，
则AG∥EF，
∵A为CE的中点，
，
∵BC=CD，
；
⑶∵△BDF的边长BD是△ABC边长BC的2倍，两三角形的两边互为另一三角形两边的延长线， ，
∵△ABC的面积为a，
.
同理得， ， ，
.
，
，
，
∴扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍.
【分析】（1）由CD=BC可知，△ABC与△ADC是等底同高，所以两者面积相等；
（2）作AG⊥BD、EF⊥BD，由AE=CA可知AG是△CEF的中位线，故得AG=EF，又因BC=CD，根据三角形面积计算公式即可得结果；
（3）类比（2）的方法和结果即可解答。
1 / 1沪科版八年级数学上册 13.1三角形中的边角关系 同步练习（三）
一、选择题
1．（2016七下·普宁期末）下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是D．
故选D．
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
2．如图所示，△ABC中AB边上的高线是（ ）
A．线段AG B．线段BD C．线段BE D．线段CF
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义可知，△ABC中AB边上高线应该是过点C向AB所在直线所作的垂线段，
所以△ABC中AB边上的高线是线段CF，
故答案为：D.
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点出发向其对边或所在的直线引垂线段，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高，据此即可判断。
3．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长长6cm，则AB与AC的差为（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=BC.
∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB与AC的差值为6cm．
故答案为：C
【分析】根据三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和其对边中点的线段叫三角形的中线，可知BD=BC，再结合三角形的周长即可得到AB与AC的差。
4．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的有（ ）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵∠1=∠2，
∴AE平分∠DAF，故③正确；
又∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC，故⑤正确．
故选C．
【分析】由∠1=∠2，根据三角形的角平分线的定义得出AE平分∠DAF；又∠3=∠4，利用等式的性质得到∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，那么AE平分∠BAC．
5．如图所示，AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由AB⊥AD，AB⊥BC，可知AB是△ABE、△ABC、△ACE、△ABD的高线，
即以AB为一条高线的三角形共有4个.
故答案为：D.
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点出发向其对边或所在的直线引垂线段，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高，据此即可判断。
6．如图，AD⊥BC于D，DE是△ADC的中线，则以AD为高的三角形有（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有3个，
∴以AD为高的三角形有3个.
故答案为：A.
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点出发向其对边或所在的直线引垂线段，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高，据此即可判断。
7．（2017七下·泰兴期末）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB=3，AC=5，DE=2，点D到AB的距离是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AC=5，DE=2，
∴△ADC的面积为 ×5×2=5，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD的面积为5，
∴点D到AB的距离是2×5÷3= .
故选D.
【分析】此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出△ADC的面积是5三角形的面积等于底边长与高线成绩的一半，三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分.
二、填空题
8．在三角形的中线，高线，角平分线中，一定能把三角形的面积等分的是 .
【答案】三角形的中线
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵在三角形的中线，高线和角平分线中，只有中线一定能够把三角形的一边分成相等的两条线段，
∴一定能够将三角形面积等分的是“三角形的中线”.
故答案为：三角形的中线.
【分析】根据三角形的中线、高线、角平分线的定义，可知只有中线把一个三角形分成等底同高的两个三角形，据此可得答案。
9．BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长之差为 cm．
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：5-3=2cm．
故答案为：2.
【分析】根据三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和其对边中点的线段叫三角形的中线，同时结合三角形的周长即可解答。
10．如图，△ABC中，点D、E分别是BC、AD的中点，△ABC的面积为6，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△AEC= S△ACD，S△ACD= S△ABC，
∴S△AEC= S△ABC= ×6= ．
故答案为： .
【分析】根据点D、E分别是BC、AD的中点，可知AD、CE分别是△ABC、△ADC的中线，而三角形的中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形，据此即可解答。
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B= ．
【答案】30°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠EAD+∠2，
∴∠EAD=∠1﹣∠2=40°﹣20°=20°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣40°﹣20°=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据AE平分∠BAC，∠1=40°、∠2=20°可得∠EAD=20°，再在Rt△ABD中利用两锐角互余即可得∠B的度数。
12．如图所示，阴影部分的面积是 ， ， ，则 的面积是 ．
【答案】5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接DF，设
∵阴影部分的面积是2cm2，
∴x+y=2cm2，
∵AE=ED，
∴ S△ABE=y， S△DEF=x，
∵BD=2DC，
∴
∴△ABC的面积= .
