福建省厦门市杏南中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（PDF版含答案）

厦门市杏南中学 2023-2024 学年学年上学期阶段测试卷
高一年 数学
作答时间：120 分钟
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘
贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1． 1000 的终边在----------------------------------------------------------( ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合 A x x2 5x 4 0 ， B x 0 x 3 ，则 A B （ ）
A． x 0 x 1 B． x 0 x 1 C． x 1 x 3 D．{x | x 3或 x 4}
3．在平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点O重合，始边与 x轴的非负半轴重合，终边
经过点 P 4, 3 ，则cos -----------------------------------------------------( ）
4 4 3 3
A． B． C． D．-
5 5 4 5
a cos π4．已知 ， b 0.22 ,c log2 5 ，则----------------------------------------( ）3
A． a c b B． a b c C．c a b D． c b a
5.若“ x [ 4,1]，| x | a 0 ”为假．命．题．，则 a的取值可以是------------------------( ）
A．5 B．3 C．1 D．-1
6．杏南中学高一年某同学在用二分法研究函数 f (x) 2 x x m的零点时，得到如下函数值的
参考数据：
x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5
f (x) 1 0.3716 0.0313 0.0567 0.1460 0.3284
则下列说法正确的是-----------------------------------------------------------( ）
A．1.25 是满足精确度为 0.1 的近似值 B．1.5 是满足精确度为 0.1 的近似值
C．1.4375 是满足精确度为 0.05 的近似值 D．1.375 是满足精确度为 0.05 的近似值
{#{QQABRQSUggCIQAJAABgCAQHaCAKQkAGCAKoGAAAEoAAAQQNABAA=}#}
f (x) 2 37.已知函数 a x 为奇函数，则不等式 f (x) 的解集为--------------------( ）2 1 5
A． ( 2, ) B． (2, ) C． ( ,2) D． ( , 2)
8．已知定义在R 上函数 f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x R ，f x f x ；
f x
x , x 0, x x 2 f x1 ② 1 2 ，当 1 2 时，都有 0 f 1 0x ；③ ．则下列选项不成立的是2 x1
----------------------------------------------------------------------------( ）
A． f 3 f 4 B．若 f m 1 f 2 ，则m ,3
f x
C．若 0，则 x 1,0 1, D． x R ， M R ，使得 f x M
x
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选
项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分．
9.已知集合 A x x 0 ,B x x a ,若 x A是 x B的充分条件,则a可以是-----------( ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．若a 0且a b 0，则------------------------------------------------------( ）
a 1 2 b aA． B． a b2 C． 2 D．3b 3a bb a b
11．若二次函数 y x2 2x m的一个零点恰落在 1,0 内，则实数m的值可以是----------( ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．1
12．已知函数 f x sin x π 13 ，则 --------------------------------------------( ）
π
A． f x 的最小正周期为 2π B． f x 的图象关于直线 x 3 对称
C． f x π 5π 的图象关于 ,13 中心对称 D． f x 在区间 0, 6 上单调递增
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分．
π 2π
13.已知扇形的圆心角为 4 ,弧长为 3 ,则该扇形的面积为 .
14.已知函数 f (x)的定义域为 (2 ，4 )，则函数 g(x) f (2x) 的定义域为 .
cos x
15.若函数 f x log x4 4 1 kx为偶函数，则 k .
16.已知函数 f x a x (a 0且 a 1)，若 f π 1，则 f x 的单调递增区间为________．
{#{QQABRQSUggCIQAJAABgCAQHaCAKQkAGCAKoGAAAEoAAAQQNABAA=}#}
四、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题 10 分）
已知函数 f x 2x 1
2x
.
3
(1)若 f x ，求 x的值； (2)判断函数 f x 的奇偶性并证明.
2
18. （本小题 12 分）
sin 5π 3π cos
tan2 π
2 2
已知 f
cos π

sin π
2
(1)化简 f ；(2)若 f 2，求sin2 3sin cos 的值．
19.（本小题 12 分）
1
已知函数 y sin(x ), 其中 为三角形的内角且满足 cos 。
2
（1）求出角 .（用弧度制表示）
(2)利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数 y sin(x ), 在长度为一个周期的闭区间上
的简图.（图中 x

