福建省福州市马尾区2024届高三上学期数学期中试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解： 因为，所以z=4-2i,所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知先求z，然后代入式子，利用复数除法运算法则计算即可.
2．已知全集为，集合，满足，则下列运算结果一定为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误.
对于B， = ，所以B错误.
对于C，，故C错误.
对于D，,故D正确.
故答案为：D.
【分析】由，可知集合之间包含关系，根据集合运算逐个计算即可判断.
3．已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；相等向量
【解析】【解答】解：因为向量，不共线，且 ，,,所以 ,
即 ,所以 .
故答案为：C.
【分析】根据共线向量的性质得，利用向量相等得出方程组，求解即可.
4．（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，
即OD=OA=OB=2 ，
又∠AOB=60° ，
所以AB=OA=OB=2，
则 ，
故 ，
所以 .
故选：B.
【分析】连接OC，分别求出AB，OC，CD，再根据题意的新定义即可得出答案.
5．若的展开式中二项式系数和为，所有项系数和为，一次项系数为，则（ ）
A．4095 B．4097 C． D．
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：二项式系数和A=210=1024，
令x=1，则各项系数和B=（2-1）10=1，
因为 的展开式的通项公式为,
所以一次项系数C=，所以A+B+C=-4095.
故答案为：C.
【分析】利用二项式系数和为2n求出A，用赋值法求出所有项系数和B，再由二项展开式通项公式求出C，即可求解.
6．已知角的大小如图所示，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由图知 ,则.
故答案为：C.
【分析】根据三角函数定义得的值，然后根据二倍角公式、同角三角函数关系化简，通过正切和角公式，即可求解.
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．6
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ，，所以
所以.
当且仅当,即y=2时取最小值3.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件得得y范围并代入x+y，分离常数后，利用均值不等式即可求得最小值.
8．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2022项之和为（ ）
A．4044 B．4045 C．4046 D．4047
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
又，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以,所以 .
所以 ,
所以 数列的前2022项之和为 3+2+2+2++2=3+22021=4045.
故答案为：B.
【分析】由已知递推式，得数列是首项为3，公差为2的等差数列，根据等差数列通项得，然后用叠加法求得,代入 即得，
由 的定义求和即可.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．已知直线：，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】A,C
【知识点】确定直线位置的几何要素；两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：对于A，当a=-1时， 直线：为x-y+1=0,1
故A正确.
对于B，直线l与直线x-y=0平行，则,所以a=0或-1，故B错误.
对于C，无论a为何值，a=0时y=1， 直线l过定点 （0,1），故C正确.
对于D，当a=0时直线l为x-y+1=0 ,在x轴上截距为-1，在y轴上截距为1，直线l在坐标轴上截距不等，故D错误.
故答案为：A、C.
【分析】根据l两直线垂直的条件A1A2+B1B2=0,可判断A正确.根据两直线平行的条件，斜率相等，求出a，可判断B错误.与a无关，直线过定点，可判断C正确.当a=0时求得两截距，可判断D错误.
10．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3
B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称
D．在区间上单调递减
【答案】B,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；诱导公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为
.
对于A，,f(x)的最大值为，故A错误.
对于B，f(x)的最小正周期T=，故B，正确.
对于C，f(x)对称轴为，故 f(x)的图像关于直线对称 ,故C正确.
对于D，当时，所以f(x) 在区间上单调递增，故D错误.
故答案为：B、C.
【分析】先根据诱导公式、二倍角公式、两角和公式，将函数化成的形式，然后根据正弦型函数性质逐一判断即可.
11．已知同底面的两个正三棱锥和均内接于球，且正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是（ ）.
A．平面
B．设三棱锥和的体积分别为和，则
C．平面截球所得的截面面积是球表面积的倍
D．二面角的正切值为
【答案】B,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解： 因为同底面的两个正三棱锥和均内接于球，所以PQ为球的直径.
取AB中点M，底面ABC中心N，连接PM、QM，则PMAB,CMAB,QMAB.
PN平面ABC，QN平面ABC，所以为侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角.
即，所以PN=MN，设PN=MN=h,OP=R则ON=R-h,CN=2h,所以 ,所以P、C、Q、M四点共面.
所以PA不平行QM，所以PA与平面QBC不平行，故A错误.
所以 ,故B正确.
平面ABC截球O所得的截面面积是 ,球的表面积为 ,所以 平面截球所得的截面面积是球表面积的倍 ，
故C正确.
