保密★启用前
嘉陵一中高 2023 级高一上期第三次月考
数学试卷
（试卷总分：150 分，考试时间：150 分钟）
一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)
1．若集合 = ∈ N 1 ≤ ≤ 2 ，集合 = 1,2,3 ，则 ∪ 等于（ ）
A． 1,0,1,2,3 B． 0,1,2,3 C． 1,2,3 D． 1,2
2．函数 ( ) = + 2 + 1 的定义域为（ ）
3
A．[ 2,3) B．[ 2, + ∞)
C． 2,3 ∪ 3, + ∞ D． ∞, 2 ∪ 2, + ∞
3．命题“ ∈ 1,2 1 3， 2 + ≥ 0”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
2 2
A． ≤ 0 B． ≤ 1 C． ≤ 5 D． ≤ 3
2
3 + 1, < 2,
4．已知函数 ( ) = 2 + , ≥ 2,若
2 = 6，则实数 =（ ）
3
A．－5 B．5 C．－6 D．6
5．设 = 0.60.3， = 0.30.6， = log 12 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）3
A． < < B． < < C． < < D． < <
6．已知log3( 1) + log3( 3) = 1，则 + 3 取到最小值时，2 + 的值为（ ）
A．16 B．12 C．9 D．8
7．2023年 1月 31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，
预计到 2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到 1024个.已知 1个超导量子比
特共有 2种叠加态，2个超导量子比特共有 4种叠加态，3个超导量子比特共有 8种叠
加态， ，每增加 1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若 = × 10 (1 ≤
< 10, ∈ N)，则称 为 + 1 位数，已知 1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个
位的数，则 =（ ）（参考数据：lg2 ≈ 0.301）
A．308 B．309 C．1023 D．1024
8 ．已知函数 对任意的， 1， 2 ∈ 1,0 都有 1 2 < 0， 的图像关于 = 1 1 2
对称、则下列结论正确的是（ ）
A． 1 < 1 < 4 B 4． < 1 < 1
2 3 3 2
C． 4 < 1 < 1 D． 1 < 4 < 1
3 2 2 3
试卷第 1页，共 4页
二、多选题(每题 5 分，共 20 分，全对得 5 分，部分选对得 2 分，多选或错选得 0 分)
9．下列命题中正确的是（ ）
A 1
1 1 1 1
． ∈ 0, + ∞ ， > B． ∈ 0, ， > 2
2 3 2 2
C． ∈ 0,1 ，log1 > log1 D 1 1． ∈ 0, ， > log1
2 3 3 2 3
10．下列说法正确的是（ ）
A 2 1．函数 = 的图象关于 1,2 成中心对称
+1
B．函数 = 2026 + 1（ > 0 且 ≠ 1）的图象一定经过点 2026,1
C．函数 = 2 + 的图象不过第四象限，则 的取值范围是 1, + ∞
D．函数 = 3 1 1 1（ > 0 且 ≠ 1）， 1 = ，则 的单调递减区间是 , + ∞
9 3
11．今有函数 ( ) = ,又 ∈ 1,2 ，使对 ∈ ,都有 2 + 2 ( 2 + 3) ≥ 0
成立，则下列选项正确的是（ ）
A．对任意 > 0,都有 ( ) = 2 ( ) B．函数 是偶函数 (其中常数 ≠ 0)
C．实数 11的取值范围是 , + ∞ D 1．实数 的最小值是
6 6
12．若函数 的定义域为 , ，值域也为 , ，则称 , 为 的“保值区间”.下列
结论正确的是（ ）
A．函数 = 2 1不存在保值区间
B．函数 = 1 1 , ( > 0)存在保值区间
C．若函数 = 2 4 + 6存在保值区间 2, ，则 = 3
D 5．若函数 = + 2存在保值区间，则 ∈ , 1
4
三、填空题(每题 5 分，共 20 分)
13．函数 = 2 5 + 5 是指数函数，则 的值为 ．
14．将函数 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数 的图象，
若 为奇函数，则 0 + 2 = ．
15．已知函数 = log1 2 对任意两个不相等的实数 1， 2 ∈ ∞,
1
，都
3 2
2 满足不等式 1 > 0，则实数 的取值范围是 .
2 1
16．已知函数 f (x) 3x
8
a关于点 (0, 12)对称，若对任意的 x [ 1,1]，
x
k 2x f (2x ) 0恒成立，则实数 k 的取值范围为 .
