苏科版九年级数学下册 7.5解直角三角形 同步练习题 （含解析）

苏科版九年级数学下册《7.5解直角三角形》同步练习题
一、单选题
1．Rt△ABC的边长都扩大2倍，则的值（ ）
A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断
2．在中，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（　　）
A． B． C． D．h cosα
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB到D，BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，根据此图可求得tan22.5°的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠BAC等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径．若，，则AD的长为（　　）
A．10 B．8 C．4 D．2
8．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知一个正六边形的边心距为，则它的半径为 ．
10．如图，在中，，，D为上一点，将沿折叠后，点C恰好落在斜边的中点E处，则折痕的长为 ．
11．如图，中，平分，，，，则的长为
12．如图，在矩形中，，．矩形绕点A逆时针旋转一定角度得到矩形．若点B的对应点落在边上，连接，则的面积为 ．
13．如图，于点，若 ，，则 ．
14．如图，中，，，作，于，若的周长为1，则的周长为 ．
15．如图，在四边形中，，，，，则的长是 ．
16．如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ．
三、解答题
17．在中，，，，则的面积为多少？
18．已知中，，．

(1)如图1，若，求的长．
(2)如图2，若，求的长．
19．如图，在正方形中，为上一点，连接，，交于点，交的延长线于点．

(1)求证：．
(2)若，，求的面积．
20．如图，是的直径，点，在上，，与相交于点，点在的延长线上，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
21．在中，点为弦上一点，连接，为优弧上的点，平分．

(1)如图1，求证；
(2)如图2，延长交于点，连接，若，，求的值；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，，求线段的长．
22．【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】
（1）如图1，当时，易知；

如图2，当时，则与的数量关系为 ；

（2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；

【拓展应用】
（3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．

参考答案
1．解：∵Rt△ABC的边长都扩大2倍，
∴所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有发生变化，
∴sinA的值不变，
故选：A．
2．解：如图所示：
∵BC=3，AC=，∠C=90°，
∴，
∴∠A=60°．
故选：D．
3．解：∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAD＝α，
在Rt△BCD中，
∵cos∠BCD＝，CD＝h，
∴BC＝．
故选：B．
4．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=45°=∠ABC，
∴AC=BC，
设AC=BC=1，则，
∴，
∴，
∴，
故选B．
5．解：过点A作于点C，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
故选：A．
6．解：∵小正方形的边长均为1，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴cos∠BAC=．
故选：C．
7．解：连接CD，
∵∠B与∠D所对的弧都是，
∴，
∵AD是直径，
∴，
∵AC=6，
∴，
∴，
故选：C
8．解：作轴于C，轴于D，如图，
则，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，
∴．
故选：C．
9．解：如图，过O作与G，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：2．
10．解：方法一：∵将沿折叠后，点C恰好落在斜边的中点E处，
∴，，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴．
方法二：在中， ，
设，则，
∴．
在中，，
即，
解得，
即．
故答案为：
11．解：如图所示，过点作交点延长线于点，过点作于点，
∵平分，
∴，
∵，
设，则，，
∴，
∴，
延长，交于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，平分，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
12．解：如图，过点作于点E，
∵，，由旋转的性质可得，
在中，由勾股定理可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
13．解：，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
故答案为．
14．解：中，，，
，
，，
，于，
在中，，
，，
的周长为，
，
即，
的周长为 ．
故答案为：．
15．解：延长与相交于点E，在中，
∵，
∴．
在中，∵ ，
∴，
∴
在中，∵，
故答案为6
16．解：作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度，
∵是矩形的对角线，
∴，，
在直角中，，，
∴，
∴，
由对称的性质，得，，
∴，
∴
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
17．解：如图，过点B作，交于点D，

在中，，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，
即，解得（负值舍去），
∴，
∴．
18．（1）解：中，，
，，
，
，
；
（2）解：在中，，
，
，，
，
．
19．（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
；
（2） ，
，
四边形是正方形，，
，，，
，
，
，
，
，
，即，
，即，
，
，
．
20．（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴弧弧，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，，
∴在中，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴半径 ，
21．（1）证明：如图，过点O作，，垂足为点，连接，
则．
∵平分，
∴，
在与中，，
∴，
∴．
在与中，，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：如图，经过作直径，交于点G．连接、、、．

∵，，
∴，
∴，
即，
设圆半径为r，设，，则，，
∴，，
∴，
解得：，
∵平分，，
∴．
在和中，设，，由勾股定理得：
，，
∴，
解得：，．
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，，，，

设，由（2）可得，，
则，
∴ ，
∴，
由（1）可得，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，

∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
延长交于点，
则，，
则是等边三角形，
过点作于点， 于点，，交于点，连接，

∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是的重心，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
22．解：（1）如图，过点A作于点H，

∵，，
∴，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H为的中点，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
又，
∴；
（2）解：；
如图，过点A作于点H，

∵，，
∴，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H为的中点，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
（3）．
方法一：
如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，

∴．
∴．
∵线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴．
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
在中，，，
∴．
∴，解得．
∴．
∵，
∴．
方法二：
如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，

∴．
∴．
∵线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
设，则，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴．
在中，，，
∴．
∴，解得．
∴．
∵，
∴．