3.4实际问题与一元一次方程精选题（含解析）

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3.4实际问题与一元一次方程精选题2023-2024学年七年级上册人教版
一、单选题
1．如图，长方形ABCD被分成六个小的正方形，已知中间一个小正方形的边长为1，其它正方形的边长分别为a，b，c，d，则长方形ABCD的面积为（ ）

A．48 B．121 C．125 D．143
2．某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产500个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．“盈不足问题”作为我国数学的古典问题，在2000多年前的《九章算术》一书中就有很详尽而深刻的阐述．书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？若设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，表中给出的是本月的月历，任意选取“”型框中的6个数（譬如阴影部分所示），则这6个数的和不可能是（ ）
A．87 B．99 C．129 D．135
5．用“※”定义一种新运算：对于任意的自然数x和y，满足（a为常数）．例如：．若的值为20，则a的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．某轮船在静水中的速度为，水流速度为，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．万达商场以100元的价格卖出两套不同的服装．老板一算，结果一套赚，一套亏本．你帮他算一算，这个商场是（　　）
A．亏本 B．赚钱 C．不亏也不赚 D．无法确定
8．深圳市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有15位工人，乙施工队有25位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶，安排 名工人生产圆形铁片才能合理地将铁片配套．
10．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何．”其大意是：今有人合伙买鸡，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、鸡价各是多少．”设共有人合伙买鸡，根据题意，可列方程为 ．
11．如图，在数轴上，点表示的数分别为，且，若，则点表示的数为 ．
12．有如图的封闭容器，上段是圆锥形，高为a；下段是圆柱形，高为b（），容器内盛有水，水深． 若将该容器倒转180度（锥尖朝下），则此时水深是 ．
13．如图，线段，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向终点运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒3个单位的速度在线段上来回运动（从点向点运动，到达点后，立即原速返回，再次到达点后立即调头向点运动.）当点到达点时，，两点都停止运动.设点的运动时间为秒，当恰好落在线段的中点上时，的值为 ．
14．在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使在乙处工作的人数是在甲处工作人数的，那么应从乙处调出 人到甲处．
15．如图1．一支铅笔套上笔帽后总长为，其中分界到顶部和笔尖的水平距离分别为和，已知笔帽的长度为，那么套口到分界的水平距离为 ；如图2，将笔帽套在铅笔顶部作延长器使用，此时套□到铅笔顶部的水平距离与图1中套口到分界的水平距离相等，当总长小于时，将不再适合书写，则该铅笔最多可以使用 ．

16．如果一个千位数字为a，百位数字为b．十位数字为c，个位数字为d的四位自然数表示为．若这个四位数各数位上的数字互不相等且均不为0．且满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 ．
三、问答题
17．已知数轴上有三个点对应的数分别是，且满足；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动
(1)求的值；
(2)若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；
(3)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4
18．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
19．某公园有以下A，B，C三种购票方式：
种类 购票方式
A 一次性使用门票，每张8元
B 年票每张80元，持票者每次进入公园无需再购买门票
C 年票每张40元，持票者进入公园时需再购买每次4元的门票
(1)某游客一年中进入该公园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用（用含a的代数式表示）；
(2)某游客一年中进入该公园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请说明理由；
(3)已知甲，乙，丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该公园的次数相同．一年中，若甲所花的费用比乙和丙两人所花费用之和少60元，请直接写出甲一年中进入该公园的次数．
20．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准：
每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费）
收费标准 每度元 每度元
(1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：　　；
(2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：　　；
(3)小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量．
21．如图是2023年11月的月历．
（1）如图1，带阴影的方框是同一列的连续三个数，不改变阴影的方框的大小，可以在月历中移动方框的位置．
①若设方框中最中间的数为x，则方框最上面的数为 ，方框最下面的数 ．
②在①条件下，若方框里三个数的和为54，请求出这三个数．
（2）如图2，带阴影的框是“z”字型框，判断其方框中的五个数的和是否为5的倍数？若不改变阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，方框中的五个数的和是否仍为5的倍数？并说明理由．

22．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同．
