云南省昆明市名校2023-2024学年高一上学期12月教学测评月考卷（三）数学试题（含解析）

昆明市名校2023-2024学年高一上学期12月教学测评月考卷（三）
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
5．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．若二次函数的两个零点为2，3，则二次函数的零点是（ ）
A． B C． D．
7．已知则的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象过定点
B．函数有且只有两个零点
C．函数的最小值是1
D．在同一坐标系中函数与的图象关于y轴对称
11．已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最大值为1，最小值为0 D．与的图象有无数个交点
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．弧度制与角度制的换算公式：_________．
14．已知正实数x，y满足，则的最小值是_________．
15．如图，将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”_________次．（参考数据：取）
16．已知函数，则函数有_________个零点；不等式的解集为_________．（第一空3分，第二空2分）
四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
计算：
（I）；
（Ⅱ）．
18．（本小题满分12分）
如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为．
（I）求的值；
（Ⅱ）求的值．
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（I）判断该函数的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）判断函数在上的单调性，并证明，
20．（本小题满分12分）
已知奇函数的定义域为．
（I）求实数a，b的值；
（Ⅱ）当时，有解，求m的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知关于x的不等式的解集为．
（I）当时，求的最小值；
（Ⅱ），函数的图象恒在直线的上方，求实数m的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数的图象关于y轴对称．
（I）求函数的表达式；
（Ⅱ）若函数，求的最大值．
昆明市名校2023-2024学年高一上学期12月教学测评月考卷（三）
数学参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B D B A C
【解析】
1．，故选C．
2．因为角的终边过点，即，则，故选A．
3．易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，该扇形玉雕壁画面积，故选D．
4．由，可得，所以
，故选B．
5．因为函数，所以，即解得且，所以的定义域为，故选D．
6．的两个零点为2，3，，
，令，得或，故选B．
7．令，则，又，所以原函数可变为，所以，所以的值域为，故选A．
8．由题意知，“，使”是真命题，当，即时，不等式可化为，符合题意；当，即时，有解得，综上，实数m的取值范围为，故选C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 ABD ACD AC BD
【解析】
9．两边平方得：，解得：，D正确；故，号，因为，所以，A正确；因为结合，得到，解得，故正确，C错误，故选ABD．
10．对数函数的图象过定点，故A正确；如图所示，作出函数和函数的图象，结合图象可知，函数满足，所以，使，故函数有且只有三个零点，故B错误；因为，则，所以函数的最小值是1，故C正确；把中的x用替换，得，则在同一坐标系中函数与的图象关于y轴对称，故D正确，故选ACD．
11．因为，所以，对于A，，
所以，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，，则，，所以，故C正确；对于D，，，
所以，故D错误，故选AC．
12．对于A，由题意得，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，由选项B可知，是周期为1的周期函数，则当时，，当时，，当时，，综上，的值域为，即的最小值为0，无最大值，故C错误；对于D，由选项C，可知，且的周期为1，作出与的图象，如图所示，由图象可知与的图象有无数个交点，故D正确，故选BD．
第I卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 6 6 2；
【解析】
13．．
14．都是正数，，
，当且仅当，即时取等号，的最小值为6．
15．设石片第n次“打水漂”时的速率为，则，由，得则，即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6．
16．令，则，故与交点个数，即为零点个数，由在定义域上均递增，且都过，图象如图所示，所以两函数有且仅有2个交点，故有2个零点．由，得，由上图知．
四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（I）原式
． 5分
（Ⅱ）原式
． 10分
18．（本小题满分12分）
解：（I）由题知， 2分
因为，所以． 4分
又为第二象限角，所以， 6分
可得． 8分
（Ⅱ）． 12分
19．（本小题满分12分）
解：（I）因为，且，
所以． 2分
该函数为奇函数，理由如下：
易知其定义域为，关于原点对称，
且满足，
所以为奇函数． 6分
（Ⅱ）函数在上是增函数． 7分
证明：取，且，
则
， 9分
由，且，所以，
因此可得，即 11分
即在上是增函数． 12分
20．（本小题满分12分）
解：（I）因为函数，是奇函数，
所以，即，
即，即， 2分
整理得，
所以，即，则， 4分
因为定义域为关于原点对称，所以． 6分
（Ⅱ）因为，所以．
又当时，有解，
所以，有解． 8分
因为
所以， 10分
所以，解得，
即． 12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）由题意知和3是方程的两根，
所以解得 3分
当时，，
当且仅当时，等号成立， 5分
所以的最小值为1． 6分
（IⅡ）结合（I）可得，
对于，函数的图象恒在函数的图象的上方，
等价于在上恒成立， 8分
即在上恒成立，
则即可， 10分
结合（I）可得当时，取得最小值1，所以，
所以实数m的取值范围为． 12分
22．（本小题满分12分）
解：（I）函数的图象关于y轴对称，
即为偶函数，有，
即， 2分
可得，
解得， 4分
所以． 5分
（Ⅱ）函数
， 7分
由，可得，
令，设． 9分
当，即，时，的最大值为；
当，即时，的最大值为． 11分
综上， 12分