高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.1倾斜角与斜率
一、单选题
1．已知直线 的斜率的绝对值为1，则直线 的倾斜角为（ ）
A．45° B．135°
C．45°或135° D．以上均不正确
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】设直线 的倾斜角为 ，则由题意知 ，又 ，
所以当 时， ；
当 时， 。
故答案为：C.
【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系式，再结合倾斜角的取值范围，进而求出直线l的倾斜角。
2．如图，直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】由图可知： , , ,
且直线 的倾斜角小于直线 的倾斜角,所以 ,
综上可知： 。
故答案为：D．
【分析】利用三条直线的图像得出三条直线的倾斜角的大小关系，再结合直线的斜率与倾斜角的关系，进而比较出直线的斜率的大小关系。
3．若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线 的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】如图所示，直线 有两种情况，故 的倾斜角为 或 。
故答案为：D
【分析】 利用直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，画出满足要求的直线图象，再利用直线的图像结合直线倾斜角的定义，进而求出满足要求的直线的倾斜角。
4．（2020高二上·青白江月考）已知两点 ， ，则直线 的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】已知两点 ， ，由斜率公式得 .
故答案为：C
【分析】直接应用斜率公式计算即可．
5．过 ， 两点的直线的一个方向向量为 则 （ ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；斜率的计算公式
【解析】【解答】解法一：由直线上的两点 ， ，得 ，
又因为直线 的一个方向向量为 ，因此 ，
∴ ，解得 ，
故答案为：C.
解法二：由直线的方向向量为 得，直线的斜率为 ，
所以 ，解得 。
故答案为：C.
【分析】利用点的坐标结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再利用方向向量的定义结合已知条件，进而推出两向量平行，再利用向量共线的坐标表示，进而求出点A的纵坐标y的值；或利用方向向量的定义结合已知条件，进而求出直线的斜率，再结合两点求斜率公式，进而求出点A的纵坐标y的值。
6．（2020高一下·鸡西期中）l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是（ ）
A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°
C．90°<α<180° D．0°<α<180°
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由题意，可得直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角 的范围是90° 180°，
故答案为：C.
【分析】由题意，直线l经过第二、四象限，根据直线的倾斜角的定义，即可得到答案。
7．已知直线l的斜率的绝对值等于 ，则直线l的倾斜角为（ ）
A．60° B．30° C．60°或120° D．30°或150°
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】 直线l的斜率的绝对值等于 ，
线l的斜率等于 ，设直线的倾斜角为 ，则 ，
则 或 ，
60°或120°。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与倾斜角的关系式，再结合倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。
8．下列说法正确的是（ ）
A．一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角
C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】对于A，一条直线向上方向和x轴正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，A不符合题意；
对于B，直线的倾斜角 的取值范围是 ，B不符合题意；
对于C，和x轴平行的直线，它的倾斜角为 ，C不符合题意；
对于D，每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，如 时，斜率不存在，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用直线的倾斜角的定义和取值范围，再结合特殊直线的倾斜角的求解方法和直线的倾斜角与直线的斜率的关系，进而找出正确的选项。
9．若不同的两点 与 关于直线 对称，则直线 的倾斜角为（ ）
A．135° B．45° C．30° D．60°
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】由题意得： ，
关于直线 对称 ， 直线 与 垂直，
，则 ， 直线 的倾斜角为 。
故答案为：B。
【分析】利用两点求斜率公式，进而求出直线PQ的斜率，再利用两点关于直线对称的判断方法，进而推出直线 与 垂直，子阿里云两直线垂直斜率之积等于-1，进而求出直线l的斜率，再利用直线的斜率与倾斜角的关系式，进而求出直线l的倾斜角。
10．若两直线 ， 的倾斜角和斜率分别为 ， 和 ， ，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】令 ， ，则 ， ， ，A不符合题意；
令 ， ， ，则 ， ， ，C不符合题意；
令 ，则 不存在，B不符合题意；
由 知， ，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合直的斜率与倾斜角的关系，进而找出正确的命题选项。
11．（2019高二上·内蒙古月考）若某直线的斜率 ，则该直线的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】因为直线的斜率 ，故当 时，倾斜角 ；当 时，倾斜角 ，
故答案为：C
【分析】由已知直线的斜率，分两种情况讨论，当 与 时，即可分别求出倾斜角 的取值范围.
12．（2020高二上·天津月考）已知点 ， ，直线 过点 ，且与线段 交，则直线 的斜率 的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】由题意 ， ，又直线 与线段 有交点，
所以所求 的范围是 或 ．
故答案为：A．
【分析】求出 的斜率，观察过 且垂直于 轴的直线与线段 有交点，因此可得结论．
二、多选题
13．（2020高一下·常熟期中）在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为
【答案】A,C,D
【知识点】直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】对于A，当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角为 ，斜率不存在，A不符合题意
对于B，直线倾斜角的取值范围是 ，B符合题意
对于C，一条直线的斜率为 ，此直线的倾斜角不一定为 ，
如 的斜率为 ，它的倾斜角为 ，C不符合题意
对于D，一条直线的倾斜角为 时，它的斜率为 或不存在，D不符合题意
故答案为：ACD
【分析】A中，直线与 轴垂直时，直线的倾斜角为 ，斜率不存在
B中，直线倾斜角的取值范围是
C中，直线的斜率为 时，它的倾斜角不一定为
D中，直线的倾斜角为 时，它的斜率为 或不存在
三、填空题
14．已知直线l经过 两点，则直线l的倾斜角θ的取值范围是 .