(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为，B种商品按标价出售每件可获利15元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？
(3)在（2）的条件下，A商品按标价全部出售，B商品按标价先出售一部分后，余下的再按标价九折出售，A，B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了150元，则B商品按标价售出多少件？
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；利用中间一个小正方形的边长为，得出，与的关系；利用，，得出，再利用，，得出，那么，解方程求出的值，然后分别计算出长方形的长与宽，进而求出面积．
【详解】中间一个小正方形的边长为，
，；
，，
，
又，，
，
，
解得．
则长方形的长为，
宽为，
所以长方形的面积为：．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由题意得，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．利用鸡的价钱不变，结合“如果每人出9文钱，多出11文钱；如果每人出6文钱，还差16文钱”，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：设有x个人共同买鸡，根据题意得，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查整式的加减运算及一元一次方程的解法，可设这6个数按从小到大的数分别为，，，，，，然后根据整式的加减运算可进行求解．
【详解】解：设这6个数按从小到大的数分别为，，，，，，由题意得：
；
∴当时，解得：；
当时，解得：，此时在表格外；
当时，解得：；
当时，解得：；
根据这6个数的特征可知：这6个数的和不可能是99；
故选B．
5．D
【分析】本题考查了新定义、一元一次方程的应用，根据（a为常数），的值为20得出关于的一元一次方程，解方程即可得到答案，解答本题的关键是明确题意，正确列出方程．
【详解】解：∵（a为常数），的值为20，
，
解得，
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先分别求出顺流航行和逆流航行的速度，再根据往返的时间和等于5小时结合时间路程速度，列方程即可．
【详解】解：由题意得，顺流航行的速度为，逆流航行的速度为，
∴，
故选：D．
7．A
【详解】本题考查一元一次方程的实际应用；分别求解出这两套衣服的进价，再求出赚了和亏了多少钱，进行比较即可．
【分析】解：设赚钱的那件服装进价为x元，
，
解得；
设亏本的那件服装进价为y元，
，
解得；
∵
∴这个商场是亏本，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据两队原有人数及借调人数，可得出借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人，结合借调后甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：要从乙施工队借调名工人到甲施工队，
借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人．
根据题意得：．
故选：B．
9．
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．设安排名工人生产圆形铁片，根据题意列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：设安排名工人生产圆形铁片，则安排长方形铁片，
由题意得：，
解得：，
即安排名工人生产圆形铁片才能合理地将铁片配套，
故答案为：．
10．
【分析】根据“鸡的钱数不变”，列方程求解，本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找到相等关系是解题的关键．．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义、一元一次方程的应用，由数轴得出，由绝对值的意义得出，从而得到，将代入得到关于的方程，解方程即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【详解】解：由数轴可得：，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意设出未知数，列出方程即可求解．
【详解】解：若将该容器倒转180度（锥尖朝下），设此时圆柱形容器内的水深为，圆柱形的底面半径为，
根据题意得：，
解得：，
则此时水深是：．
故答案为：．
13．或或
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，由题意知，则点从开始到停止运动时共用，则的运动路程为个单位，即运动过程为由B到A，然后由A到B，最后由B到A；分三种情况求解：①第一次由B到A，有，即，计算求解即可；②由A到B，有，即，计算求解即可；③第二次由B到A，有，即，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴点从开始到停止运动时共用，
∴的运动路程为个单位，即运动过程为由B到A，然后由A到B，最后由B到A；分三种情况求解：
①第一次由B到A的运动过程中，点Q恰好落在线段的中点上，
∴，即，
解得；
②由A到B的运动过程中，点Q恰好落在线段的中点上，
∴，即，
解得；
③第二次由B到A的运动过程中，点Q恰好落在线段的中点上，
∴，即，
解得；
综上所述，当的值为或或时，点Q恰好落在线段的中点上
故答案为：或或．
14．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应从乙处调出的人数为，根据乙处工作的人数是在甲处工作人数的，列方程求解．
【详解】解：设应从乙处调出的人数为依题意得：，
解得：，
故答案为：．
15． 1
【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据题意列式计算可得套口到分界的水平距离，设该铅笔最多可以使用，由总长为可列出方程，即可解得答案．
【详解】解：套口到分界的水平距离为，
设该铅笔最多可以使用，
根据题意得：，
解得，
∴该铅笔最多可以使用，
故答案为：1，．
16．4312
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据“递减数”的定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
即，
解得，
∴这个数为4312，
故答案为：4312．
17．(1)
(2)或4
(3)、、、
