广西南宁市横州第二高级中学2023-2024学年高二上册数学开学试卷

文档属性

名称 广西南宁市横州第二高级中学2023-2024学年高二上册数学开学试卷
格式 zip
文件大小 348.8KB
资源类型 试卷
版本资源
科目 数学
更新时间 2023-10-18 09:06:01

文档简介

广西南宁市横州第二高级中学2023-2024学年高二上册数学开学试卷
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.(2023高二上·南宁开学考)设集合,,则(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解:因为 所以
故答案为:B
【分析】解不等式,根据交集的运算性质, 找相同的部分.
2.(2023高二上·南宁开学考)计算:(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解:
故答案为:C
【分析】根据正弦的和公式求解
3.(2023高二上·南宁开学考)已知,是平面,,是直线.下列命题中不正确的是(  )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,则
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定;平面与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解: A:若,,由直线与平面垂直的判定定理等 ,故A正确;
B:若,,则m与n平行或异面,故B错误;
c:若, ,由平面与平面平行的判定定理得 ,故C正确;
D: 若, ,由平面与平面垂直的判定定理得 则 ,故D正确。
故答案为:B
【分析】选项A,考查直线与平面垂直的判定定理;选项B,考查直线与直线的位置关系;选项C,考查平面与平面平行的位置关系;选项D考查平面与平面垂直的位置关系.
4.(2023高二上·南宁开学考)在中,若,则(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解: ,由正弦定理得,解得:
故答案为:A.
【分析】直接利用正弦定理解三角形即可.
5.(2023高二上·南宁开学考)设,,,则(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则;利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解:由题,,

因为,由对数函数的单调性可知, .
故答案为:C.
【分析】先由换底公式及对数的运算化简a,b,c在结合对数函数的单调性即可得到答案.
6.(2023高二上·南宁开学考)已知向量,,若,则实数的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的性质;平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】解: 由题意可得
因为
所以即解得
故答案为:D.
【分析】利用平面向量数量积的运算,及向量的垂直的数量积相乘等于零可得答案.
7.(2023高二上·南宁开学考)如图,在三棱锥中,,且,,分别是棱,的中点,则和所成的角等于(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解:取 BC 的中点 G ,连接 FG . EG .
E,F 分别为 CD,AB 的中点,,
,且 , , 和所成的角转化为和所成的角
, .
,,为等腰直角三角形.,即 EF 与 AC 所成的角为45°。
故答案为:B.
【分析】本题考查异面直线的夹角.将异面直线平移成共面直线.
8.(2023高二上·南宁开学考)已知,,为的三个内角,,的对边,向量,若,且,则角,的大小分别为(  )
A., B., C., D.,
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质;正弦定理
【解析】【解答】解:由可得 ,即,
又由已知及正弦定理得,
即又.
故答案为:C.
【分析】由已知两向量垂直,所以他们数量积为0,再利用正余弦定理和三角形的内角和定理.
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
9.(2023高二上·南宁开学考)已知向量,,则(  )
A.若与垂直,则
B.若,则的值为
C.若,则
D.若,则与的夹角为
【答案】B,C
【知识点】向量的模;平面向量的基本定理;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解:选项A:解得 ,故 A 错;
选项 B:,即,故 B 正确;
选项 C: 得,即,故 C 正确;
选项D: 得,即故 D 错;
故答案为:BC.
【分析】根据向量垂直、共线以及模长与夹角的计算公式,逐个计算.
10.(2023高二上·南宁开学考)设函数,下列四个命题正确的是(  )
A.函数为偶函数
B.若,其中,,,则
C.函数在上单调递增
D.若,则
【答案】B,C
【知识点】对数的性质与运算法则;对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解:选项A:,偶函数的定义域关于原点对称,故 A 错误;
选项B:若 其中
故B正确;
选项C:函数
由解得
函数的定义域为对称轴是函数在单调递增,故C正确;
选项D:若可得,
做差 ,故D错误
故答案为:BC.
【分析】选项A利用偶函数的定义域关于原点对称;选项B根据对数函数的定义域和值域推出再根据对数的运算法则,选项C根据复合函数的单调性;选项D因为对数函数是递减函数和,所以,再利用做差法比出大小.
11.(2023高二上·南宁开学考)甲,乙两楼相距 ,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为 ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 ,则下列说法正确的有(  )
A.甲楼的高度为 B.甲楼的高度为
C.乙楼的高度为 D.乙楼的高度为
【答案】A,C
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】如图示,
在 中,∠ABD=60°,BD=20m,

