上海市闵行区名校2024届高三上学期开学考试数学试卷
一、填空题
1．（201920高三上·长宁期末）已知集合 ， ，则 .
2．（2023高三上·闵行开学考）复数在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是 ．
3．（2023·普陀模拟）函数的定义域为 ．
4．（2018·长宁模拟）已知 ，则 .
5．（2020高二下·深圳期中） 的二项展开式中的常数项为 .(用数字作答)
6．（2023高三上·闵行开学考）点都在同一个指数函数的图象上，则 ．
7．（2023高三上·闵行开学考）一个正方体和一个球的表面积相同，则正方体的体积和球的体积的比值 ．
8．（2023高三上·闵行开学考）为抛物线上一点，其中为抛物线焦点，直线方程为为垂足，则 ．
9．（2022高三上·宝山模拟）已知数列的前项和为，且满足，，则 .
10．（2023高三下·上海市开学考）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 .
11．（2023·黄浦模拟）若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为 ．
12．（2023高三上·闵行开学考）设是以1为周期的函数，，若函数的值域为，则函数的值域为 ．
二、单选题
13．（2023高三上·闵行开学考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2023高三上·闵行开学考）已知双曲线与有共同渐近线，则它们一定有相等的（ ）
A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率
15．（2023高三上·闵行开学考）设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；具有性质的函数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．（2023高三上·闵行开学考）已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
三、解答题
17．（2023高三上·闵行开学考）已知等差数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值．
18．（2023高三上·闵行开学考）在正三棱柱中，，求：
（1）异面直线与所成角的大小；
（2）四棱锥的体积．
19．（2023高三上·闵行开学考）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人？
（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值．
20．（2023高三上·闵行开学考）已知为椭圆内一定点，为直线上一动点，直线与椭圆交于两点（点位于两点之间），为坐标原点．
（1）当直线的倾斜角为时，求直线的斜率；
（2）当的面积为时，求点的横坐标；
（3）设，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
21．（2023高三上·闵行开学考）已知函数．
（1）求函数在处切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围；
（3）当时，设函数，对于任意的，试确定函数的零点个数，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为：
【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出交集．
2．【答案】
【解析】【解答】解：
【分析】
3．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】，
，或
所以定义域为：.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，从而得出函数的定义域。
4．【答案】
【知识点】诱导公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由诱导公式知 ，故填 .
【分析】由整体的思想和诱导公式可得答案．注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
5．【答案】160
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题得 ，
令 .
所以二项展开式的常数项为 .
故答案为：160.
【分析】先求出 ，再令 求出 即得解.
6．【答案】9
【知识点】指数函数的概念与表示；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设该指数函数的解析式为把点P代入得，点Q代入得即
故答案为：.
【分析】将点P代入指数函数解析式解得底数a的值与函数表达式，再将点Q代入函数表达式根据指数的运算性质与对数恒等式即可求解。
7．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设正方体的边长为a，球的半径为R，由已知得，所以.
故答案为：.
【分析】先根据正方体的表面积和球的表面积相等，推出正方体边长与球半径的关系，再代入各自的体积公式即可求解。
8．【答案】5
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由抛物线的解析式知，准线方程为因为点P是抛物线上一点，所以点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，所以等于点H到准线的距离，因为直线l的方程为所以
故答案为：5.
【分析】本题考查抛物线的定义，由定义知所以点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，所以等于点H到准线的距离。
9．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为，
所以，
所以是以2为公差的等差数列，
所以，
故答案为：
【分析】由题意得，求出d的值，再根据等差数列的前n项和公式即可求出 的值 。
10．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】依题意是奇函数，图象关于原点对称，
由图象可知，在区间递减，；
在区间递增，.
所以的解集.
故答案为：
【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.
11．【答案】
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】设物品原价格为1，因为，，
，，
故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，
5天升高1天降低和6天升高，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为.
故答案为：.
【分析】由已知结合n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式，即可求解出答案.
12．【答案】
【知识点】函数的值域；复合函数的单调性；函数的周期性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：。
当时，故即
由于函数的值域为，所以而是以1为周期的函数，故时，均有当时，，当时，，故
故答案为：.
【分析】由解析式，得到，再根据指数函数的单调性以及复合函数的单调性推导出在的值域。
13．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：但未必有，所以“”是“”的充分不必要条件。
故答案为：A.
【分析】本题考查充分、必要条件的判断，由定义即可求解。
14．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由已知得即即
故答案为：D.
【分析】根据公式即可求解。
15．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：对于 ① 因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，如 故存在；
对于② 假设存在不相等的实数使得即得矛盾，故不存在；
对于 ③ 函数为偶函数，令存在。
故答案为C.
【分析】
16．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；正弦函数的图象；诱导公式
【解析】【解答】解： 对任意实数均有 恒成立，即函数的图像始终在函数的图像的上方或重合， 当 有以下三种情况：
（1）（2）此时与的图像重合；（3）同（2）.
故答案为：C.
