北京市昌平区重点中学2023-2024学年高一上学期阶段检测（12月）数学学科试题(无答案)

昌平区重点中学2023-2024学年高一上学期阶段检测
数学学科
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回。祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意，共42分，每小题3分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．在范围内，与一角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．若角的终边与单位圆相交于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．等于（ ）
A． B． C． D．
7．“且”是“的终边在第二象限”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
8．已知半径为4的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
9．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
11．我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
13．已知是R上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（共24分，每小题4分）
15．函数的定义域为______．
16．已知，，则______．
17．函数的递减区间为______．
18．己知，则______．
19．生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断．已知土壤中某药品的残留量与时间t（年）近似满足关系式，其中a是残留系数，则大约经过______年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的．（参考数据：，答案保留一位小数）
20．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．若，则______﹔已知，，则函数的值域为______．
三、解答题（共34分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分）
21．已知集合，，．
（I）求，：
（Ⅱ）若，求实数m的取值范围．
22．围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙长30米，旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m．设利用的旧墙长度为xm，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．
（Ⅰ）写出y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
23．定义在R上的函数满足对任意x，，恒有，且时，有．
（Ⅰ）证明：为奇函数；
（Ⅱ）试判断的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）若，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
24．若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t使得任意都有，且,则称为M上的增长函数．
（Ⅰ）已知函数，函数，直接判断和是否为区间上的，增长函数；
（Ⅱ）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值；
（Ⅲ）如果是定义域为R的奇函数，当时，，且为R上的增长函数求实数a的取值范围．