高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式
一、单选题
1．已知直线 与直线 垂直，则点 到直线 的距离为（　　）
A．1 B．2 C． D．
2．已知两点 ， 到直线 的距离相等，则m的值为（　　）
A．-6或1 B． 或1 C． 或 D．-6或
3．点 到直线 的距离为 ，则 的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
4．两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是（　　）
A．05．已知 ， 两点到直线 的距离相等，则实数a的值为（　　）
A．-3 B．3 C．-3或3 D．1或3
6．已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为（　　）
A．1 B．-1 C． D．±
7．（2019高二上·青海月考）已知直线 过定点 ，点 在直线 上，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8． 到直线 的距离的最大值是　 　.
9．一直线过点P(2,0)，且点 到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为　 　.
10．已知点（m，2）到直线x+y–4＝0的距离等于 ，则m的值为　 　．
11．若直线l在x轴上的截距为1,点 到l的距离相等，则l的方程为　 　.
三、解答题
12．在直线 上求一点P，使它到原点的距离与到直线 的距离相等．
13．求过点 且与点 ， 等距离的直线l的方程.
14．（2018高二上·太原期中）已知 的三个顶点的坐标是 ．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求 的面积．
15．已知三条直线 ， 和 .能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：（1）P是第一象限的点；（2）P点到 的距离是P点到 的距离的 ；（3）P点到 的距离与P点到 的距离之比是 ？若能，求出P点的坐标；若不能，说明理由.
16．已知△ABC的内角平分线CD的方程为 ，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．
（1）求点A到直线CD的距离；
（2）求点C的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
即 ， ，
则点 到直线 的距离为 ．
故答案为：C
【分析】根据题意由直线垂直系数的关系求出a的取值，再由点到直线的距离公式代入数值计算出结果即可。
2．【答案】D
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】由题意得 ，解得 或 ，
故答案为：D
【分析】根据题意由平行直线间的距离公式代入数值计算出m的值即可。
3．【答案】A
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】直线方程即 ，据此可知直线恒过定点 ，
当直线 时， 有最大值，
结合两点之间距离公式可得 的最大值为 .
故答案为：A.
【分析】首先整理直线的方程即可求出直线过定点的坐标，再由题意可得当时由最值结合两点间的距离代入数值计算出结果即可。
4．【答案】B
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】当两平行线垂直于AB时它们之间的距离最大，此时d=|AB|= =5，故0故答案为：B
【分析】当两平行线垂直于AB时它们之间的距离最大，计算此时距离d，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由题意得 解得 或3．
故答案为：C.
【分析】由平行直线间的距离公式代入数值计算出a的值即可。
6．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】.由题意，得 =1，
即|a|= ，所以a=± .
故答案为：D
【分析】利用点到直线距离公式，即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】将直线 整理为点斜式，
得 , 为 ，
点 在直线 上,
的最小值为点 到直线 的距离,
，
故选：B.
【分析】由已知得到定点 的坐标, 的最小值为该定点到直线的距离，利用点到直线的距离公式计算即可得结果.
8．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由点到直线的距离公式可得，点 到直线 的距离
.
当 时， .
故答案为：
【分析】由点到直线的距离公式代入数值计算出关于距离d的代数式，结合正弦函数的性质即可求出最大值即可。
9．【答案】90°或30°
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】当过点P的直线垂直于x轴时，点Q到该直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°；当过点P的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在
设为k，则过点P的直线方程为 ，即 .
由 ，解得 ，此时直线的倾斜角为30°.
【分析】根据题意讨论当斜率不存在时和当斜率存在时两种情况，当斜率存在时由点斜式求出直线的方程再由点到直线的距离公式代入数值计算出斜率的值由此得出倾斜角的大小。
10．【答案】0或4
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题意， ，即|m–2|＝2，
解得m＝0或4．
故答案为：0或4．
【分析】根据题意由点到直线的距离公式代入数值计算出m的值即可。
11．【答案】x-y-1=0或x=1
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】显然直线 轴时符合要求，此时 的方程为 .
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l的方程为 ，即 .
∵A，B到l的距离相等∴ ，∴ ，∴ ，
∴直线l的方程为x-y-1=0.
故答案为x-y-1=0或x=1
【分析】根据题意讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，当斜率存在时由点斜式设出直线的方程再由点到直线的距离公式代入数值计算出k的值，由此得到直线的方程。
12．【答案】解：设点P的坐标为 ，则 ，
解之得 ．
∴点P的坐标为 或
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】根据题意设出点P的坐标再由点到直线的距离公式代入数值计算出t的值，由此求出点P的坐标即可。
13．【答案】解：解法一： 点 与 到y轴的距离不相等，
直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2， 直线l的方程为 ，即 .