在 中,设 ,
由余弦定理得: ,即 ,
解得: ,
则乙楼的高度分别为 。
故答案为:AC
【分析】利用已知条件结合余弦定理,进而求出甲楼和乙楼的高度。
12.(2023高二上·南宁开学考)如图,直三棱柱中,,,,侧面中心为,点是侧棱上的一个动点,有下列判断,正确的是(  )
A.直三棱柱侧面积是 B.直三棱柱体积是
C.三棱锥的体积为定值 D.的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解:选项A:在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中,AA1=2, AB = BC =1,
底面ABC 和 A1B1C1 是等腰直角三角形,侧是矩形,侧面积为,故 A 正确;
选项B:直三棱柱的体积为,故B不正确;
选择C:三棱锥的高为定值,
故 C 正确;
选项D:设,则在和中,,
由其几何意义,即平面内动点与两定点距离和的最小值,由对称可知,当为的中点时,其最小值为,故 D 正确.
故答案为: ACD .
【分析】由题意画出图形,计算直三棱柱的侧面积和体积即可判断 A 与 B ;由棱锥底面积与高为定值判断 C ;设BE=x,列出AE+EC1关于x的函数式,结合其几何意义求出最小值判断 D .
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.(2023高二上·南宁开学考)若,,是虚数单位,,则等于   .
【答案】
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解:因为且
解得所以
故答案为: .
【分析】根据复数的实部与虚部分别相等的进行计算。
14.(2023高二上·南宁开学考)某防疫站对学生进行身体健康调查,采用按比例分层抽样的方法抽取样本,立德中学共有学生2000名,抽取了一个容量为200的样本,已知样本中男生人数为120人,则该校的女生人数是   .
【答案】800
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】∵样本容量为200,男生有120人,
∴样本中女生有80人,由分层抽样的抽样比为,
∴总体中女生有800人。
故答案为:800。
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法得出该校的女生的人数。
15.(2023高二上·南宁开学考)若在区间 上随机取一个数 ,则事件“ ”发生的概率是   .
【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】因为 ,
所以 ,
所以事件“ ”发生的概率是 ,
故答案为:
【分析】首先由指数不等式求解出x 的取值范围,再由几何概型的概率公式代入数值计算出结果即可。
16.(2023高二上·南宁开学考)若正数a、b满足ab=a+b+3 ,则 ab 的取值范围是   .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由a、b均为正数,有 ,则 ,利用换元法设 ( ),解得 (舍),或 ,即
【分析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,解决问题的关键是根据基本不等式分析进行即可
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(2023高二上·南宁开学考)甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,求:
(1) 2人中恰有个人译出密码的概率;
(2) 2人中至少有人译出密码的概率.
【答案】(1)解:由题意得,人中恰有个人译出密码的概率为;
(2)解:2人中至少有人译出密码的概率.
【知识点】互斥事件的概率加法公式;相互独立事件;相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)设事件A表示甲能译出密码,事件B表示乙能译出密码,,则恰有1人译出密码的情况为甲能译出密码乙不能译出密码或乙能译出密码甲不能译出密码,恰有1人译出密码的概率为,所以;
(2)2人中至少有1人译出密码的情况有三种分别是情况一两人都译出密码、情况二甲译出密码乙没有译出密码、情况三乙译出密码甲没有译出密码.对立事件是甲乙都没有译出密码.用1减去甲乙都译不出密码的概率 .
18.(2023高二上·南宁开学考)已知向量 .
(1)求 的最小值及相应的 值;
(2)若 与 共线,求实数 .
【答案】(1)解:∵

