泉州九中与侨光中学2023秋季高一年联考数学试卷
（考试时间：120分钟，满分150分）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.下列区间中，函数一定存在零点的区间是( )
A. B. C. D.
5.若函数在上为增函数，则函数的图象可以是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，，则满足的的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的图象恒过定点，且函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.国内生产总值是指按国家市场价格计算的一个国家或地区所有常驻单位在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标．某城市年的为亿元，若保持的年平均增长率，则该城市的达到万亿元预计在参考数据：，( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量与净化时间月之间满足的函数关系且的图象若有害物质的初始量为，则以下说法中正确的是( )
A. 每月减少的有害物质的量都相等
B. 第个月时，剩余量就会低于
C. 有害物质每月的衰减率为
D. 当剩余量为，，时，所经过的时间分别是，，，则
10.已知，为正实数，满足，则下列判断中正确的是( )
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 函数的最小值为 D. 有最大值
11.若，，则下列判断错误的是( )
A. B. C. D.
12.某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有( )
A.
B. ，
C. 的值域为
D. ，，都有
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知若幂函数为奇函数，且在上递减，则 ．
14.计算 ．
15.函数的单调增区间为 ．
16.已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，．
，，且是的必要非充分条件，求实数的取值范围；
若，都有，求实数的取值范围．
18.本小题分
函数的图像过点和．
求函数的解析式；
当的定义域为时，求的最小值与最大值．
19.本小题分
已知函数
若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；
若，，求关于的不等式的解集．
20.本小题分
已知函数为奇函数
求的值．
探究的单调性，并证明你的结论
若存在实数，使得不等式成立，求的范围．
21.本小题分
北京时间年月日时分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心精准发射，约秒后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实施以来的第次飞行任务，也是空间站阶段的第次载人飞行任务。航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的商品销售情况进行调查发现：该商品在过去的一个月内以天计的日销售价格元与时间天的函数关系近似满足常数该商品的日销售量百个与时间天部分数据如下表所示：
天
百个
已知第天该商品的日销售收入为元．
求实数的值
给出以下三种函数模型：，
请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量与时间的关系，说明你选择的理由并借助你选择的模型，预估该商品的日销售收入元在哪一天达到最低
22.本小题分
设，函数．
当时，求在的单调区间；
记为在上的最大值，求的最小值．泉州九中与侨光中学2023秋季高一年联考数学参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
17.解：解不等式，即，解得，
所以，．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
由于是的必要非充分条件，则，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
所以，且等号不能同时成立，解得，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
因此，实数的取值范围是；
由，都有，得，，┄┄┄┄7分
令，，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
当时，取最大值为，所以，．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
因此，实数的取值范围是．
18.解：的图像过点和．
，得，
即┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
的定义域为，由，得，
即函数的定义域为，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
此时，┄┄┄6分
令，，，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分
则
，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
即对称轴为，
则函数在上为增函数，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
当时，取得最小值，，
当时，取得最大值，． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19.解： 的不等式 的解集为 ，
，且 ，是方程 的两个实数根，
， ，解得 ， ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
不等式 等价于 ，即 ，
故 ，解得 或 ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
所以该不等式的解集为 ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
当 时，不等式 等价于 ，即 ，
又 ，所以不等式等价于 ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
当 ，即 时，不等式为 ，解得 ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分
当 ，即 时，解不等式得 或 ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分
当 ，即 时，解不等式得 或 ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
综上，当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
20.解：函数为奇函数，
定义域为，且，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分
，
，经检验符合题意；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
在上单调递增，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
证明：由知，，，
的定义域为，
任取且，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
则
，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
在上单调递增且，
，，
，，
，即，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
在上单调递增；
由已知，存在实数，使得不等式成立，
由奇函数和单调性可知，┄┄┄┄┄┄9分
存在，成立，成立┄┄┄┄┄┄10分
令，，则在上单调递增，
，
，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
故．
21.解：由题意，，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
表格中对应的数据匀速递增时，对应的数据并未匀速变化，排除模型，┄3分
又表示的函数图象必然关于直线对称，
而表格中的数据并未体现此规律，排除模型，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
对于模型，将，带入模型，有：，解得：
此时，，经验证，，均满足，选模型，┄┄┄┄┄┄8分
，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
当且仅当，即时，取等号，
第天达到最低．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
22.解：当时，┄┄┄┄┄┄2分
当时，，则对应抛物线开口向下，对称轴为，
可知，在单调递增，单调递减，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
即在的单调递增区间为，递减区间为．
，若时，，对称轴为，
所以在单调递增，可得；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
若，
则在单调递增，在单调递减，在单调递增，
若，即时，在递增，可得；
由，可得在递增，在递减，
即有在时取得，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
当时，由，解得：，
若，即，
可得的最大值为；
若，即，可得的最大值为；
即有┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
当时，；
当时，；
当，可得．
综上可得的最小值为． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