由点 与 到直线l的距离相等，
得 ，解得 或 .
直线l的方程是 或 .
解法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等.
的中点是 ，又直线l过点 .
直线l的方程是 ；
当直线 时，直线l与点A，B的距离相等.
直线AB的斜率为0， 直线l的斜率为0，
直线l的方程为 .
综上所述，满足条件的直线l的方程是 或
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】法一：根据题意可得出斜率存在由点斜式求出直线的方程，再由点到直线的距离公式代入数值计算出k的值由此得到直线的方程。
法二：由已知条件利用点的坐标求出直线的方程再讨论斜率不存在时由点的坐标即可求出直线的方程。
14．【答案】（1）解：由题可知，直线BC过 ， 方程为 ，化简得 ，
直线BC方程为
（2）解：由题可知 ， 到直线BC的距离 ， ， 的面积为
【知识点】直线的两点式方程
【解析】【分析】（1）根据两点式，结合B和C的坐标，即可得到BC边所在直线的方程；
（2）根据两点间距离公式求出BC，结合点到直线距离公式求出A到BC的距离，即可得到 的面积．
15．【答案】解：能.设存在满足条件的点 ，若点P满足条件（2），则有 ，化简得 或 .
若P点满足条件（3），则由点到直线的距离公式，有 ，
即 .
或 .
又P是第一象限的点， 不合题意，故舍去.
由 ，得 .不合题意，故舍去.
由 ，得 .
即同时满足三个条件的点
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】根据题意由点到直线的距离公式讨论当点P满足(2)与（3）两种条件下参数的取值，再由几何意义讨论即可得出结果。
16．【答案】（1）解：点 到直线 的距离
（2）解：依题意，点 关于直线 的对称点 在边 上，设 .则
，解得 ，
即 .
∴直线 的方程为 .
联立直线 与 的方程，解得 点的坐标为
【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】(1)根据题意由点到直线的距离公式代入数值计算出结果即可。
(2)首先由点的对称性质求出点的坐标，由点斜式得出直线的方程联立直线的方程求出点C的坐标。
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一、单选题
1．已知直线 与直线 垂直，则点 到直线 的距离为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
即 ， ，
则点 到直线 的距离为 ．
故答案为：C
【分析】根据题意由直线垂直系数的关系求出a的取值，再由点到直线的距离公式代入数值计算出结果即可。
2．已知两点 ， 到直线 的距离相等，则m的值为（　　）
A．-6或1 B． 或1 C． 或 D．-6或
【答案】D
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】由题意得 ，解得 或 ，
故答案为：D
【分析】根据题意由平行直线间的距离公式代入数值计算出m的值即可。
3．点 到直线 的距离为 ，则 的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】直线方程即 ，据此可知直线恒过定点 ，
当直线 时， 有最大值，
结合两点之间距离公式可得 的最大值为 .
故答案为：A.
【分析】首先整理直线的方程即可求出直线过定点的坐标，再由题意可得当时由最值结合两点间的距离代入数值计算出结果即可。
4．两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是（　　）
A．0【答案】B
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】当两平行线垂直于AB时它们之间的距离最大，此时d=|AB|= =5，故0故答案为：B
【分析】当两平行线垂直于AB时它们之间的距离最大，计算此时距离d，即可得出答案。
5．已知 ， 两点到直线 的距离相等，则实数a的值为（　　）
A．-3 B．3 C．-3或3 D．1或3
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由题意得 解得 或3．
故答案为：C.
【分析】由平行直线间的距离公式代入数值计算出a的值即可。
6．已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为（　　）
A．1 B．-1 C． D．±
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】.由题意，得 =1，
即|a|= ，所以a=± .
故答案为：D
【分析】利用点到直线距离公式，即可得出答案。
7．（2019高二上·青海月考）已知直线 过定点 ，点 在直线 上，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】将直线 整理为点斜式，
得 , 为 ，
点 在直线 上,
的最小值为点 到直线 的距离,
，
故选：B.
【分析】由已知得到定点 的坐标, 的最小值为该定点到直线的距离，利用点到直线的距离公式计算即可得结果.
二、填空题
8． 到直线 的距离的最大值是　 　.
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由点到直线的距离公式可得，点 到直线 的距离
.
当 时， .