∴ ,当且仅当 时取等号,
即 的最小值为 ,此时
(2)解:∵
又 与 共线,
∴ .
解之可得 .
【知识点】平面向量的坐标运算;平面向量共线(平行)的坐标表示
【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算求出向量的坐标表示,再利用向量的模与向量的坐标表示,从而求出向量的模,再利用二次函数求最值的方法求出向量的模的最小值 及相应的 值。
(2)利用向量共线的坐标表示求出t的值。
19.(2023高二上·南宁开学考)已知函数,且.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(3)当时,求函数的最大值.
【答案】(1)解:要使函数有意义,则有,
解得.
所以函数的定义域为.
(2)解:函数为偶函数.
理由如下:
因为,都有,
且,
所以为偶函数.
(3)解:当时,.
令,且,
易知,当时取得最大值,此时取得最大值,
所以函数的最大值为.
【知识点】复合函数的单调性;函数的奇偶性
【解析】【分析】(1)对数函数真部分大于0;
(2)偶函数的判断方法;
(3)复合函数求最值,第一步先判断单调性(同增异减),第二部根据增减性取最值.
20.(2023高二上·南宁开学考)如图在三棱锥中,,,为中点,为中点,且为正三角形.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面.
【答案】(1)证明:为中点,为中点,

又平面,平面,
平面.
(2)解:为正三角形,且为中点,

又由知,

又已知,,
平面,而平面,

又,而,
平面,
又平面,
平面平面.
【知识点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1)根据中位线定理可得,是属于平面,再根据直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,可得 平面 .
(2)在平面ABC中找一条直线垂直于平面APC,但直接找不出来,由题意可以推出AP垂直于平面PBC,在由线面垂直的性质可知AP垂直于BC.又根据已知 ,AC于AP相较于点A,BC属于平面ABC所以平面平面 .利用平面与平面垂直的判定定理:通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的,在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化.
21.(2023高二上·南宁开学考)从某小学随机抽取名同学,将他们的身高单位:厘米数据绘制成频率分布直方图如图.
(1)求抽取的学生身高在内的人数;
(2)若采用分层抽样的方法从身高在,,内的学生中共抽取人,再从中选取人,求身高在和内各人的概率.
【答案】(1)解:由频率分布直方图得:
学生身高在内的频率为:,
学生身高在内的人数为:.
(2)解:采用分层抽样的方法从身高在,,内的学生中共抽取人,
则从内的学生中抽取:人,
从内的学生中抽取:人,
从内的学生中抽取:人,
再从中选取人,基本事件总数,
身高在和内各人包含的基本事件个数,
身高在和内各人的概率.
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【分析】(1)由频率分布直方图求出学生身高在[120,130)内的频率,由此能求出学生身高在[120,130)内的人数.
(2)采用分层抽样的方法从身高在[120,130),[130,140),[140,150]内的学生中共抽取6人,从[120,130)内的学生中抽取3人,从[130,140)内的学生中抽取2人,从[140,150]内的学生中抽取1人,再从中选取2人,基本事件总数,身高在[120,130) 和[130,140)内各1人包含的基本事件个数,由此能求出身高在[120,130)和[130,140)内各1人的概率.
22.(2023高二上·南宁开学考)已知 中, ,且 .
(1)求 的值;
(2)若P是 内一点,且 ,求 .
【答案】(1)解:由 ,知 ,
由 ,知 ,
在 中,由余弦定理得:


(2)解: ,
,设 ,
则在 中,由正弦定理得 ,
在 中,由正弦定理得: ,

化简可得: ,

【知识点】两角和与差的正弦公式;正弦定理;余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由勾股定理以及余弦定理代入数值求出cos的值,再由角的取值范围求出结果即可。
(2)结合题意由正余弦定理以及两角和的正弦公式整理化简求出答案即可。
1 / 1广西南宁市横州第二高级中学2023-2024学年高二上册数学开学试卷
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.(2023高二上·南宁开学考)设集合,,则(  )
A. B.
C. D.
2.(2023高二上·南宁开学考)计算:(  )
A. B. C. D.
3.(2023高二上·南宁开学考)已知,是平面,,是直线.下列命题中不正确的是(  )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,则
4.(2023高二上·南宁开学考)在中,若,则(  )
A. B. C. D.
5.(2023高二上·南宁开学考)设,,,则(  )
A. B. C. D.
6.(2023高二上·南宁开学考)已知向量,,若,则实数的值为(  )
A. B. C. D.
7.(2023高二上·南宁开学考)如图,在三棱锥中,,且,,分别是棱,的中点,则和所成的角等于(  )
A. B. C. D.
8.(2023高二上·南宁开学考)已知,,为的三个内角,,的对边,向量,若,且,则角,的大小分别为(  )
A., B., C., D.,
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
9.(2023高二上·南宁开学考)已知向量,,则(  )
A.若与垂直,则
B.若,则的值为
C.若,则
D.若,则与的夹角为
10.(2023高二上·南宁开学考)设函数,下列四个命题正确的是(  )
A.函数为偶函数
B.若,其中,,,则
C.函数在上单调递增
D.若,则
11.(2023高二上·南宁开学考)甲,乙两楼相距 ,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为 ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 ,则下列说法正确的有(  )
A.甲楼的高度为 B.甲楼的高度为
C.乙楼的高度为 D.乙楼的高度为
12.(2023高二上·南宁开学考)如图,直三棱柱中,,,,侧面中心为,点是侧棱上的一个动点,有下列判断,正确的是(  )
A.直三棱柱侧面积是 B.直三棱柱体积是
C.三棱锥的体积为定值 D.的最小值为
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.(2023高二上·南宁开学考)若,,是虚数单位,,则等于   .
14.(2023高二上·南宁开学考)某防疫站对学生进行身体健康调查,采用按比例分层抽样的方法抽取样本,立德中学共有学生2000名,抽取了一个容量为200的样本,已知样本中男生人数为120人,则该校的女生人数是   .
15.(2023高二上·南宁开学考)若在区间 上随机取一个数 ,则事件“ ”发生的概率是   .
16.(2023高二上·南宁开学考)若正数a、b满足ab=a+b+3 ,则 ab 的取值范围是   .
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(2023高二上·南宁开学考)甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,求:
(1) 2人中恰有个人译出密码的概率;
(2) 2人中至少有人译出密码的概率.
18.(2023高二上·南宁开学考)已知向量 .
(1)求 的最小值及相应的 值;
(2)若 与 共线,求实数 .
19.(2023高二上·南宁开学考)已知函数,且.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(3)当时,求函数的最大值.
20.(2023高二上·南宁开学考)如图在三棱锥中,,,为中点,为中点,且为正三角形.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面.
21.(2023高二上·南宁开学考)从某小学随机抽取名同学,将他们的身高单位:厘米数据绘制成频率分布直方图如图.
(1)求抽取的学生身高在内的人数;
(2)若采用分层抽样的方法从身高在,,内的学生中共抽取人,再从中选取人,求身高在和内各人的概率.
22.(2023高二上·南宁开学考)已知 中, ,且 .
(1)求 的值;
(2)若P是 内一点,且 ,求 .
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解:因为 所以
故答案为:B
【分析】解不等式,根据交集的运算性质, 找相同的部分.
2.【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解:
故答案为:C
【分析】根据正弦的和公式求解
3.【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定;平面与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解: A:若,,由直线与平面垂直的判定定理等 ,故A正确;
B:若,,则m与n平行或异面,故B错误;
c:若, ,由平面与平面平行的判定定理得 ,故C正确;
D: 若, ,由平面与平面垂直的判定定理得 则 ,故D正确。
故答案为:B
【分析】选项A,考查直线与平面垂直的判定定理;选项B,考查直线与直线的位置关系;选项C,考查平面与平面平行的位置关系;选项D考查平面与平面垂直的位置关系.
4.【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解: ,由正弦定理得,解得:
故答案为:A.
【分析】直接利用正弦定理解三角形即可.
5.【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则;利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解:由题,,