因为PMAB,QMAB，所以为二面角P-AB-Q的平面角，在中，PM=,
QM=,QP=5h，所以 ，
所以，所以 二面角的正切值为 .故D正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】根据已知得PQ为球的直径，为二面角P-AB-Q的平面角，设P到底面ABC距离为h,
球的半径为R，由从而P、C、Q、M四点共面，然后逐项分析即可.
12．已知函数，则（ ）
A．函数的零点是
B．不等式的解集是
C．设，则在上不是单调函数
D．对任意的，都有
【答案】B,D
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，零点是数不是点，故A错误；
对于B，令f（x）=>0,而y=>0恒成立，所以>0，所以x(0,)，
故B正确；
对于C，令g(x)==，所以，
设1+x=m(m>0)，则，
设，即y=h(m)在定义域上单调递增，
又h(1)=1>0，，即存在使得h(m)=0，
即存在，使得，
所以时，有，则，在上单调递增，故C错误；
对于D，设，由C可知在上单调递增，所以有又即成立，故D正确
故答案为：B、D
【分析】根据零点的定义可判定A错误；由指数函数值域恒正，转化为解对数不等式，可判定B正确；根据导数研究函数的单调性，计算即可判定C错误；构造差函数，结合函数的单调性，计算即可判定D正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知等比数列的公比为2，前项和为，且6，，成等差数列，则 .
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：在等比数列中，设公比为q=2，因为 6，，成等差数列，所以2a2=6+a5,
即 ，
.
故答案为：.
【分析】根据等差中项定义、等比数列通项公式、等比数列前n项和公式，代入计算即可.
14．（2018高三上·如东月考） .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因 ，故 ，应填答案 。
【分析】先利用诱导公式把已知变形，再利用二倍角公式把所求变形代入数据，即可求值.
15．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星（分割成6个不同区域）涂色，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的区域）的颜色不同，则不同的涂色方案共有 .
【答案】96
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设中间五边形区域为A，其余五个三角形区域依次为B、C、D、E、F，区域A，可以涂红、黄、蓝3种颜色，有3种选法，剩下的5个区域都与A相邻，都有2种选法， 则不同的涂色方案共有 =96种.
故答案为：96.
【分析】根据题意，先分析中间区域的涂色方法，再分析其他5个区域涂色方法，由分步计数原理计算即可.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，线段与轴交于点，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：设的焦点F1（-c,0）,F2（c,0）,P（x，y）,过P作x轴垂线交x轴于M，因为 ， 线段与轴交于点，所以，即x=2c,
, 因为为等腰三角形，所以,
所以 ,所以,
所以
故答案为：.
【分析】先由 ， 线段与轴交于点，可得点P的横坐标，代入椭圆方程，得纵坐标，再由为等腰三角形得，用a、b、c表示此等式，b转化为a、c，进而转化为关于离心率的方程，解之可得.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在中，，，分别为角，，所对的边长，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）解：由正弦定理，得，
即.
所以.
从而，
因为，所以.
（2）解：因为，
由（1）知，，
解得，
所以.
所以，.
所以.
所以的面积为.
【知识点】弦切互化；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理，将已知条件由边转化为角，然后把角C转化为A、B，利用两角和差角公式整理，最后将弦转化为切即可.
（2）利用和角正切公式求得，由（1）可得，再根据同角三角函数关系求得，从而求得b，代入三角形面积公式即可.
18．已知数列为等差数列，其前项和为，且，，数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）解：数列为等差数列，其前项和为，且，
设数列的首项为，公差为，则
解得，，所以.
（2）解：数列.
当时，，所以.
当时，，所以
，
故
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据等差数列通项公式、求和公式，列方程组求解即可.
(2)根据通项去绝对值，运用分类讨论思想，求等差数列前n项和.
19．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图G4-1所示，已知，.
（1）若从该苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
（2）从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的重量情况如下：
为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
重量范围（单位：）
个数 2 4 2
【答案】（1）解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，由正态分布的对称性可知，，所以从该苹果园中随机采摘1个苹果，该苹果的重量在内的概率为0.2.
（2）解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
1 2 3
所以.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）运用正态密度曲线的对称性，将转化为即可.
(2)先根据题意得出，随机变量的所有可能取值为1，2，3，然后求出对应概率，可得随机变量的分布列，进而可得 随机变量数学期望.
20．在长方体中，，点是棱上一点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的的大小为，求的值.
【答案】（1）解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.
不妨设，
则，，，，，，，.
因为，所以，于是，.
所以.
故.
（2）解：因为平面，所以平面的法向量为.