故答案为：
【分析】由点到直线的距离公式代入数值计算出关于距离d的代数式，结合正弦函数的性质即可求出最大值即可。
9．一直线过点P(2,0)，且点 到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为　 　.
【答案】90°或30°
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】当过点P的直线垂直于x轴时，点Q到该直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°；当过点P的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在
设为k，则过点P的直线方程为 ，即 .
由 ，解得 ，此时直线的倾斜角为30°.
【分析】根据题意讨论当斜率不存在时和当斜率存在时两种情况，当斜率存在时由点斜式求出直线的方程再由点到直线的距离公式代入数值计算出斜率的值由此得出倾斜角的大小。
10．已知点（m，2）到直线x+y–4＝0的距离等于 ，则m的值为　 　．
【答案】0或4
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题意， ，即|m–2|＝2，
解得m＝0或4．
故答案为：0或4．
【分析】根据题意由点到直线的距离公式代入数值计算出m的值即可。
11．若直线l在x轴上的截距为1,点 到l的距离相等，则l的方程为　 　.
【答案】x-y-1=0或x=1
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】显然直线 轴时符合要求，此时 的方程为 .
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l的方程为 ，即 .
∵A，B到l的距离相等∴ ，∴ ，∴ ，
∴直线l的方程为x-y-1=0.
故答案为x-y-1=0或x=1
【分析】根据题意讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，当斜率存在时由点斜式设出直线的方程再由点到直线的距离公式代入数值计算出k的值，由此得到直线的方程。
三、解答题
12．在直线 上求一点P，使它到原点的距离与到直线 的距离相等．
【答案】解：设点P的坐标为 ，则 ，
解之得 ．
∴点P的坐标为 或
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】根据题意设出点P的坐标再由点到直线的距离公式代入数值计算出t的值，由此求出点P的坐标即可。
13．求过点 且与点 ， 等距离的直线l的方程.
【答案】解：解法一： 点 与 到y轴的距离不相等，
直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2， 直线l的方程为 ，即 .
由点 与 到直线l的距离相等，
得 ，解得 或 .
直线l的方程是 或 .
解法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等.
的中点是 ，又直线l过点 .
直线l的方程是 ；
当直线 时，直线l与点A，B的距离相等.
直线AB的斜率为0， 直线l的斜率为0，
直线l的方程为 .
综上所述，满足条件的直线l的方程是 或
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】法一：根据题意可得出斜率存在由点斜式求出直线的方程，再由点到直线的距离公式代入数值计算出k的值由此得到直线的方程。
法二：由已知条件利用点的坐标求出直线的方程再讨论斜率不存在时由点的坐标即可求出直线的方程。
14．（2018高二上·太原期中）已知 的三个顶点的坐标是 ．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求 的面积．
【答案】（1）解：由题可知，直线BC过 ， 方程为 ，化简得 ，
直线BC方程为
（2）解：由题可知 ， 到直线BC的距离 ， ， 的面积为
【知识点】直线的两点式方程
【解析】【分析】（1）根据两点式，结合B和C的坐标，即可得到BC边所在直线的方程；
（2）根据两点间距离公式求出BC，结合点到直线距离公式求出A到BC的距离，即可得到 的面积．
15．已知三条直线 ， 和 .能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：（1）P是第一象限的点；（2）P点到 的距离是P点到 的距离的 ；（3）P点到 的距离与P点到 的距离之比是 ？若能，求出P点的坐标；若不能，说明理由.
【答案】解：能.设存在满足条件的点 ，若点P满足条件（2），则有 ，化简得 或 .
若P点满足条件（3），则由点到直线的距离公式，有 ，
即 .
或 .
又P是第一象限的点， 不合题意，故舍去.
由 ，得 .不合题意，故舍去.
由 ，得 .
即同时满足三个条件的点
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】根据题意由点到直线的距离公式讨论当点P满足(2)与（3）两种条件下参数的取值，再由几何意义讨论即可得出结果。
16．已知△ABC的内角平分线CD的方程为 ，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．
（1）求点A到直线CD的距离；
（2）求点C的坐标．
【答案】（1）解：点 到直线 的距离
（2）解：依题意，点 关于直线 的对称点 在边 上，设 .则
，解得 ，
即 .
∴直线 的方程为 .
联立直线 与 的方程，解得 点的坐标为
【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】(1)根据题意由点到直线的距离公式代入数值计算出结果即可。
(2)首先由点的对称性质求出点的坐标，由点斜式得出直线的方程联立直线的方程求出点C的坐标。
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