试卷第 2页，共 4页
四、解答题(17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分)
17．计算：
1 2
(1) 9 2 9.6 0 8 3 + 2
2
；
4 27 3
(2)log535 + 2log1 2 log
1
5 log50 514.2
18 3．已知集合 A={x| ≤ 0}，B={x|2 < x < 7}，C={x|5-a < x < a}.
10
(1)求 A∪B，（ R ）∩B；
(2)若 C∩B=B，求 a 的取值范围.
19．(1) 1 已知 = 2，求 的解析式． 1
(2)已知 是一次函数，且满足 3 + 1 = 2 + 9，求 的解析式．
试卷第 3页，共 4页
20．已知二次函数 满足：关于 的不等式 + + 3 < 0 的解集为 1,2 且
0 = 1.
(1)求 的表达式；
(2)若 ( > 0 且 ≠ 1 在区间 1,2 上的最小值为 5，求 的取值范围.
21．设函数 ( ) = 3 , ( ) = 9
（1）解关于 的方程 ( ) 11 ( ) + 2 (1) = 0；
2 ( ) = ( )（ ）令 ，求 ( 1 ) + ( 2 ) + + ( 2018 ) + ( 2019 )的值.
( )+ 3 2020 2020 2020 2020
22．已知函数 ( ) =
2
( > 0)．
+
(1)若 = 4，求 (1) 1、 (4)与 、 (8)值；
2
(2)由（1）的计算结果猜想函数 ( )在 = 4 时满足什么性质，并证明你的猜想；
(3)证明： ( )在区间(0, )上单调递增，在区间( , + ∞)上单调递减．
试卷第 4页，共 4页保密★启用前
嘉陵一中高 2023 级高一上期第三次月考
数学试卷
（试卷总分：150 分，考试时间：150 分钟）
一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)
1．若集合 = ∈ N 1 ≤ ≤ 2 ，集合 = 1,2,3 ，则 ∪ 等于（ ）
A． 1,0,1,2,3 B． 0,1,2,3 C． 1,2,3 D． 1,2
2．函数 ( ) = + 2 + 1 的定义域为（ ）
3
A．[ 2,3) B．[ 2, + ∞)
C． 2,3 ∪ 3, + ∞ D． ∞, 2 ∪ 2, + ∞
3．命题“ ∈ 1,2 1 3， 2 + ≥ 0”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
2 2
A． ≤ 0 B． ≤ 1 C． ≤ 5 D． ≤ 3
2
3 + 1, < 2,
4．已知函数 ( ) = 2 + , ≥ 2,若
2 = 6，则实数 =（ ）
3
A．－5 B．5 C．－6 D．6
5．设 = 0.60.3， = 0.30.6， = log 12 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）3
A． < < B． < < C． < < D． < <
6．已知log3( 1) + log3( 3) = 1，则 + 3 取到最小值时，2 + 的值为（ ）
A．16 B．12 C．9 D．8
7．2023年 1月 31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，
预计到 2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到 1024个.已知 1个超导量子比
特共有 2种叠加态，2个超导量子比特共有 4种叠加态，3个超导量子比特共有 8种叠
加态， ，每增加 1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若 = × 10 (1 ≤
< 10, ∈ N)，则称 为 + 1 位数，已知 1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个
位的数，则 =（ ）（参考数据：lg2 ≈ 0.301）
A．308 B．309 C．1023 D．1024
8 ．已知函数 对任意的， 1， 2 ∈ 1,0 都有 1 2 < 0， 的图像关于 = 1 1 2
对称、则下列结论正确的是（ ）
A． 1 < 1 < 4 B 4． < 1 < 1
2 3 3 2
C． 4 < 1 < 1 D． 1 < 4 < 1
3 2 2 3
试卷第 1页，共 4页
二、多选题(每题 5 分，共 20 分，全对得 5 分，部分选对得 2 分，多选或错选得 0 分)
9．下列命题中正确的是（ ）
A 1
1 1 1 1
． ∈ 0, + ∞ ， > B． ∈ 0, ， > 2
2 3 2 2
C． ∈ 0,1 ，log1 > log1 D 1 1． ∈ 0, ， > log1
2 3 3 2 3
10．下列说法正确的是（ ）
A 2 1．函数 = 的图象关于 1,2 成中心对称
+1
B．函数 = 2026 + 1（ > 0 且 ≠ 1）的图象一定经过点 2026,1
C．函数 = 2 + 的图象不过第四象限，则 的取值范围是 1, + ∞
D．函数 = 3 1 1 1（ > 0 且 ≠ 1）， 1 = ，则 的单调递减区间是 , + ∞