【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得，解可得的值；
（2）分两种情况讨论可求点P的对应的数；
（3）分类讨论：当点Q未达到点C处，P点在Q点的右侧时；当点Q未达到点C处，P在Q点左侧时；当Q点到达C点后，P点在Q点的右侧时；当Q点到达C点后，P在Q点左侧时，根据两点间的距离是4，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得：；
（2），
由点P到A点距离是到B点距离的2倍，即，
①点P在之间，，
则：点P的对应的数是：；
②点P在的延长线上，则点B是的中点，
∴，
∴点P的对应的数是：，
综上所述：点P的对应的数是或4；
（3）设时间为t，由两点间的距离是4可得：
①当点Q未达到点C处时，，
∴．
当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，
则有：，
即：
解得，(符合题意)；
当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，
则有：，
即：
解得(符合题意)；
②当Q点到达C点后，，
∴．
当P点在Q点的右侧，Q点与P点已经第二次相遇，
则有：，
即：
解得(符合题意)；
当P在Q点左侧时，Q点与P点尚未第二次相遇，
则有：，
即：
解得(符合题意)，
综上所述：当Q点开始运动后第、、、秒时，P、Q两点之间的距离为4．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题．
18．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
（3）由题意，可求出的解为，再将
变形为，则，从而求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∵关于x的方程与方程是“美好方程”，
，
；
（2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n，
∴另一个方程的解为：，
∵两个解的差为8，
∴或，
∴或；
（3）解：∵，
，
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”，
∴关于x的一元一次方程的解为：，
关于y的一元一次方程可化为：，
，
．
19．(1)购票方式A的费用为：8a元；购票方式B的费用为：80元；购票方式C的费用为：元
(2)选择B购买方式比较优惠，理由见解析
(3)15次
【分析】（1）根据题意，分别列代数式求得三种购票方式一年的费用；
（2）根据（1）所求代入，求出三种购票方式的费用，再比较即可得到答案；
（3）设甲一年中进入该公园的次数为x次，根据甲所花的费用比乙和丙两人所花费用之和少60元，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，购票方式A的费用为：8a元；
购票方式B的费用为：80元；
购票方式C的费用为：元；
（2）解：购票方式A的费用为：元；
购票方式B的费用为：80元；
购票方式C的费用为：元；
∵，
∴选择B购买方式比较优惠；
（3）解：设甲一年中进入该公园的次数为x次，则乙，丙两人进入该公园的次数也分别为x次，
根据题意有：，
解得：．
故甲一年中进入该公园的次数为15次．
【点睛】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的实际应用．正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)小林家在11月份的用电量为305度．
【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用．
（1）由可得此时单价为每度元，利用总价等于单价乘以数量即可得到答案；
（2）由小林家月份用电度，可得此时分两段计费，其中度每度元，超过部分度，每度元，从而可得答案；
（3）设小林家在月份的用电量为度，由，可得，再列方程，解方程可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴小林家4月份应付的电费(元)．
故答案为：90；
（2）解：∵小林家6月份用电度，
∴小林家6月份应付的电费元，
故答案为：；
（3）解：设小林家在11月份的用电量为x度，
∵，
∴．
根据题意得：，
解得：．
答：小林家在11月份的用电量为305度．
21．（1）①，；②这三个数是11，18，25；（2）方框中的五个数的和是5的倍数；将方框移动，方框中的五个数的和是否仍为5的倍数．
【分析】（1）①设三个数中中间的数为x，根据日历中同一列上下相邻的数相隔7表示另外两个数即可；
②根据三个数之和为54列出方程，进而求解即可；
（2）根据图形分别写出5个数，计算即可求解；设“z”字型框中中间的数为y，根据日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7表示另外三个数，根据整式的加减，进而求解即可．
【详解】解：（1）①设三个数中中间的数为x，
则方框最上面的数为，方框最下面的数，
故答案为：，；
②根据题意得：，
解得，
则．
答：这三个数是11，18，25；
（2）这5个数分别是2，3，10，17，18，
∴，
∴方框中的五个数的和是5的倍数；
设“z”字型框中中间的数为y，
根据题意得：，
∴将方框移动，方框中的五个数的和是否仍为5的倍数．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用．解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．
22．(1)80元，60元
(2)1725元
(3)35件
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题．
（1）设A种商品每件的进价是x元，由购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同得：，即可解得答案；
（2）设购进A种商品a件，则购进B商品件，由所用资金为6900元得，解出a的值，即可列式求出答案；
（3）设B商品按标价售出b件，根据总获利比全部按标价售出获利少了150元得：，可解得答案．
【详解】（1）解：设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元，
由题意得：，
解得，
（元），
答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元；
（2）设购进A种商品a件，则购进B商品件，
由题意得，
解得，
，
（元），
答：全部售完共可获利1725元；
（3）设B商品按标价售出b件，
根据题意得：，
解得，
答：B商品按标价售出35件．
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