轴上每格的长度为 ， y轴上每格的长度为 1）
6
列表：
x 0 2
x
y
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20.（本小题 12 分）
已知函数 f (2x 1) 4x2 6x 4．
(1) 求 f (x)的解析式；
(2) 令函数 g(x) f (x) ，判断在 (0, 2)上的单调性，并用单调性的定义证明．
x
21.（本小题 12 分）
设函数 f (x) a x (a 0且a 1)的图像经过点（2，4），记 A x f 2 ( x ) 6 f ( x ) 8 0 ．
(1)求 A；
4
(2)设函数的反函数为 g(x) , h(x) g(2x) g( ) .当 x A时，求函数 h(x) 的最值.
x
22.（本小题 12 分）
近期，全国新冠肺炎疫情防控工作领导小组召开第九十六次会议在京。会议指出，虽然当前
全国各地疫情得到初步控制，但疫情形势依然严峻复杂，对疫情的战斗还远未结束，会议上
再次强调了精准防控疫情的十条最新措施，以减轻疫情防控对企业经营和民众生活带来的损
失。厦门一家医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该
产品的年固定成本为 10 万元，最大产能为 100 台，每生产 x台，需另投入成本G x 万元，且
x2 10x, 0 x 40
G x 3600 ，由市场调研知，该产品每台的售价为 30 万元，且全年内生
31x 310, 40 x 100 x
产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润W x 万元关于年产量 x台的函数解析式（利润 销售收入 成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
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厦门市杏南中学 2023-2024 学年学年上学期阶段测试卷
高一年 数学
作答时间：120 分钟
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘
贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1． 1000 的终边在（A ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2 2．已知集合 A x x 5x 4 0 ， B x 0 x 3 ，则 A B （ B）
A． x 0 x 1 B． x 0 x 1 C． x 1 x 3 D．{x | x 3或 x 4}
3．在平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点O重合，始边与 x轴的非负半轴重合，终边经过点 P 4, 3 ，
则 cos （ A）
4 4 3 3
A． B． C． D．-
5 5 4 5
π
4．已知 a cos ， b 0.22 ,c log2 5 ，则（ C）3
A． a c b B． a b c C． c a b D． c b a
5.若“ x [ 4,1] ， | x | a 0 ”为假．命．题．，则 a的取值可以是（ A）
A．5 B．3 C．1 D．-1
6．杏南中学高一年某同学在用二分法研究函数 f (x) 2 x x m的零点时，得到如下函数值的参考数据：
x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5
f (x) 1 0.3716 0.0313 0.0567 0.1460 0.3284
则下列说法正确的是（D ）
A．1.25 是满足精确度为 0.1 的近似值 B．1.5 是满足精确度为 0.1 的近似值
C．1.4375 是满足精确度为 0.05 的近似值 D．1.375 是满足精确度为 0.05 的近似值
{#{QQABRQSUggCIQAJAABgCAQHaCAKQkAGCAKoGAAAEoAAAQQNABAA=}#}
7.已知函数 f (x) a 2 x 为奇函数，则不等式 f (x)
3
的解集为（ C）
2 1 5
A． ( 2, ) B． (2, ) C． ( ,2) D． ( , 2)
8．已知定义在R 上函数 f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x R ， f x f x ；②
f x f x
x1, x2 0,

