广西柳州市高中2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析）

柳州市高中2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5.要使的图像不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.若，则（ ）
A. B..
C.. D.
7.已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.若幂函数的图像过点，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A.与
B.与
C.与
D.与
10.已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A.的最小值是2 B.的最大值是1
C.的最小值是4 D.的最大值是
11.已知实数满足，下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.函数为奇函数
B.当时，在上单调递增
C.若方程有实根，则
D.设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2024个交点，记为的值为4048
三 填空题，共4小题，每小题5分，共20分.
13.命题“”的否定为__________.
14.化简__________.
15.不等式的解集是__________.
16.已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，且.对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它大题每题12分.解答应写出文字说明 证明过程成演算步骤.
17.已知集合.
（1）分别求；
（2）已知.若，求实数的取值范围.
18.（1）已知不等式的解集为，求实数的值
（2）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？
19.若函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式在上恒成立.求实数的取值范围.
20.已知定义在上的奇函数.
（1）求；
（2）判断并证明在定义域上的单调性.
（3）若实数满足，求的取值范围.
21.政府为增加农民收入，根据本区区域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元.因人工投入和仪器维修等原因，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.
（1）求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式；
（2）求加工多少吨该农产品，使加工后的该农产品利润达到最大？并求出利润的最大值.
22.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，.
（1）求，的值；
（2）当时，求函数的表达式；
（3）若函数的图象与直线四个不同的交点，求实数k的取值范围.
柳州市高中2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试题-参考答案与解析
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
【详解】由题意，，所以，
所以.
故选：D.
2.【答案】B
【详解】要使有意义，则，解得且.
所以函数的定义域为.
故选：B.
3.【答案】A
【详解】因为或.
所以是的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题主要考查充分不必要条件，同时考查了二次不等式，属于简单题.
4.【答案】B
【详解】因为，所以，
而，所以.
故选：B
5.【答案】B
【详解】函数的图像横过定点，且为减函数，要是图像不经过第一象限，则，解得.
故选：B
6.【答案】C
【详解】在上是减函数，
在R上是减函数，，即
故选C
7.【答案】D
令，解不等式组.即得解.
【详解】对于任意给定的不等实数在为增函数.
令.
要使函数在上为增函数，
则有在区间上为增函数，
在区间上为增函数且，
，解得.
故选：D
8.【答案】C
【详解】因为幂函数.的图像过点，所以，
.则，令，则，则可转化为，其图像对称轴为，因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时.取得最大值，为.所以的值域为，故选：C.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】BD
【详解】对于，函数的定义域为的定义域为，故二者不足相同函数，A铅误；
对于的定义为域为的定义域为，
二者对应关系也相同，值域都为，故二者表示相同函数，B正确；
对于的定义域为的定义域为，
故二者不足相问函数，C错误；
对于D，与的定义域均为，对应关系相同，值域均为，故二者表示相同函数，D正确；
故选：BD
10.【答案】ABD
【详解】因为正数满足，
，
当且仅当时，即时，等号成立，所以正确；
由，可得，即，当且仅当时成立，所以正确；
由当且.仅当时成立，所以错误；
由正数满足，可得，
则，当且仅当时.
即时，等号成立，即的最大值是，所以D正确.
故选：ABD
11.【答案】BCD
【详解】解：因为，所以，
，所以，故A错误；，故B正确；
又，所以，则，故C正确；故D正确.
故选：BCD.
12.【答案】ACD
【详解】对于A.
由解析式可知是奇函数，故A正确；
对于B.特殊值法
即，若，则在上不是单调递增，故错误.
对于.令，分离参数后故，正确；
对于D.由A可知，当时，关于中心对称，且关于中心对称，所以这2024个交点关于对称，故
故选：ACD
三 填空题，共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
【详解】解：命题“”的“否定为”.
故答案为：.
14.【答案】2
【详解】原式.
故答案为：2.
15.【答案】
【详解】不等式化为，所以或.
所以不等式的解集为.
故答案为：.
16.【答案】
【详解】不妨设，则
为上减函数，
又是定义在上的奇函数，
故可变形为，
即，
根据函数存上为减函数可得，
在为减函数，为增函数.
所以在为增函数，为减函数，
所以在恒成立，
当时，有最小值，
所以.
故答案为：.
四 解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它大题每题12分.解答应写出文字说明 证明过程成演算步骤.
17.【答案】（1）.
（2）
【小问1详解】
解：由题意，集合所以.
18.【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由不等式的解集为可得.
所以，代入得
当时，的解集为，符合题意.
所以.
【小问2详解】
当时，，符合题意
当时，二次函数开口朝上，不可能对一切实数都成立.
当时，若不可能对一切实数都成立，则，即，解得.
综上，为所求.
19.【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
令，则，
代入，得，
整理得.
所以函数的解析式为.；
【小间2详解】
不等式为，化简得，
要使其在上恒成立，则，解得.
20.【答案】（1）；（2）减函数，证明见解析；（3）.
【详解】
【详解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，可得，解得.经
检验是奇函数.
（2）是上的减函数.
证明：任取且，
则，
因，故，从而
即，所以函数在R上单调递减.
（3）由，
因为，结合在上单调递减，可得即，解得或，
即实数的取值范围.
21.【答案】（1）；
（2）加工（吨），利润的最大值6万元.
【小问1详解】
当时，.
当时，.
故加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式为：
.
【小问2详解】
当时，，
所以时，取得最大值5万元；
当时，因为，当且仅当时，等号成立，
所以当时，取得最大值6万元，
因为，故当时，取得最大值6万元.
22.【答案】（1），.
（2）
（3）
【小问1详解】
根据题意，当时，，
则，
【小问2详解】
设，则，
则有
又由函数为偶函数，
则，
则当时，；
【小问3详解】
由（2）可知，，
函数的图象与直线四个不同的交点，
即方程有四个不等的实根，
又不适合上式，，
问题等价于函数的图象与直线有四个不同的交点，作出二者图象，
由图象可知，，
实数的取值范围.