浙江省宁波市江北实验中学2023-2024学年九年级第一学期数学开学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝2x
【答案】A
2．若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】D
3．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论．
【解答】∵△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．
故选A．
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．
4．将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【答案】B
5．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），AB＝8，则BC的长度是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
6．下列关于二次函数y＝2x2+3，下列说法正确的是（ ）
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是（2，3）
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最小值是3
【答案】D
7．下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
8．如图，点P是△ABC的重心，若△ABC的面积为12，则△BPC的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
9．设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（ ）
A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β
C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2
【答案】D
10．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
【答案】A
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022九上·杭州月考）已知线段，，则，的比例中项为 .
【答案】6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】设线段a，b的比例中项为 c，
∵c 是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴，
即，
∴（负数舍去）。
故答案为：6.
【分析】设线段a，b的比例中项为 c，根据比例中项的定义可得，继而得解.
12．如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，那么线段CE的长度等于 ．
【答案】
13．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2＝∠A；②∠1＝∠CBA；③；④中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是： （填序号）．
【答案】③
14．已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
【答案】y3＜y1＜y2
15．（2018九上·江干期末）如图所示矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P是线段BC上一点(P不与B重合)，M是DB上一点，且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】y＝﹣ x2+2x(0＜x≤3)
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点M作ME⊥AD，垂足为点E，延长EM交BC于点F，如图所示．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝3，∠A＝90°．
在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝ ＝5．
∵ME⊥AD，
∴∠DEM＝∠A＝90°．
又∵∠EDM＝∠ADB，
∴△DEM∽△DAB，
∴
∴EM＝ ＝ x，
∴MF＝AB﹣EM＝(4﹣ x)，
∴y＝ BP MF＝﹣ x2+2x．
故答案为：y＝﹣ x2+2x(0＜x≤3)．
【分析】过点M作ME⊥AD，垂足为点E，延长EM交BC于点F，由矩形的性质可得出AD＝BC＝3，∠A＝90°，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长，由ME⊥AD，可得出∠DEM＝∠A＝90°，结合∠EDM＝∠ADB，可得出△DEM∽△DAB，利用相似三角形的性质可用含x的代数式表示出EM，进而可得出MF的长，再利用三角形的面积公式即可得出y关于x的函数关系式．
16．（2019九下·枣庄期中）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ= .
【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据题意，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x
∵PQ∥AC
∴△BPQ∽△BCA
∴
∴x=
当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y
∵△BPQ∽△BCA
∴
∴y=
【分析】分两种情况AQ=PQ，∠QPB=90°；AQ=PQ，∠PQB=90°；分情况讨论即可。
三、简答题（第17，18，19，题各6分，第20，21，22题8分，第，23题10分，共52分）
17．已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值．
【答案】（1）解：
（2）解：∵a+b+c＝60，
∴3k+4k+5k＝60，
∴k＝5，
∴a＝15，b＝20，c＝25．
18．如图所示，△ABC的各顶点都在8×8网格的格点上，每个小正方形的边长都为1，△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1．
⑴在图1中画出△AB1C1；
⑵在图2中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为：1．
【答案】解：⑴如图，△AB1C1即为所求；
⑵如图，△DEF即为所求．
19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
【答案】（1）解：∵a＝1＞0，
∴图象开口向上，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）；
（2）解：由图象与y轴相交则x＝0，代入得：y＝﹣3，
∴与y轴交点坐标是（0，﹣3）；
由图象与x轴相交则y＝0，代入得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1
∴与x轴的交点为（3，0）和（﹣1，0）；
（3）解：∵对称轴x＝1，图象开口向上，
∴当x＞1时，y随x增大而增大．
20．（2022九上·杭州月考）如图，在中，，点是上一点，，.
（1）求证：；
（2）若，，的面积为1，求的面积.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，
∴，解得：
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得∠EDB=∠CBA，根据垂直的定义可得∠C=∠EBD=90°，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△DEB∽△BAC；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
21．（2019九上·鄞州月考）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现， 销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，所调查的部分数据如表：
销售单价x（元） 65 70 80 …
销售量y（件） 55 50 40 …
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
（3）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元？
【答案】（1）解：设销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b
根据题意得
解得：
∴所求一次函数的表达式为y=-x+120
（2）解：由题意知
W=（x-60） （-x+120）
=-x2+180x-7200
=-（x-90）2+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，
即60≤x≤60×（1+45%），
∴60≤x≤87，
∴当x=87时，W=-（87-90）2+900=891.