9 3
11．今有函数 ( ) = ,又 ∈ 1,2 ，使对 ∈ ,都有 2 + 2 ( 2 + 3) ≥ 0
成立，则下列选项正确的是（ ）
A．对任意 > 0,都有 ( ) = 2 ( ) B．函数 是偶函数 (其中常数 ≠ 0)
C．实数 11的取值范围是 , + ∞ D 1．实数 的最小值是
6 6
12．若函数 的定义域为 , ，值域也为 , ，则称 , 为 的“保值区间”.下列
结论正确的是（ ）
A．函数 = 2 1不存在保值区间
B．函数 = 1 1 , ( > 0)存在保值区间
C．若函数 = 2 4 + 6存在保值区间 2, ，则 = 3
D 5．若函数 = + 2存在保值区间，则 ∈ , 1
4
三、填空题(每题 5 分，共 20 分)
13．函数 = 2 5 + 5 是指数函数，则 的值为 ．
14．将函数 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数 的图象，
若 为奇函数，则 0 + 2 = ．
15．已知函数 = log1 2 对任意两个不相等的实数 1， 2 ∈ ∞,
1
，都
3 2
2 满足不等式 1 > 0，则实数 的取值范围是 .
2 1
16．已知函数 f (x) 3x
8
a关于点 (0, 12)对称，若对任意的 x [ 1,1]，
x
k 2x f (2x ) 0恒成立，则实数 k的取值范围为 .
试卷第 2页，共 4页
四、解答题(17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分)
17．计算：
1 2
(1) 9 2 9.6 0 8 3 + 2
2
；
4 27 3
(2)log535 + 2log1 2 log
1
5 log50 514.2
18 3．已知集合 A={x| ≤ 0}，B={x|2 < x < 7}，C={x|5-a < x < a}.
10
(1)求 A∪B，（ R ）∩B；
(2)若 C∩B=B，求 a的取值范围.
19．(1) 1 已知 = 2，求 的解析式． 1
(2)已知 是一次函数，且满足 3 + 1 = 2 + 9，求 的解析式．
试卷第 3页，共 4页
20．已知二次函数 满足：关于 的不等式 + + 3 < 0 的解集为 1,2 且
0 = 1.
(1)求 的表达式；
(2)若 ( > 0 且 ≠ 1 在区间 1,2 上的最小值为 5，求 的取值范围.
21．设函数 ( ) = 3 , ( ) = 9
（1）解关于 的方程 ( ) 11 ( ) + 2 (1) = 0；
2 ( ) = ( )（ ）令 ，求 ( 1 ) + ( 2 ) + + ( 2018 ) + ( 2019 )的值.
( )+ 3 2020 2020 2020 2020
22．已知函数 ( ) =
2
( > 0)．
+
(1)若 = 4，求 (1) 1、 (4)与 、 (8)值；
2
(2)由（1）的计算结果猜想函数 ( )在 = 4 时满足什么性质，并证明你的猜想；
(3)证明： ( )在区间(0, )上单调递增，在区间( , + ∞)上单调递减．
试卷第 4页，共 4页
参考答案：
一、单选题 1．C 2．C 3．D 4．A 5．D 6．B 7．B 8．D
二、多选题 9．ABC 10．AD 11．AC 12．ACD
12.【分析】由新定义与函数的性质对选项逐一判断，
1
【详解】对于 A， = 2 在( ∞,0)和(0, + ∞)上单调递增，
1
令 = ，得 2 2 + 1 = 0， = 1，故 = 2 不存在保值区间，故 A正确，
1 1
对于 B，当 0 < < 1 时， = 1，当 > 1 时， = 1 ，
( )在(0,1)单调递减，在(1, + ∞)单调递增， (1) = 0，
若 存在保值区间 , ，
若 , (1, + ∞) 1 1，令 = 得 无解，
( ) = 1 1 =
若 , (0,1)，则 ，作差后化简得 = 或 = 1，不合题意，
( 1） = 1 =
故 不存在保值区间，故 B错误，
对于 C，若 = 2 4 + 6存在保值区间 2, ，
而 ( )在 2, 上单调递增，故 ( ) = 2 4 + 6 = ，得 = 3，故 C正确，
对于 D，函数 = + 2在[ 2, + ∞)上单调递减，
若 存在保值区间 , ，
( ) = + 2 =
则 ，作差得 + 2 + 2 = = ，
( ) = + 2 = +2+ +2
得 + 2 + + 2 = 1，则原式等价于 = + 1 + 2在[ 2, + ∞)上有两解，
令 + 2 = ，则 = 2 1在[0, + ∞)上有两解，
= 2 1 [0, 1而 在 ) 1上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
2 2
= 1 = 5 ∈ 5当 时， ，故 , 1 ，故 D正确，
2 4 4
故选：ACD
三、填空题
13．4 14．-2
15. 1, 1 16． ∞, 1
2 4
16． k 11
答案第 1页，共 6页
x
【分析】由 k 2x f (2x ) 0 k f (2 )得 使得不等式一边是参数 k，另一边是不含 k关于 x的
2x
式子，分离参数.