【答案】 或
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】由题易知直线l的斜率存在，故 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.所以 或 ，即直线l的倾斜角 的取值范围是 或 。
故答案为： 或 。
【分析】由题易知直线l的斜率存在，故 ，再利用直线的斜率与倾斜角的关系式结合二次函数图象求最值的方法，进而求出直线的斜率的取值范围，从而结合倾斜角自身的取值范围和交集的运算法则，进而求出直线l的倾斜角θ的取值范围。
15．已知斜率为 的直线经过 三点，则x，y的值分别为 .
【答案】x=-9,y=7
【知识点】三点共线
【解析】【解答】由题意可知 ，即 ，
解得 。
故答案为：x=-9,y=7。
【分析】利用已知条件结合三点共线两直线重合，进而推出两直线斜率相等，再结合两点求斜率公式，进而求出x,y的值。
16．（2019高一下·南通月考）若直线 的倾斜角的变化范围为 ，则直线斜率的取值范围是 .
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质；直线的斜率
【解析】【解答】因为正切函数 在 上单调递增，
所以，当 时， ，
所以斜率
【分析】利用正切函数的单调性结合正切函数的图象求出正切函数的值域，再利用直线的斜率与倾斜角的正切值的关系式，从而求出直线斜率的取值范围。
四、解答题
17．已知 ， ， 三点.
（1）求直线 和 的斜率；
（2）若点 在线段 (包括端点)上移动，求直线 的斜率的变化范围.
【答案】（1）解：由斜率公式可得直线 的斜率 ，直线 的斜率
（2）解：如图所示，当点 由点 运动到点 时，直线 的斜率由 增大到 ，所以直线 的斜率的变化范围是 .
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点求斜率公式，进而求出直线 和 的斜率。
（2）利用已知条件结合当点 由点 运动到点 时，直线 的斜率由 增大到 ，进而求出直线 的斜率的变化范围 。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.1倾斜角与斜率
一、单选题
1．已知直线 的斜率的绝对值为1，则直线 的倾斜角为（ ）
A．45° B．135°
C．45°或135° D．以上均不正确
2．如图，直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线 的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
4．（2020高二上·青白江月考）已知两点 ， ，则直线 的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．-2
5．过 ， 两点的直线的一个方向向量为 则 （ ）
A． B． C．-1 D．1
6．（2020高一下·鸡西期中）l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是（ ）
A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°
C．90°<α<180° D．0°<α<180°
7．已知直线l的斜率的绝对值等于 ，则直线l的倾斜角为（ ）
A．60° B．30° C．60°或120° D．30°或150°
8．下列说法正确的是（ ）
A．一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角
C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
9．若不同的两点 与 关于直线 对称，则直线 的倾斜角为（ ）
A．135° B．45° C．30° D．60°
10．若两直线 ， 的倾斜角和斜率分别为 ， 和 ， ，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．（2019高二上·内蒙古月考）若某直线的斜率 ，则该直线的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020高二上·天津月考）已知点 ， ，直线 过点 ，且与线段 交，则直线 的斜率 的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
二、多选题
13．（2020高一下·常熟期中）在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为
三、填空题
14．已知直线l经过 两点，则直线l的倾斜角θ的取值范围是 .
15．已知斜率为 的直线经过 三点，则x，y的值分别为 .
16．（2019高一下·南通月考）若直线 的倾斜角的变化范围为 ，则直线斜率的取值范围是 .
四、解答题
17．已知 ， ， 三点.
（1）求直线 和 的斜率；
（2）若点 在线段 (包括端点)上移动，求直线 的斜率的变化范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】设直线 的倾斜角为 ，则由题意知 ，又 ，
所以当 时， ；
当 时， 。
故答案为：C.
【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系式，再结合倾斜角的取值范围，进而求出直线l的倾斜角。
2．【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】由图可知： , , ,
且直线 的倾斜角小于直线 的倾斜角,所以 ,
综上可知： 。
故答案为：D．
【分析】利用三条直线的图像得出三条直线的倾斜角的大小关系，再结合直线的斜率与倾斜角的关系，进而比较出直线的斜率的大小关系。
3．【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】如图所示，直线 有两种情况，故 的倾斜角为 或 。
故答案为：D
【分析】 利用直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，画出满足要求的直线图象，再利用直线的图像结合直线倾斜角的定义，进而求出满足要求的直线的倾斜角。
4．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】已知两点 ， ，由斜率公式得 .