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元
（3）解：如果在试销期间该服装部想要获得500元的利润，
∴500=-x2+180x-7200，
解为
x1=70，x2=110（不合题意舍去）.
∴销售单价应定为70元
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数及表格提供的数据，利用待定系数法就克求出y与x的函数关系式；
（2）根据单件的利润乘以销售数量=总利润，建立出W与x的函数关系式，根据所得函数的性质结合x的取值范围就可解决问题；
（3）将w=500代入（2）所得的函数解析式，求解并检验即可.
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）当点E为抛物线的顶点时，在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请求出点Q的坐标．
【答案】（1）解：把x＝0代入y＝﹣x+3得：y＝3，
∴C（0，3）．
把y＝0代入y＝﹣x+3得：x＝3，
∴B（3，0），
将C（0，3），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
设D（x，﹣x2+2x+3），则F（x，0），OF＝x，BF＝3﹣x，
则DF＝﹣x2+2x+3，
S＝S梯形COFD+S△DFB+S△AOC
＝×x（3﹣x2+2x+3）+（3﹣x）（﹣x2+2x+3）+1×3＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S有最大值，最大值为．
（3）解：存在，理由：
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4）．
又∵C（0，3），B（3，0），
∴CE＝，BC＝3，EB＝2，
∴CE2+CB2＝BE2，
∴∠ECB＝90°．
如图2所示：连接AC．
①∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA＝1，CO＝3．
∴，
又∵∠AOC＝∠ECB＝90°，
∴△AOC∽△ECB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△ECB．
②过点C作CQ′⊥AC，交x轴于点Q′．
∵△ACQ′为直角三角形，CO⊥AQ′，
∴△ACQ′∽△AOC．
又∵△AOC∽△ECB，
∴△ACQ′∽△ECB．
∴，即，
解得：AQ′＝10．
∴Q′（9，0）．
综上所当述：Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似．
23．如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD交于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．
【答案】（1）解：∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG∽△BDA，
∴，即，
∴BG＝，
∴DG＝BD﹣BG＝6﹣＝；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG
∴△ADG∽△EBG，
∴＝（）2＝k2，＝＝k，
∴S1＝k2S，
∵＝＝k，
∴S△ABG＝，
∵△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）解：∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，
∴的最大值为．
1 / 1浙江省宁波市江北实验中学2023-2024学年九年级第一学期数学开学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝2x
2．若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
4．将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
5．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），AB＝8，则BC的长度是（ ）
A．2 B． C． D．
6．下列关于二次函数y＝2x2+3，下列说法正确的是（ ）
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是（2，3）
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最小值是3
7．下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，点P是△ABC的重心，若△ABC的面积为12，则△BPC的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（ ）
A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β
C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2
10．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022九上·杭州月考）已知线段，，则，的比例中项为 .
12．如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，那么线段CE的长度等于 ．
13．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2＝∠A；②∠1＝∠CBA；③；④中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是： （填序号）．
14．已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
15．（2018九上·江干期末）如图所示矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P是线段BC上一点(P不与B重合)，M是DB上一点，且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 ．
16．（2019九下·枣庄期中）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ= .
三、简答题（第17，18，19，题各6分，第20，21，22题8分，第，23题10分，共52分）
17．已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值．
18．如图所示，△ABC的各顶点都在8×8网格的格点上，每个小正方形的边长都为1，△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1．
⑴在图1中画出△AB1C1；
⑵在图2中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为：1．
19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
20．（2022九上·杭州月考）如图，在中，，点是上一点，，.
（1）求证：；
（2）若，，的面积为1，求的面积.
21．（2019九上·鄞州月考）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现， 销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，所调查的部分数据如表：
销售单价x（元） 65 70 80 …
销售量y（件） 55 50 40 …
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
（3）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元？
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）当点E为抛物线的顶点时，在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请求出点Q的坐标．
23．如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD交于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论．
【解答】∵△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．
故选A．
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】A
11．【答案】6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】设线段a，b的比例中项为 c，
∵c 是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴，
即，
∴（负数舍去）。
故答案为：6.
【分析】设线段a，b的比例中项为 c，根据比例中项的定义可得，继而得解.