【分析】本题对于恒成立问题，利用三角函数的诱导公式与图像即可求解。
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由，
得，解得，
所以
（2）解：因为，
所以，
因为，所以，
即，又，所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式。
（1）根据等差数列的通项公式，联立方程组，求得首项和公差代入公式即可求解；
（2）由（1）所得的通项公式及得到关于k的一元二次方程即可求解。
18．【答案】（1）解：∵正三棱柱，
是异面直线与所成角，
在中，，
，
，
∴异面直线与所成角大小为
（2）解：∵正三棱柱中，，
，
，
∴四棱锥的体积．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角与锥体的体积。
(1)先根据平移找到异面直线B1C1与A1C所成的角，再由余弦定理即可求解 ；
(2)结合已知与柱体体积公式及锥体体积公式做差即可求解。
19．【答案】（1）解：由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：
得
解得，所以调整后的技术人员的人数最多75人。
（2）解：由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：
得，整理得
故有
当且仅当时等号成立，所以，
故正整数的最大值为7
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题考查不等式的实际应用。
(1)根据题意列出关于x的一元二次不等式即可求解；
(2)本小题考查基本不等式的应用，对于正实数(当且仅当a=b时等号成立）。
20．【答案】（1）解：因为直线的倾斜角为，且，
所以直线的方程为：，
由，得，
所以直线的斜率是
（2）解：易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得，
设，则，
所以，
所以，
解得，即，
所以直线的方程为或，
由，得；
由，得
（3）解：易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得，
设，则，
所以，
因为，
所以，
所以．
【知识点】斜率的计算公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的综合问题。
（1）先由斜率公式和点P的坐标求出直线PQ的方程，再求点Q的坐标，利用即得直线OQ的斜率；
（2） 当的面积为时 ，设，利用公式，其中 ，即可求得k的值，联立直线PQ与直线y=3的方程，即可求得点Q的坐标；
（3）联立直线PQ与椭圆方程，结合韦达定理用m表示y1-1与y2-1的和与积，代入已知向量即可求解。
21．【答案】（1）解：由于函数，故，
故，且，
所以函数在处切线方程为，即
（2）解：对任意的恒成立，即，
即对任意的恒成立，
令，则，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故时，函数取得极大值也即最大值，则，
所以，则的取值范围为，即
（3）解：由可得，对于任意的，由，
当时，单调递增，，
故在上有唯一实根；
当时，令，则，
而，当时，递减，
当时，递增，故，
所以，故在上没有实根；
综合上述，对于任意的，函数有且只有一个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义先求出函数在处切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）不等式的恒成立问题，利用导数与函数的单调性求出构造函数的最值即可；
(3)同（2）利用导数与函数的单调性确定函数零点个数，其中零点是时x的值。
1 / 1上海市闵行区名校2024届高三上学期开学考试数学试卷
一、填空题
1．（201920高三上·长宁期末）已知集合 ， ，则 .
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为：
【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出交集．
2．（2023高三上·闵行开学考）复数在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
【分析】
3．（2023·普陀模拟）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】，
，或
所以定义域为：.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，从而得出函数的定义域。
4．（2018·长宁模拟）已知 ，则 .
【答案】
【知识点】诱导公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由诱导公式知 ，故填 .
【分析】由整体的思想和诱导公式可得答案．注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
5．（2020高二下·深圳期中） 的二项展开式中的常数项为 .(用数字作答)
【答案】160
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题得 ，
令 .
所以二项展开式的常数项为 .
故答案为：160.
【分析】先求出 ，再令 求出 即得解.
6．（2023高三上·闵行开学考）点都在同一个指数函数的图象上，则 ．
【答案】9
【知识点】指数函数的概念与表示；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设该指数函数的解析式为把点P代入得，点Q代入得即
故答案为：.
【分析】将点P代入指数函数解析式解得底数a的值与函数表达式，再将点Q代入函数表达式根据指数的运算性质与对数恒等式即可求解。
7．（2023高三上·闵行开学考）一个正方体和一个球的表面积相同，则正方体的体积和球的体积的比值 ．
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设正方体的边长为a，球的半径为R，由已知得，所以.
故答案为：.
【分析】先根据正方体的表面积和球的表面积相等，推出正方体边长与球半径的关系，再代入各自的体积公式即可求解。
8．（2023高三上·闵行开学考）为抛物线上一点，其中为抛物线焦点，直线方程为为垂足，则 ．
【答案】5
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由抛物线的解析式知，准线方程为因为点P是抛物线上一点，所以点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，所以等于点H到准线的距离，因为直线l的方程为所以
故答案为：5.
【分析】本题考查抛物线的定义，由定义知所以点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，所以等于点H到准线的距离。
9．（2022高三上·宝山模拟）已知数列的前项和为，且满足，，则 .
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为，
所以，
所以是以2为公差的等差数列，
所以，
故答案为：
【分析】由题意得，求出d的值，再根据等差数列的前n项和公式即可求出 的值 。
10．（2023高三下·上海市开学考）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】依题意是奇函数，图象关于原点对称，
由图象可知，在区间递减，；
在区间递增，.
所以的解集.