又，.
设平面的法向量为，
则，
所以向量的一个解为.
因为二面角的大小为，
则，所以，
解得.
又因是棱上的一点，所以，故所求的值为.
【知识点】空间中的点的坐标；二面角的平面角及求法；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.求得各点坐标，设 ，得，利用两向量垂直的条件，证明即可.
(2)先求出两平面的法向量、，利用二面角的大小为，列出等式即可求解.
21．已知椭圆：的离心率为，焦距为2.
（1）求籿圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆相交于，两点，且.
①求证：的面积为定值；
②椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：设椭圆焦距为，故，
所以，则，
椭圆的方程为.
（2）解：①由消去，化简得：，
设，，则，
故，
因为，
所以，
所以，
所以为定值.
②若存在椭圆上的点，使得为平行四边形，则，
设，则，
又因为，
即，得，
又因为，矛盾，
故椭圆上不存在点，使得为平行四边形.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据 离心率为、焦距为2，列出方程组求出a、b即可得椭圆标准方程.
（2）①联立方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理，表示出弦长、 的高，从而证得的面积为定值 .
②假设存在椭圆上的点，使得为平行四边形，得，求得P点坐标，代入椭圆方程，得出结论，与根据已知条件得出的矛盾，故椭圆上不存在点，使得为平行四边形.
22．已知函数.
（1）设，是函数图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0；
（2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立.
【答案】（1）解：由题意，得.
所以函数在上单调递增.
设，，则有，即.
（2）解：当时，恒成立.
当时，令，
①当，即时，，
所以在上为单调增函数.
所以，符合题意.
②当，即时，令，
于是.
因为，所以，从而.
所以在上为单增函数.
所以，即，
亦即.
（i）当，即时，，
所以在上为单调增函数.
于是，符合；
（ii）当，即时，存在，使得
当时，有，
此时在上为单调减函数，
从而，不能使恒成立.
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；斜率的计算公式
【解析】【分析】(1)先通过求导数得出函数的单调性，然后根据斜率定义，即可证明.
（2）当时，恒成立.
当时，令，通过求导，分类讨论研究函数单调性，从而研究函数最小值，即可求得 数的取值范围 .
1 / 1福建省福州市马尾区2024届高三上学期数学期中试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知全集为，集合，满足，则下列运算结果一定为的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
4．（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ）
A． B． C． D．
5．若的展开式中二项式系数和为，所有项系数和为，一次项系数为，则（ ）
A．4095 B．4097 C． D．
6．已知角的大小如图所示，则（ ）
A． B． C． D．4
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．6
8．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2022项之和为（ ）
A．4044 B．4045 C．4046 D．4047
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．已知直线：，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
10．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3
B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称
D．在区间上单调递减
11．已知同底面的两个正三棱锥和均内接于球，且正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是（ ）.
A．平面
B．设三棱锥和的体积分别为和，则
C．平面截球所得的截面面积是球表面积的倍
D．二面角的正切值为
12．已知函数，则（ ）
A．函数的零点是
B．不等式的解集是
C．设，则在上不是单调函数
D．对任意的，都有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知等比数列的公比为2，前项和为，且6，，成等差数列，则 .
14．（2018高三上·如东月考） .
15．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星（分割成6个不同区域）涂色，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的区域）的颜色不同，则不同的涂色方案共有 .
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，线段与轴交于点，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在中，，，分别为角，，所对的边长，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
18．已知数列为等差数列，其前项和为，且，，数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图G4-1所示，已知，.
（1）若从该苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
（2）从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的重量情况如下：
为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
重量范围（单位：）
个数 2 4 2
20．在长方体中，，点是棱上一点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的的大小为，求的值.
21．已知椭圆：的离心率为，焦距为2.
（1）求籿圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆相交于，两点，且.
①求证：的面积为定值；
②椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由.
22．已知函数.
（1）设，是函数图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0；
（2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解： 因为，所以z=4-2i,所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知先求z，然后代入式子，利用复数除法运算法则计算即可.
2．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误.
对于B， = ，所以B错误.
对于C，，故C错误.
对于D，,故D正确.
故答案为：D.
【分析】由，可知集合之间包含关系，根据集合运算逐个计算即可判断.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；相等向量
【解析】【解答】解：因为向量，不共线，且 ，,,所以 ,
即 ,所以 .
故答案为：C.
【分析】根据共线向量的性质得，利用向量相等得出方程组，求解即可.