2 1，当 x1 x2 时，都有 0；③ f 1 0．则下列选项不成立的是（x x B ）2 1
A． f 3 f 4 B．若 f m 1 f 2 ，则m ,3
f
C x ．若 0，则 x 1,0 1, D． x R ， M R ，使得 f x M
x
【答案】B
详解：由条件①得 f x 是偶函数，条件②得 f x 在 0, 上单调递增，
所以 f 3 f 4 f 4 ，故 A的说法是正确的，
若 f m 1 f 2 ，则 m 1 2，得 1 m 3，故 B的说法是错误的，
f x x 0 x 0
若 0，则 或 ，因为 f 1 f 1 0，所以 x 1或 1 x 0，故 C的说法正确，
x f (x) 0 f (x) 0
因为定义在R 上函数 f x 的图象是连续不断的，且在 0, 上单调递增，所以 f x f 0min ，所以对
x R ，只需M f 0 即可，故 D的说法正确.
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选
项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分．
A x x 0 ,B x x a9. 已知集合 ,若 x A是 x B的充分条件,则 a 可以是（ AB ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．若 a 0且 a b 0，则（BCD ）
a b a
A． 1 B． a2 b2 C． 2 D．3b 3a bb a b
11．若二次函数 y x2 2x m 的一个零点恰落在 1,0 内，则实数m的值可以是（BC ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．1
f x sin x π 12．已知函数 1，则（ ACD ）
3
A． f x π的最小正周期为 2π B． f x 的图象关于直线 x 对称3
f x π ,1 5π C． 的图象关于 中心对称 D． f x 在区间 0, 上单调递增
3 6
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【分析】A 选项，利用三角函数的周期公式即可判断；BCD 选项，利用代入检验法即可判断.
f x sin π 【详解】因为 x 1，所以 f x 的最小正周期T
2π
2π ，故 A 正确；
3 1
π π π
因为 f sin3
1 sin0 1 1 ，
3 3
x π所以 不是 f x π 的对称轴，
3
,1 是 f x 的对称中心，故 B 错误，C 正确；
3
0 x 5π π因为 ，所以 x
π π
，所以 f x 在区间 0, 5π
6 3 3 2 6
上单调递增，故 D 正确.

三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
π 2π 8
13.已知扇形的圆心角为 ,弧长为 ,则该扇形的面积为 . 答案:
4 3 9
14.已知函数 f (x) f (2x) 3的定义域为 (2 ，4 )，则函数 g(x) 的定义域为 答案： ( ,2 )
cos x 2
14. 若函数 f x log x4 4 1 kx为偶函数，则 k . 1答案: 2
x x
分析： f (x) f ( x) log4 (4 1) kx log4 (4 1) kx
x
log4 (4
x 1) log4 (4
x 1) 2kx 4 1 log4 x log4 4
x x 2kx
4 1
k 1
2
16.已知函数 f x a x (a 0 且a 1)，若 f π 1，则 f x 的单调递增区间为_____．答案: ,0
分析： f ( ) a 1 a0 a (0,1)
a x , x 0
f (x) 为 R 上偶函数，图象如右
a
x , x 0
所以所求单调减区间为（-∞，0），写（-∞，0]也可以.
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四、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题 10 分）
1
已知函数 f x 2x x .2
(1)若 f x 3 ，求 x的值；
2
(2)判断函数 f x 的奇偶性并证明.
3 x 1 3 2
解：（1）由 f x ，可得 2 x ,即 2 2x 3 2x 2 0 ，2 2 2
解得 2x
1
（舍）或 2x 2，解得 x 1 .------------------------------------4 分2
（2）函数 f x 为奇函数。 -----------------------------------6 分
证明如下：
f x f x 2 x 1 1的定义域为R，且 x xx 2 f x ，------------------------9 分2 2
故函数 f x 为奇函数.
18.（本小题 12 分）
sin 5π cos 3π tan 2 π
已知 f 2 2
cos π

sin π
2
(1)化简 f ；
(2)若 f 2，求 sin2 3sin cos 的值．
cos sin tan
2 cos sin tan2 f tan
解：（1）
cos π sin π sin sin -----------------6 分
2
（2）由（1）易得 tan 2，
sin2 3sin cos tan2 3tan 4 6 2
所以 2 2 2 ------------------------------------- 12 分sin cos tan 1 4 1 5
19. （本小题 12 分）
1
已知函数 y sin(x ), 其中 为三角形的内角且满足 cos 。
2
（1）求出角 。（用弧度制表示）
（2）利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数 y sin(x ), 在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图