故答案为：
【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.
11．（2023·黄浦模拟）若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为 ．
【答案】
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】设物品原价格为1，因为，，
，，
故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，
5天升高1天降低和6天升高，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为.
故答案为：.
【分析】由已知结合n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式，即可求解出答案.
12．（2023高三上·闵行开学考）设是以1为周期的函数，，若函数的值域为，则函数的值域为 ．
【答案】
【知识点】函数的值域；复合函数的单调性；函数的周期性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：。
当时，故即
由于函数的值域为，所以而是以1为周期的函数，故时，均有当时，，当时，，故
故答案为：.
【分析】由解析式，得到，再根据指数函数的单调性以及复合函数的单调性推导出在的值域。
二、单选题
13．（2023高三上·闵行开学考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：但未必有，所以“”是“”的充分不必要条件。
故答案为：A.
【分析】本题考查充分、必要条件的判断，由定义即可求解。
14．（2023高三上·闵行开学考）已知双曲线与有共同渐近线，则它们一定有相等的（ ）
A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由已知得即即
故答案为：D.
【分析】根据公式即可求解。
15．（2023高三上·闵行开学考）设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；具有性质的函数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：对于 ① 因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，如 故存在；
对于② 假设存在不相等的实数使得即得矛盾，故不存在；
对于 ③ 函数为偶函数，令存在。
故答案为C.
【分析】
16．（2023高三上·闵行开学考）已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；正弦函数的图象；诱导公式
【解析】【解答】解： 对任意实数均有 恒成立，即函数的图像始终在函数的图像的上方或重合， 当 有以下三种情况：
（1）（2）此时与的图像重合；（3）同（2）.
故答案为：C.
【分析】本题对于恒成立问题，利用三角函数的诱导公式与图像即可求解。
三、解答题
17．（2023高三上·闵行开学考）已知等差数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由，
得，解得，
所以
（2）解：因为，
所以，
因为，所以，
即，又，所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式。
（1）根据等差数列的通项公式，联立方程组，求得首项和公差代入公式即可求解；
（2）由（1）所得的通项公式及得到关于k的一元二次方程即可求解。
18．（2023高三上·闵行开学考）在正三棱柱中，，求：
（1）异面直线与所成角的大小；
（2）四棱锥的体积．
【答案】（1）解：∵正三棱柱，
是异面直线与所成角，
在中，，
，
，
∴异面直线与所成角大小为
（2）解：∵正三棱柱中，，
，
，
∴四棱锥的体积．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角与锥体的体积。
(1)先根据平移找到异面直线B1C1与A1C所成的角，再由余弦定理即可求解 ；
(2)结合已知与柱体体积公式及锥体体积公式做差即可求解。
19．（2023高三上·闵行开学考）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人？
（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值．
【答案】（1）解：由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：
得
解得，所以调整后的技术人员的人数最多75人。
（2）解：由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：
得，整理得
故有
当且仅当时等号成立，所以，
故正整数的最大值为7
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题考查不等式的实际应用。
(1)根据题意列出关于x的一元二次不等式即可求解；
(2)本小题考查基本不等式的应用，对于正实数(当且仅当a=b时等号成立）。
20．（2023高三上·闵行开学考）已知为椭圆内一定点，为直线上一动点，直线与椭圆交于两点（点位于两点之间），为坐标原点．
（1）当直线的倾斜角为时，求直线的斜率；
（2）当的面积为时，求点的横坐标；
（3）设，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：因为直线的倾斜角为，且，
所以直线的方程为：，
由，得，
所以直线的斜率是
（2）解：易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得，
设，则，
所以，
所以，
解得，即，
所以直线的方程为或，
由，得；
由，得
（3）解：易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得，
设，则，
所以，
因为，
所以，
所以．
【知识点】斜率的计算公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的综合问题。
（1）先由斜率公式和点P的坐标求出直线PQ的方程，再求点Q的坐标，利用即得直线OQ的斜率；
（2） 当的面积为时 ，设，利用公式，其中 ，即可求得k的值，联立直线PQ与直线y=3的方程，即可求得点Q的坐标；
（3）联立直线PQ与椭圆方程，结合韦达定理用m表示y1-1与y2-1的和与积，代入已知向量即可求解。
21．（2023高三上·闵行开学考）已知函数．
（1）求函数在处切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围；
（3）当时，设函数，对于任意的，试确定函数的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）解：由于函数，故，
故，且，
所以函数在处切线方程为，即
（2）解：对任意的恒成立，即，
即对任意的恒成立，
令，则，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故时，函数取得极大值也即最大值，则，
所以，则的取值范围为，即
（3）解：由可得，对于任意的，由，
当时，单调递增，，
故在上有唯一实根；
当时，令，则，
而，当时，递减，
当时，递增，故，
所以，故在上没有实根；
综合上述，对于任意的，函数有且只有一个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义先求出函数在处切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）不等式的恒成立问题，利用导数与函数的单调性求出构造函数的最值即可；
(3)同（2）利用导数与函数的单调性确定函数零点个数，其中零点是时x的值。
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