4．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，
即OD=OA=OB=2 ，
又∠AOB=60° ，
所以AB=OA=OB=2，
则 ，
故 ，
所以 .
故选：B.
【分析】连接OC，分别求出AB，OC，CD，再根据题意的新定义即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：二项式系数和A=210=1024，
令x=1，则各项系数和B=（2-1）10=1，
因为 的展开式的通项公式为,
所以一次项系数C=，所以A+B+C=-4095.
故答案为：C.
【分析】利用二项式系数和为2n求出A，用赋值法求出所有项系数和B，再由二项展开式通项公式求出C，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由图知 ,则.
故答案为：C.
【分析】根据三角函数定义得的值，然后根据二倍角公式、同角三角函数关系化简，通过正切和角公式，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ，，所以
所以.
当且仅当,即y=2时取最小值3.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件得得y范围并代入x+y，分离常数后，利用均值不等式即可求得最小值.
8．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
又，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以,所以 .
所以 ,
所以 数列的前2022项之和为 3+2+2+2++2=3+22021=4045.
故答案为：B.
【分析】由已知递推式，得数列是首项为3，公差为2的等差数列，根据等差数列通项得，然后用叠加法求得,代入 即得，
由 的定义求和即可.
9．【答案】A,C
【知识点】确定直线位置的几何要素；两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：对于A，当a=-1时， 直线：为x-y+1=0,1
故A正确.
对于B，直线l与直线x-y=0平行，则,所以a=0或-1，故B错误.
对于C，无论a为何值，a=0时y=1， 直线l过定点 （0,1），故C正确.
对于D，当a=0时直线l为x-y+1=0 ,在x轴上截距为-1，在y轴上截距为1，直线l在坐标轴上截距不等，故D错误.
故答案为：A、C.
【分析】根据l两直线垂直的条件A1A2+B1B2=0,可判断A正确.根据两直线平行的条件，斜率相等，求出a，可判断B错误.与a无关，直线过定点，可判断C正确.当a=0时求得两截距，可判断D错误.
10．【答案】B,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；诱导公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为
.
对于A，,f(x)的最大值为，故A错误.
对于B，f(x)的最小正周期T=，故B，正确.
对于C，f(x)对称轴为，故 f(x)的图像关于直线对称 ,故C正确.
对于D，当时，所以f(x) 在区间上单调递增，故D错误.
故答案为：B、C.
【分析】先根据诱导公式、二倍角公式、两角和公式，将函数化成的形式，然后根据正弦型函数性质逐一判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解： 因为同底面的两个正三棱锥和均内接于球，所以PQ为球的直径.
取AB中点M，底面ABC中心N，连接PM、QM，则PMAB,CMAB,QMAB.
PN平面ABC，QN平面ABC，所以为侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角.
即，所以PN=MN，设PN=MN=h,OP=R则ON=R-h,CN=2h,所以 ,所以P、C、Q、M四点共面.
所以PA不平行QM，所以PA与平面QBC不平行，故A错误.
所以 ,故B正确.
平面ABC截球O所得的截面面积是 ,球的表面积为 ,所以 平面截球所得的截面面积是球表面积的倍 ，
故C正确.
因为PMAB,QMAB，所以为二面角P-AB-Q的平面角，在中，PM=,
QM=,QP=5h，所以 ，
所以，所以 二面角的正切值为 .故D正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】根据已知得PQ为球的直径，为二面角P-AB-Q的平面角，设P到底面ABC距离为h,
球的半径为R，由从而P、C、Q、M四点共面，然后逐项分析即可.
12．【答案】B,D
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，零点是数不是点，故A错误；
对于B，令f（x）=>0,而y=>0恒成立，所以>0，所以x(0,)，
故B正确；
对于C，令g(x)==，所以，
设1+x=m(m>0)，则，
设，即y=h(m)在定义域上单调递增，
又h(1)=1>0，，即存在使得h(m)=0，
即存在，使得，
所以时，有，则，在上单调递增，故C错误；
对于D，设，由C可知在上单调递增，所以有又即成立，故D正确
故答案为：B、D
【分析】根据零点的定义可判定A错误；由指数函数值域恒正，转化为解对数不等式，可判定B正确；根据导数研究函数的单调性，计算即可判定C错误；构造差函数，结合函数的单调性，计算即可判定D正确.
13．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：在等比数列中，设公比为q=2，因为 6，，成等差数列，所以2a2=6+a5,
即 ，
.
故答案为：.
【分析】根据等差中项定义、等比数列通项公式、等比数列前n项和公式，代入计算即可.