8
【详解】由 y 3x 为奇函数，可得其图像关于 (0,0)对称，
x
所以 （f x）的图像关于 (0,a)对称，
8
由题目可知函数 f (x) 3x a关于点 (0, 12)对称，可得 a 12，
x
对任意的 x [ 1,1]， k 2x f (2x ) 0恒成立
x [ 1,1],k 2x (3 2x 8 x 12) 0恒成立，2
k 2x 3 2x 8即 12在 x [ 1,1]x 恒成立，2
k 8 12所以 3(2x )2 2x ，
令 t
1 1
x ，由 x [ 1,1]，可得 t [ , 2]，2 2
设h(t) 8t2 12t 3 8(t
3
)2 3 ，
4 2
当 t 2时，（h t）取得最大值11，
所以 k的取值范围是 k 11 .
故答案为： k 11 .
【点睛】①分离参数法：遇到类似 k f (x) g(x)或 k f (x) g(x)等不等式恒成立问题，可
把不等式化简为 k h(x)或 k h(x)的形式，达到分离参数的目的，再求解 y （h x）的最值处
理恒成立问题；
②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避
免了麻烦的分离讨论.
1
四、解答题 17．(1) ； (2)
2
1 2
9 2 8 3 2 2
【详解】（1） 9.6 0 +
4 27 3
3 2×
1 3×22 2 3 4
= 1 +
2 3 9
3 4 4
= 1 +
2 9 9
= 1；
2
（2）log535 + 2log1 2 log
1
5 log 14
2 50
5
答案第 2页，共 6页
= log535 2log2 2 + log550 log514
= log5 35 × 50 ÷ 14 log22
= log5125 1
= 3 1
= 2.
18．(1)A∪B= { |2 < < 10}，（ R ）∩B= { |2 < < 3}；
(2)[7, + ∞).
3
【详解】（1）A={x| ≤ 0} = { 3 10 ≤ 0, ≠ 10 = { |3 ≤ < 10}，
10
故 A∪B= { |2 < < 10}，又 R = { | < 3 或 ≥ 10}，
故（ R ）∩B= { |2 < < 3}.
（2）B={x|2 < x < 7}，C={x|5-a < x < a}
因为 C∩B=B，故可得结合 ，则 5 ≤ 2，且 ≥ 7，解得 ∈ [7, + ∞)，
故实数 的取值范围为：[7, + ∞).
19．(1) = 2 （ ≠ 0且 ≠± 1） 1
(2) = + 3
【详解】（1）设 = 1，则 = 1( ≠ 0)，
1
1 = 代入 中，得 = = ，
1 2 1 2 21 1
所以 的解析式为 = 2 ，( ≠ 0且 ≠± 1)． 1
（2）由于函数 为一次函数，设 = + ≠ 0 ，
又 3 + 1 = 2 + 9，整理得 2 + 3 + 2 = 2 + 9，
2 = 2
故 3 + 2 = 9，解得 = 1， = 3，
故 的解析式为 = + 3．
20．(1) ( ) = 2 4 1
(2)0 < ≤ 1或 ≥ 2
2
【详解】（1）因为 ( )为二次函数，且 0 = 1，所以可设 ( ) = 2 + 1( ≠ 0)，
由 + + 3 < 0，得 2 + ( + 1) + 2 < 0，
因为关于 的不等式 + + 3 < 0 的解集为 1,2 ，
答案第 3页，共 6页
所以关于 的不等式 2 + ( + 1) + 2 < 0 的解集为 1,2 ，
所以 2 + ( + 1) + 2 = 0 的两根为 1和 2，
所以 1 + 2 = +1 2，1 × 2 = ，
所以 = 1， = 4，所以 ( ) = 2 4 1.
