湖北省枣阳市白水高级中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学理科试题

湖北省枣阳市白水高级中学2015年高二下学期期中考试试数学题（理科）
命题：王广平 审题：王家斌
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“若则”的否命题是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
2. “ 为假命题”是“ 为真命题”的（ ）
A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 已知全集U＝R，集合A＝{x|<0}，B＝{x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于(　 　)
A．A∩B B．A∪B C． U(A∩B) D． U(A∪B)
4. 已知实数m是2，8的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为（ ）
A． B． C． 与 D．以上都不对
5．己知命题 “”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. ( 1, 3) B. C. D. ( 3,1)
6. 等比数列的前项和为，若， ，则 （　 ）
A.31 B. 36 C. 42 D.48
7. 已知命题:存在，曲线为双曲线；命题:的解集是．给出下列结论中正确的有（ ）
①命题“且”是真命题； ②命题“且()”是真命题；
③命题“()或”为真命题； ④命题“()或()”是真命题．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8. 已知斜率为2的直线与双曲线C：=l（a>0，b>0）交于A，B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于(　 　) A．2 B．2 C． D．
9. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
10．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为(　 　)
A． B． C． D．
11. 已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.关于函数，下列说法正确的是(　 　)
A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称
C. 函数是奇函数 D. 当时，函数的值域是
12. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空題:本大题共4小题,每小题5分共20分.
13.已知向量共线，则t=
14. 已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，则t的值为 ．
15. 已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 .
16. 设为双曲线的左右焦点，以为直径作圆与双曲线左支交于两点，且.则双曲线的离心率为 _ _______
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分10分）已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于两点。判断是否为定值，若是，则求出这个定值，若不是，请说明理由。
18. (本题满分12分)已知是一个单调递增的等差数列，且满足,，数列的前项和为，数列满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)求数列的前项和.
19. (本小题12分)已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）在中，角所对的边分别是若且，试判断的形状。
20．（本小题满分12分）近期，学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：
规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”.
（I）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；
（II）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，
记表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求的分布列及数学期望.
21、（本小题满分12分）直三棱柱 中，，，分别是、 的中点，，为棱上的点.
（1）证明：;
（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为 若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.
22、（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线 的准线上．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程
(Ⅱ)点 在椭圆上，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
(1)若直线AB的斜率为 ，求四边形APBQ面积的最大值；
(2)当A、B运动时，满足 ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
答案
1-5BBDCA 6-10ABCAD 11-12DC
13 t= 1
14 则t的值为－1或1．
15 点P的坐标为 . （,-1）
16 .则双曲线的离心率为 __________
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分10分）已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于两点。判断是否为定值，若是，则求出这个定值，若不是，请说明理由。
解：是定值，且= 理由如下 ----------------------2分
18. (本题满分12分)已知是一个单调递增的等差数列，且满足,，数列的前项和为，数列满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前项和.
解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则依题知.
由,又可得.
由,得,可得.
所以.可得 ……………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
当时,
当时,满足上式，所以………………9分
所以，即,
因为，
所以数列是首项为,公比为的等比数列.
所以前项和 ………………………12分
19. (本小题12分)已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）在中，角所对的边分别是若且，试判断的形状。
解：（Ⅰ）
周期为 -------------------------------……………………6分
（Ⅱ）因为 ，所以
因为，所以，所以，所以
，整理得
所以三角形ABC为等边三角形 -----------------------------…………… ………12分
20．（本小题满分12分）近期，学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：
规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”.
（I）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；
（II）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，
记表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求的分布列及数学期望.
解：（Ⅰ）设表示所取3人中有个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件，……………1分
则……………6分
（Ⅱ）的可能取值为0、1、2、3 , ……………7分
; ; ……………8分
; .……………9分
分布列为
……………10分
. ……………12分
21、直三棱柱 中，，，分别是、 的中点，，为棱上的点.
（1）证明：;
（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为 若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.
21、（1）证明： ，∥
又
面 又面
………2分
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系
则,,,,
设 ， 且, ………4分
即：
………5分
………6分
（2）假设存在,设面的法向量为 ，
则 ………7分
即： 令
. ………8分
由题可知面的法向量 ………9分
平面与平面 所成锐二面的余弦值为
即：
或 （舍） ………11分
当点为中点时，满足要求. ………12分
22、（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好在抛物线 的准线上．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程
(Ⅱ)点 在椭圆上，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
(1)若直线AB的斜率为 ，求四边形APBQ面积的最大值；
(2)当A、B运动时，满足 ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．