故答案为：C
【分析】直接应用斜率公式计算即可．
5．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；斜率的计算公式
【解析】【解答】解法一：由直线上的两点 ， ，得 ，
又因为直线 的一个方向向量为 ，因此 ，
∴ ，解得 ，
故答案为：C.
解法二：由直线的方向向量为 得，直线的斜率为 ，
所以 ，解得 。
故答案为：C.
【分析】利用点的坐标结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再利用方向向量的定义结合已知条件，进而推出两向量平行，再利用向量共线的坐标表示，进而求出点A的纵坐标y的值；或利用方向向量的定义结合已知条件，进而求出直线的斜率，再结合两点求斜率公式，进而求出点A的纵坐标y的值。
6．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由题意，可得直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角 的范围是90° 180°，
故答案为：C.
【分析】由题意，直线l经过第二、四象限，根据直线的倾斜角的定义，即可得到答案。
7．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】 直线l的斜率的绝对值等于 ，
线l的斜率等于 ，设直线的倾斜角为 ，则 ，
则 或 ，
60°或120°。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与倾斜角的关系式，再结合倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。
8．【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】对于A，一条直线向上方向和x轴正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，A不符合题意；
对于B，直线的倾斜角 的取值范围是 ，B不符合题意；
对于C，和x轴平行的直线，它的倾斜角为 ，C不符合题意；
对于D，每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，如 时，斜率不存在，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用直线的倾斜角的定义和取值范围，再结合特殊直线的倾斜角的求解方法和直线的倾斜角与直线的斜率的关系，进而找出正确的选项。
9．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】由题意得： ，
关于直线 对称 ， 直线 与 垂直，
，则 ， 直线 的倾斜角为 。
故答案为：B。
【分析】利用两点求斜率公式，进而求出直线PQ的斜率，再利用两点关于直线对称的判断方法，进而推出直线 与 垂直，子阿里云两直线垂直斜率之积等于-1，进而求出直线l的斜率，再利用直线的斜率与倾斜角的关系式，进而求出直线l的倾斜角。
10．【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】令 ， ，则 ， ， ，A不符合题意；
令 ， ， ，则 ， ， ，C不符合题意；
令 ，则 不存在，B不符合题意；
由 知， ，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合直的斜率与倾斜角的关系，进而找出正确的命题选项。
11．【答案】C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】因为直线的斜率 ，故当 时，倾斜角 ；当 时，倾斜角 ，
故答案为：C
【分析】由已知直线的斜率，分两种情况讨论，当 与 时，即可分别求出倾斜角 的取值范围.
12．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】由题意 ， ，又直线 与线段 有交点，
所以所求 的范围是 或 ．
故答案为：A．
【分析】求出 的斜率，观察过 且垂直于 轴的直线与线段 有交点，因此可得结论．
13．【答案】A,C,D
【知识点】直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】对于A，当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角为 ，斜率不存在，A不符合题意
对于B，直线倾斜角的取值范围是 ，B符合题意
对于C，一条直线的斜率为 ，此直线的倾斜角不一定为 ，
如 的斜率为 ，它的倾斜角为 ，C不符合题意
对于D，一条直线的倾斜角为 时，它的斜率为 或不存在，D不符合题意
故答案为：ACD
【分析】A中，直线与 轴垂直时，直线的倾斜角为 ，斜率不存在
B中，直线倾斜角的取值范围是
C中，直线的斜率为 时，它的倾斜角不一定为
D中，直线的倾斜角为 时，它的斜率为 或不存在
14．【答案】 或
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】由题易知直线l的斜率存在，故 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.所以 或 ，即直线l的倾斜角 的取值范围是 或 。
故答案为： 或 。
【分析】由题易知直线l的斜率存在，故 ，再利用直线的斜率与倾斜角的关系式结合二次函数图象求最值的方法，进而求出直线的斜率的取值范围，从而结合倾斜角自身的取值范围和交集的运算法则，进而求出直线l的倾斜角θ的取值范围。
15．【答案】x=-9,y=7
【知识点】三点共线
【解析】【解答】由题意可知 ，即 ，
解得 。
故答案为：x=-9,y=7。
【分析】利用已知条件结合三点共线两直线重合，进而推出两直线斜率相等，再结合两点求斜率公式，进而求出x,y的值。
16．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质；直线的斜率
【解析】【解答】因为正切函数 在 上单调递增，
所以，当 时， ，
所以斜率
【分析】利用正切函数的单调性结合正切函数的图象求出正切函数的值域，再利用直线的斜率与倾斜角的正切值的关系式，从而求出直线斜率的取值范围。
17．【答案】（1）解：由斜率公式可得直线 的斜率 ，直线 的斜率
（2）解：如图所示，当点 由点 运动到点 时，直线 的斜率由 增大到 ，所以直线 的斜率的变化范围是 .
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点求斜率公式，进而求出直线 和 的斜率。
（2）利用已知条件结合当点 由点 运动到点 时，直线 的斜率由 增大到 ，进而求出直线 的斜率的变化范围 。
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