（2）由（1）知， ( ) = 2 4 1，设 = ，
当 0 < < 1 1时，由 ∈ 1,2 ，得 ∈ [ 2, ]，
则 ( ) = 2 4 1 ∈ [ 2, 1， ]，其对称轴为 = 2，且 (2) = 4 8 1 = 5，
所以 2 ≤ 2 ≤ 1 1，解得 0 < ≤ ；
2
当 > 1 时，由 ∈ 1,2 ，得 ∈ [ 1 , 2]，
则 ( ) = 2 4 1 ∈ [ 1， , 2]，其对称轴为 = 2，且 (2) = 4 8 1 = 5，
1
所以 ≤ 2 ≤ 2，解得 ≥ 2.
1
综上所述： 的取值范围是 0 < ≤ 或 ≥ 2.
2
21 1 = 2 = log 2 2 2019．（ ） 或 3 （ ） 2
【详解】（1）因为函数 = 3 , = 9
代入 11 + 2 1 = 0 可得9 11 × 3 + 2 × 9 = 0
令 = 3
则 2 11 + 18 = 0
解得 = 2 或 = 9
即3 = 2 或3 = 9
解得 = 2 或 = log32
2 3
（ ）根据题意 = =
+ 3 3 + 3
1
则 1 = 3 3
31
=
+ 3 3+3
所以 + 1 = 3 + 3 = 1
3 + 3 3+3
1
1 = 3
2
且 = 1
2 132+ 3 2
1 2 2018 2019
所以 ( ) + ( ) + + ( ) + ( )
2020 2020 2020 2020
答案第 4页，共 6页
= 1 + 2019 + 2 + 2018 + + 1009 + 1011 + 1010 = 1 + 1 +
2020 2020 2020 2020 2020 2020 2020
1 + + 1 + 1
2
2019
=
2
【点睛】本题考查了根据函数解析式求值,函数性质的分析及应用,指数幂的化简求值,属于基
础题.
22．(1) 1 = 1 , 4 = 1 , 1 = 2 , 8 = 2
5 5 2 17 17
(2) = 4 ≠ 0
【详解】（1）解：若 = 4 ( ) = ， 2 ， +4
则 1 = 1 , 4 = 1 , 1 = 2 , 8 = 2；
5 5 2 17 17
（2）解： = 4 ≠ 0 ，
4 4
4
理由：因为 = 16 = =
4 = ，
+4 16+4 2 4 22 +16
2+4
2
所以 = 4 ≠ 0 ；
（3）证明：任取 0 < 1 < 2 < ，
2 2
则 2 =
2 1 = 2 1+ 1 2+ 1 22+ 2+ 2+ 21 1 2+
1 2 1 2 + 2 1 1 2 1 2 + 2 = 1
2 + 2
=
+ 2 + 21 2 1 2 +
= 1 2 1 2
2
，
1+
2
2+
因为 0 < 1 < 2 < ，
所以 21 + 22 + > 0, 1 2 < 0, 1 2 < 0，
所以 2 > 1 ，
所以 ( )在区间(0, )上单调递增，
任取 4 > 3 > ，
2 2
= 4 3 = 4 3+ 3 4+ 则 4 3 24+ 23+ 23+ 24+
3 4 3 4 + 4 = 3
3 4 3 4 + 4 = 3
23 + 2 + 24 3 + 24 +
= 3 4 3 4 ，
2 23+ 4+
答案第 5页，共 6页
因为 4 > 3 > ，
所以 2 23 + 4 + > 0, 3 4 < 0, 3 4 > 0，
所以 4 < 3 ，
所以 ( )在区间( , + ∞)上单调递减.
答案第 6页，共 6页■■
■
嘉陵一中高2023级高一12月月考
19.
数学答题卡
姓名：
准考证号
学校：
班级：
正确填涂：■
团
W
团
罗
错误填涂
④
④
<○
●)0力3
岛
SG56
缺考
8
18.
四
9
违纪
口
一、选择题（每小题5分，共60分）
6D围四四
11刀0)四
2刀B四
7)W四
12团)W
3刀]囚
8刀I四四
4力B] I
9A BCD
5力)aI
10刀0BD9W
填空题（每小题5分，共20分）
13
14
15
16
三、解答题：(17题10分，其余每题12分，共70分)
17.(10分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
第1页共2页
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20.
237
22
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
第2页共2页
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