中 x轴上每格的长度为 ， y轴上每格的长度为 1）
6
{#{QQABRQSUggCIQAJAABgCAQHaCAKQkAGCAKoGAAAEoAAAQQNABAA=}#}
1
解：（1） 为三角形的内角，可得 (0, )，又 cos 得
2 3 ------------------2 分
（2）】列表：
x 3 0 2
3 2 2 ----------------------------------------------------------7 分
x 2 7 5π
3 6 3 6 3
y 0 1 0 1 0
--------------------------------------------------12 分
20. （本小题 12 分）
已知函数 f (2x 1) 4x2 6x 4．
(3) 求 f (x) 的解析式；
f (x)
(2)令函数 g(x) ，判断 g(x) 在 (0, 2)上的单调性，并用单调性的定义证明．
x
解：（1） f (2x 1) 4x2 6x 4 (2x 1) 1 2 3 (2x 1) 1 4，
所以 f (x) x 1 2 3(x 1) 4 x2 x 2 .--------------------------------------4 分
2 g x f x 2（ ） x 1， -------------------------------------6 分
x x
g x 在 (0, 2)上单调递减，证明如下： -------------------------------------7 分
g x g 2 x x 1 x 2 设0 x1 x2 2 ， 1 2 1 2 1x 1 x2
2 2 x1 x2 x1x2 2 x2 xx x 1 x1 x2 x 1x2 2 1 2 x x x x x x x x ，-----------------------------10 分1 2 1 2 1 2 1 2
其中 x1 x2 0, x1x2 2, x1x2 0 所以 g(x1) g(x 2 ) ，
所以 g x 在 (0, 2) 上单调递减。. --------------------------12 分
{#{QQABRQSUggCIQAJAABgCAQHaCAKQkAGCAKoGAAAEoAAAQQNABAA=}#}
21.（本小题 12 分）
x
设函数 f (x) a (a 0且a 1)的图像经过点（2，4），记 A x f ( x ) 2 6 f ( x ) 8 0 ．
(1)求 A；
(2)设函数的反函数为 g(x) , h(x) g(2x) g(4 ) .当 x A时，求函数 h(x) 的最值.
x
解：（1）由函数 f (2) a2 4,得 a 2，故 f (x) 2x， ----------------------------------1 分
由 f 2 ( x ) 6 f ( x ) 8 0 可得 ( f ( x ) 2 )( f ( x ) 4 ) 0 ，
所以 2 f ( x ) 4 ，即 2 2 x 4 ， ---------------------------------3 分
解得1 x 2，故A = 1,2 ． ----------------------------------4 分
由题意可得： g(x) log2 x , ---------------------------------6 分
（2）
h(x) g(2x) g(4 ) log2 (2x) log (
4
2 ) (1 log2 x)(2 log2 x) ---------------------------------8 分x x
令 t log2 x, x 1,2 t 0,1 ，
H (t) t 2 t 2 (t 1 2 9函数 ) ． ---------------------------------10 分
2 4
当t 0或t 1,即x 1或2时，h(x)min 2.
当t 1 ,即x 2时，h(x) 9max . ---------------------------------12 分2 4
22.（本小题 12分）
近期，全国新冠肺炎疫情防控工作领导小组召开第九十六次会议在京。会议指出，虽然当前全国各地疫情得到初步控制，但
疫情形势依然严峻复杂，对疫情的战斗还远未结束，会议上再次强调了精准防控疫情的十条最新措施，以减轻疫情
防控对企业经营和民众生活带来的损失。厦门一家医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生
产某产品．已知生产该产品的年固定成本为 10 万元，最大产能为 100 台，每生产 x台，需另投入成本G x
x2 10x, 0 x 40

万元，且G x ，由市场调研知，该产品每台的售价为 30 万元，且全年内
31x
3600
310, 40 x 100
x
生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润W x 万元关于年产量 x台的函数解析式（利润 销售收入 成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
{#{QQABRQSUggCIQAJAABgCAQHaCAKQkAGCAKoGAAAEoAAAQQNABAA=}#}
解：
（1）当0 x 40时，W x 30x x2 10x 10 x2 20x 10 --------------------------------2 分
当 40 x 100时，W x 30x 31x
3600 310 3600 10 x 300 --------------------4 分
x x
x2 20x 10,0 x 40
W x 3600 . -----------------------------------------5 分
x 300,40 x 100
x
3 0 x 40,W x x2 20x 2（ ）若 10 x 10 90，
（4）当 x 10时，W x 90max 万元； -------------------------7 分
40 x 100,W x x 3600 300 2 x 3600若 300 120 300 180 ，
x x
x 3600当且仅当 时，即 x 60时，W x 180max 万元． -------------------------11 分x
则该产品的年产量为 60 台时，公司所获利润最大，最大利润是 180 万元． -------------------12 分
{#{QQABRQSUggCIQAJAABgCAQHaCAKQkAGCAKoGAAAEoAAAQQNABAA=}#}