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因 ，故 ，应填答案 。
【分析】先利用诱导公式把已知变形，再利用二倍角公式把所求变形代入数据，即可求值.
15．【答案】96
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设中间五边形区域为A，其余五个三角形区域依次为B、C、D、E、F，区域A，可以涂红、黄、蓝3种颜色，有3种选法，剩下的5个区域都与A相邻，都有2种选法， 则不同的涂色方案共有 =96种.
故答案为：96.
【分析】根据题意，先分析中间区域的涂色方法，再分析其他5个区域涂色方法，由分步计数原理计算即可.
16．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：设的焦点F1（-c,0）,F2（c,0）,P（x，y）,过P作x轴垂线交x轴于M，因为 ， 线段与轴交于点，所以，即x=2c,
, 因为为等腰三角形，所以,
所以 ,所以,
所以
故答案为：.
【分析】先由 ， 线段与轴交于点，可得点P的横坐标，代入椭圆方程，得纵坐标，再由为等腰三角形得，用a、b、c表示此等式，b转化为a、c，进而转化为关于离心率的方程，解之可得.
17．【答案】（1）解：由正弦定理，得，
即.
所以.
从而，
因为，所以.
（2）解：因为，
由（1）知，，
解得，
所以.
所以，.
所以.
所以的面积为.
【知识点】弦切互化；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理，将已知条件由边转化为角，然后把角C转化为A、B，利用两角和差角公式整理，最后将弦转化为切即可.
（2）利用和角正切公式求得，由（1）可得，再根据同角三角函数关系求得，从而求得b，代入三角形面积公式即可.
18．【答案】（1）解：数列为等差数列，其前项和为，且，
设数列的首项为，公差为，则
解得，，所以.
（2）解：数列.
当时，，所以.
当时，，所以
，
故
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据等差数列通项公式、求和公式，列方程组求解即可.
(2)根据通项去绝对值，运用分类讨论思想，求等差数列前n项和.
19．【答案】（1）解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，由正态分布的对称性可知，，所以从该苹果园中随机采摘1个苹果，该苹果的重量在内的概率为0.2.
（2）解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
1 2 3
所以.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）运用正态密度曲线的对称性，将转化为即可.
(2)先根据题意得出，随机变量的所有可能取值为1，2，3，然后求出对应概率，可得随机变量的分布列，进而可得 随机变量数学期望.
20．【答案】（1）解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.
不妨设，
则，，，，，，，.
因为，所以，于是，.
所以.
故.
（2）解：因为平面，所以平面的法向量为.
又，.
设平面的法向量为，
则，
所以向量的一个解为.
因为二面角的大小为，
则，所以，
解得.
又因是棱上的一点，所以，故所求的值为.
【知识点】空间中的点的坐标；二面角的平面角及求法；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.求得各点坐标，设 ，得，利用两向量垂直的条件，证明即可.
(2)先求出两平面的法向量、，利用二面角的大小为，列出等式即可求解.
21．【答案】（1）解：设椭圆焦距为，故，
所以，则，
椭圆的方程为.
（2）解：①由消去，化简得：，
设，，则，
故，
因为，
所以，
所以，
所以为定值.
②若存在椭圆上的点，使得为平行四边形，则，
设，则，
又因为，
即，得，
又因为，矛盾，
故椭圆上不存在点，使得为平行四边形.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据 离心率为、焦距为2，列出方程组求出a、b即可得椭圆标准方程.
（2）①联立方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理，表示出弦长、 的高，从而证得的面积为定值 .
②假设存在椭圆上的点，使得为平行四边形，得，求得P点坐标，代入椭圆方程，得出结论，与根据已知条件得出的矛盾，故椭圆上不存在点，使得为平行四边形.
22．【答案】（1）解：由题意，得.
所以函数在上单调递增.
设，，则有，即.
（2）解：当时，恒成立.
当时，令，
①当，即时，，
所以在上为单调增函数.
所以，符合题意.
②当，即时，令，
于是.
因为，所以，从而.
所以在上为单增函数.
所以，即，
亦即.
（i）当，即时，，
所以在上为单调增函数.
于是，符合；
（ii）当，即时，存在，使得
当时，有，
此时在上为单调减函数，
从而，不能使恒成立.
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；斜率的计算公式
【解析】【分析】(1)先通过求导数得出函数的单调性，然后根据斜率定义，即可证明.
（2）当时，恒成立.
当时，令，通过求导，分类讨论研究函数单调性，从而研究函数最小值，即可求得 数的取值范围 .
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