因为,由对数函数的单调性可知, .
故答案为:C.
【分析】先由换底公式及对数的运算化简a,b,c在结合对数函数的单调性即可得到答案.
6.【答案】D
【知识点】平面向量数量积的性质;平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】解: 由题意可得
因为
所以即解得
故答案为:D.
【分析】利用平面向量数量积的运算,及向量的垂直的数量积相乘等于零可得答案.
7.【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解:取 BC 的中点 G ,连接 FG . EG .
E,F 分别为 CD,AB 的中点,,
,且 , , 和所成的角转化为和所成的角
, .
,,为等腰直角三角形.,即 EF 与 AC 所成的角为45°。
故答案为:B.
【分析】本题考查异面直线的夹角.将异面直线平移成共面直线.
8.【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质;正弦定理
【解析】【解答】解:由可得 ,即,
又由已知及正弦定理得,
即又.
故答案为:C.
【分析】由已知两向量垂直,所以他们数量积为0,再利用正余弦定理和三角形的内角和定理.
9.【答案】B,C
【知识点】向量的模;平面向量的基本定理;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解:选项A:解得 ,故 A 错;
选项 B:,即,故 B 正确;
选项 C: 得,即,故 C 正确;
选项D: 得,即故 D 错;
故答案为:BC.
【分析】根据向量垂直、共线以及模长与夹角的计算公式,逐个计算.
10.【答案】B,C
【知识点】对数的性质与运算法则;对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解:选项A:,偶函数的定义域关于原点对称,故 A 错误;
选项B:若 其中
故B正确;
选项C:函数
由解得
函数的定义域为对称轴是函数在单调递增,故C正确;
选项D:若可得,
做差 ,故D错误
故答案为:BC.
【分析】选项A利用偶函数的定义域关于原点对称;选项B根据对数函数的定义域和值域推出再根据对数的运算法则,选项C根据复合函数的单调性;选项D因为对数函数是递减函数和,所以,再利用做差法比出大小.
11.【答案】A,C
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】如图示,
在 中,∠ABD=60°,BD=20m,

在 中,设 ,
由余弦定理得: ,即 ,
解得: ,
则乙楼的高度分别为 。
故答案为:AC
【分析】利用已知条件结合余弦定理,进而求出甲楼和乙楼的高度。
12.【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解:选项A:在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中,AA1=2, AB = BC =1,
底面ABC 和 A1B1C1 是等腰直角三角形,侧是矩形,侧面积为,故 A 正确;
选项B:直三棱柱的体积为,故B不正确;
选择C:三棱锥的高为定值,
故 C 正确;
选项D:设,则在和中,,
由其几何意义,即平面内动点与两定点距离和的最小值,由对称可知,当为的中点时,其最小值为,故 D 正确.
故答案为: ACD .
【分析】由题意画出图形,计算直三棱柱的侧面积和体积即可判断 A 与 B ;由棱锥底面积与高为定值判断 C ;设BE=x,列出AE+EC1关于x的函数式,结合其几何意义求出最小值判断 D .
13.【答案】
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解:因为且
解得所以
故答案为: .
【分析】根据复数的实部与虚部分别相等的进行计算。
14.【答案】800
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】∵样本容量为200,男生有120人,
∴样本中女生有80人,由分层抽样的抽样比为,
∴总体中女生有800人。
故答案为:800。
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法得出该校的女生的人数。
15.【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】因为 ,
所以 ,
所以事件“ ”发生的概率是 ,
故答案为:
【分析】首先由指数不等式求解出x 的取值范围,再由几何概型的概率公式代入数值计算出结果即可。
16.【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由a、b均为正数,有 ,则 ,利用换元法设 ( ),解得 (舍),或 ,即
【分析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,解决问题的关键是根据基本不等式分析进行即可
17.【答案】(1)解:由题意得,人中恰有个人译出密码的概率为;
(2)解:2人中至少有人译出密码的概率.
【知识点】互斥事件的概率加法公式;相互独立事件;相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)设事件A表示甲能译出密码,事件B表示乙能译出密码,,则恰有1人译出密码的情况为甲能译出密码乙不能译出密码或乙能译出密码甲不能译出密码,恰有1人译出密码的概率为,所以;
(2)2人中至少有1人译出密码的情况有三种分别是情况一两人都译出密码、情况二甲译出密码乙没有译出密码、情况三乙译出密码甲没有译出密码.对立事件是甲乙都没有译出密码.用1减去甲乙都译不出密码的概率 .
18.【答案】(1)解:∵