12．【答案】
13．【答案】③
14．【答案】y3＜y1＜y2
15．【答案】y＝﹣ x2+2x(0＜x≤3)
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点M作ME⊥AD，垂足为点E，延长EM交BC于点F，如图所示．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝3，∠A＝90°．
在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝ ＝5．
∵ME⊥AD，
∴∠DEM＝∠A＝90°．
又∵∠EDM＝∠ADB，
∴△DEM∽△DAB，
∴
∴EM＝ ＝ x，
∴MF＝AB﹣EM＝(4﹣ x)，
∴y＝ BP MF＝﹣ x2+2x．
故答案为：y＝﹣ x2+2x(0＜x≤3)．
【分析】过点M作ME⊥AD，垂足为点E，延长EM交BC于点F，由矩形的性质可得出AD＝BC＝3，∠A＝90°，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长，由ME⊥AD，可得出∠DEM＝∠A＝90°，结合∠EDM＝∠ADB，可得出△DEM∽△DAB，利用相似三角形的性质可用含x的代数式表示出EM，进而可得出MF的长，再利用三角形的面积公式即可得出y关于x的函数关系式．
16．【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据题意，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x
∵PQ∥AC
∴△BPQ∽△BCA
∴
∴x=
当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y
∵△BPQ∽△BCA
∴
∴y=
【分析】分两种情况AQ=PQ，∠QPB=90°；AQ=PQ，∠PQB=90°；分情况讨论即可。
17．【答案】（1）解：
（2）解：∵a+b+c＝60，
∴3k+4k+5k＝60，
∴k＝5，
∴a＝15，b＝20，c＝25．
18．【答案】解：⑴如图，△AB1C1即为所求；
⑵如图，△DEF即为所求．
19．【答案】（1）解：∵a＝1＞0，
∴图象开口向上，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）；
（2）解：由图象与y轴相交则x＝0，代入得：y＝﹣3，
∴与y轴交点坐标是（0，﹣3）；
由图象与x轴相交则y＝0，代入得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1
∴与x轴的交点为（3，0）和（﹣1，0）；
（3）解：∵对称轴x＝1，图象开口向上，
∴当x＞1时，y随x增大而增大．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，
∴，解得：
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得∠EDB=∠CBA，根据垂直的定义可得∠C=∠EBD=90°，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△DEB∽△BAC；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
21．【答案】（1）解：设销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b
根据题意得
解得：
∴所求一次函数的表达式为y=-x+120
（2）解：由题意知
W=（x-60） （-x+120）
=-x2+180x-7200
=-（x-90）2+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，
即60≤x≤60×（1+45%），
∴60≤x≤87，
∴当x=87时，W=-（87-90）2+900=891.
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元
（3）解：如果在试销期间该服装部想要获得500元的利润，
∴500=-x2+180x-7200，
解为
x1=70，x2=110（不合题意舍去）.
∴销售单价应定为70元
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数及表格提供的数据，利用待定系数法就克求出y与x的函数关系式；
（2）根据单件的利润乘以销售数量=总利润，建立出W与x的函数关系式，根据所得函数的性质结合x的取值范围就可解决问题；
（3）将w=500代入（2）所得的函数解析式，求解并检验即可.
22．【答案】（1）解：把x＝0代入y＝﹣x+3得：y＝3，
∴C（0，3）．
把y＝0代入y＝﹣x+3得：x＝3，
∴B（3，0），
将C（0，3），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
设D（x，﹣x2+2x+3），则F（x，0），OF＝x，BF＝3﹣x，
则DF＝﹣x2+2x+3，
S＝S梯形COFD+S△DFB+S△AOC
＝×x（3﹣x2+2x+3）+（3﹣x）（﹣x2+2x+3）+1×3＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S有最大值，最大值为．
（3）解：存在，理由：
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4）．
又∵C（0，3），B（3，0），
∴CE＝，BC＝3，EB＝2，
∴CE2+CB2＝BE2，
∴∠ECB＝90°．
如图2所示：连接AC．
①∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA＝1，CO＝3．
∴，
又∵∠AOC＝∠ECB＝90°，
∴△AOC∽△ECB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△ECB．
②过点C作CQ′⊥AC，交x轴于点Q′．
∵△ACQ′为直角三角形，CO⊥AQ′，
∴△ACQ′∽△AOC．
又∵△AOC∽△ECB，
∴△ACQ′∽△ECB．
∴，即，
解得：AQ′＝10．
∴Q′（9，0）．
综上所当述：Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似．
23．【答案】（1）解：∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG∽△BDA，
∴，即，
∴BG＝，
∴DG＝BD﹣BG＝6﹣＝；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG
∴△ADG∽△EBG，
∴＝（）2＝k2，＝＝k，
∴S1＝k2S，
∵＝＝k，
∴S△ABG＝，
∵△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）解：∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，
∴的最大值为．
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