故答案为：5.
【分析】连接DF，由 AE=ED可知S△AEF=S△DEF、S△BDE=S△BAE，又由 B D = 2 D C可知S△CDF=S△BDF，设出 S△AEF=x ， S△BDE=y，由前面的推理即可用含x、y的代数式表示S△ABC，再根据x+y=2整体代入计算即可。
13．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为 ．
【答案】7
【知识点】等式的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH=6，S四边形BFOE=7，S四边形CGOF=8，
∴6+8=7+S四边形DHOG，
解得S四边形DHOG=7．
故答案为：7.
【分析】连接OC，OB，OA，OD，根据E、F、G、H依次是边AB、BC、CD、DA的中点，可知△AOE和△BOE、△BOF和△COF、△COG和△DOG、△DOH和△AOH都是等底等高，故每对面积相等，从而利用等式性质可得四边形ABCD中相对的两个小四边形面积和相等，据此代入即可计算。
三、解答题
14．如图，△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝4，S△ABD＝10，求BC，CD的长.
【答案】解：∵在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE=4，S△ABD=10，
∴S△ABD= BD AE，
∴BD=5，
∵BD=DC，
∴CD=5，BC=2BD=10.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】根据AE也是△ABD的高，借助三角形面积公式即可得到BD长，再根据AE是△ABC的中线即可得BC、CD长。
15．如图，在 中， ，求 的长.
【答案】解： ，
.
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】根据△ABC的面积等于AB×CE，又等于 B C × A D，据此列出等式即可求解。
16．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【答案】（1）解：∵在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=30°.
（2）解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-40°=50°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和等于180°可知∠BAC=60°，再根据AE平分∠BAC即可求出∠BAE的度数；
（2）根据AD是△ABC的高，利用三角形内角和等于180°可得∠BAD=50°，借助（1）利用角的和差即可求出∠DAE的度数。
17．有一块三角形优良品种试验基地，如图，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制订出两种以上的划分方案以供选择（画图说明）.
【答案】解：答案不唯一，如图所示：
（方案一）如图（1），在BC上取点D，E，F，使BD=DE=EF=FC，连接AD，AE，AF；
（方案二）如图（2），分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，FD；
（方案三）如图（3），分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD，AE，DF；
（方案四）如图（4），分别取BC的中点D，AB的中点E，AC的中点F，连接AD，DE，DF.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】根据三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答。
18．如图，在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，判断DE+DF和BG的关系，并说明理由．
（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF和BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明，直接写出结果）
【答案】（1）解：结论：
理由：连结AD．则
即
∴
（2）证明：如图2，连结AD．
则
即
∴
（3）解：
证明：如图3，
即
∴
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）连结AD，△ABC被分成△ABD和△ACD，利用图形面积的和差可知 S△ABC=S△ABD+S△ACD，再根据三角形面积公式借助AB=AC即可；
（2）类比（1）的方法即可；
（3）根据 S△ABC=S△ABD S△ACD，类比（1）方法即可。
19．操作与探究 探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示）；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．
【答案】（1）
（2）
（3）6a；7
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：⑴∵CD=BC，△ABC的面积为a，△ABC与△ACD的高相等，
；
⑵分别过A、E作AG⊥BD，EF⊥BD，G、F为垂足，
则AG∥EF，
∵A为CE的中点，
，
∵BC=CD，
；
⑶∵△BDF的边长BD是△ABC边长BC的2倍，两三角形的两边互为另一三角形两边的延长线， ，
∵△ABC的面积为a，
.
同理得， ， ，
.
，
，
，
∴扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍.
【分析】（1）由CD=BC可知，△ABC与△ADC是等底同高，所以两者面积相等；
（2）作AG⊥BD、EF⊥BD，由AE=CA可知AG是△CEF的中位线，故得AG=EF，又因BC=CD，根据三角形面积计算公式即可得结果；
（3）类比（2）的方法和结果即可解答。
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