∴ ,当且仅当 时取等号,
即 的最小值为 ,此时
(2)解:∵
又 与 共线,
∴ .
解之可得 .
【知识点】平面向量的坐标运算;平面向量共线(平行)的坐标表示
【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算求出向量的坐标表示,再利用向量的模与向量的坐标表示,从而求出向量的模,再利用二次函数求最值的方法求出向量的模的最小值 及相应的 值。
(2)利用向量共线的坐标表示求出t的值。
19.【答案】(1)解:要使函数有意义,则有,
解得.
所以函数的定义域为.
(2)解:函数为偶函数.
理由如下:
因为,都有,
且,
所以为偶函数.
(3)解:当时,.
令,且,
易知,当时取得最大值,此时取得最大值,
所以函数的最大值为.
【知识点】复合函数的单调性;函数的奇偶性
【解析】【分析】(1)对数函数真部分大于0;
(2)偶函数的判断方法;
(3)复合函数求最值,第一步先判断单调性(同增异减),第二部根据增减性取最值.
20.【答案】(1)证明:为中点,为中点,

又平面,平面,
平面.
(2)解:为正三角形,且为中点,

又由知,

又已知,,
平面,而平面,

又,而,
平面,
又平面,
平面平面.
【知识点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1)根据中位线定理可得,是属于平面,再根据直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,可得 平面 .
(2)在平面ABC中找一条直线垂直于平面APC,但直接找不出来,由题意可以推出AP垂直于平面PBC,在由线面垂直的性质可知AP垂直于BC.又根据已知 ,AC于AP相较于点A,BC属于平面ABC所以平面平面 .利用平面与平面垂直的判定定理:通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的,在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化.
21.【答案】(1)解:由频率分布直方图得:
学生身高在内的频率为:,
学生身高在内的人数为:.
(2)解:采用分层抽样的方法从身高在,,内的学生中共抽取人,
则从内的学生中抽取:人,
从内的学生中抽取:人,
从内的学生中抽取:人,
再从中选取人,基本事件总数,
身高在和内各人包含的基本事件个数,
身高在和内各人的概率.
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【分析】(1)由频率分布直方图求出学生身高在[120,130)内的频率,由此能求出学生身高在[120,130)内的人数.
(2)采用分层抽样的方法从身高在[120,130),[130,140),[140,150]内的学生中共抽取6人,从[120,130)内的学生中抽取3人,从[130,140)内的学生中抽取2人,从[140,150]内的学生中抽取1人,再从中选取2人,基本事件总数,身高在[120,130) 和[130,140)内各1人包含的基本事件个数,由此能求出身高在[120,130)和[130,140)内各1人的概率.
22.【答案】(1)解:由 ,知 ,
由 ,知 ,
在 中,由余弦定理得:


(2)解: ,
,设 ,
则在 中,由正弦定理得 ,
在 中,由正弦定理得: ,

化简可得: ,

【知识点】两角和与差的正弦公式;正弦定理;余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由勾股定理以及余弦定理代入数值求出cos的值,再由角的取值范围求出结果即可。
(2)结合题意由正余弦定理以及两角和的正弦公式整理化简求出答案即可。
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