相交线练习
1．下列说法正确的有( )．
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，三条直线a，b，c相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3等于( )．
A．90° B．120° C．180° D．360°
3．判断下列语句，正确的个数有( )．
①两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这 ( http: / / www.21cnjy.com )两条直线互相垂直；②从直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这个点到已知直线的距离；③从直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这个点到已知直线的距离；④画出已知直线外一点到已知直线的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图所示，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( ).
A．相等 B．互余
C．互补 D．互为对顶角
5．已知：如图所示，直线AB，CD相交于O，OD平分∠BOE，∠AOC＝42°，则∠AOE的度数为( )．
A．126° B．96°
C．102° D．138°
6．如图所示，直线AB，CD相交，若∠1＝25°，则∠2＝__________，∠3＝__________，∠4＝__________.
7．如图所示，直线EF与AB相交于G，与C ( http: / / www.21cnjy.com )D相交于H，则∠AGH的对顶角是__________；∠AGF与__________是对顶角；∠AGH与__________是邻补角；∠GHC的邻补角是__________．
8．如图所示，CD⊥OB于点D，EF⊥OA ( http: / / www.21cnjy.com )于点F，那么点O到CD的距离是__________，点O到EF的距离是________，点C到OB的距离是________，点E到OA的距离是________．
9．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若∠α＝44°，则∠β等于( )．
A．56° B．46°
C．45° D．44°
10．如图所示，直线AB，CD相交于点O，若∠1－∠2＝70°，则∠BOD＝__________，∠2＝__________.
11．A是直线a外一点，B是直线a上一点，A到a的距离为3 cm，那么AB__________3 cm.
12．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥AB，∠AOE∶∠AOD＝3∶5，求∠BOF与∠DOF的度数．
13．如图所示，村庄A要从 ( http: / / www.21cnjy.com )河流l引水入村庄，需修一条水渠，请你画出修建水渠的路线图，并求出水渠的最短长度(比例尺为1∶200 000)，你能用所学的知识解决吗？
14．观察下列各图，寻找对顶角(不含平角)：
(1)如图a，图中共有__________对对顶角；
(2)如图b，图中共有__________对对顶角；
(3)如图c，图中共有__________对对顶角；
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成__________对对顶角；
(5)若有2 012条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
参考答案
1．答案：B 点拨：①，③正确，②，④错误，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，若两角不等，则一定不会是对顶角．
2．答案：C 点拨：因为三条直线a，b，c相交于点O，所以∠1，∠2，∠3与其对顶角构成一个周角．又对顶角相等，所以∠1＋∠2＋∠3＝×360°＝180°.
3．答案：A 点拨：考查垂直的概念和点 ( http: / / www.21cnjy.com )到直线的距离，只有①正确，一组邻补角相等，那么每个角都是90°，则这两条直线互相垂直．其余不正确，线段不是距离，线段的长才是距离，能画垂线段，但无法画距离．
4．答案：B 点拨：因为∠2＝∠COE，AB⊥CD，所以∠1＋∠COE＝90°，即∠1＋∠2＝90°.故∠1与∠2互余．
5．答案：B 点拨：因为∠AOC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )42°，所以∠BOD＝42°，由此求出∠BOE＝84°，根据邻补角定义，可知∠AOE＝180°－∠BOE＝96°.
6．答案：155° 25° 155° 点拨：根据邻补角互补、对顶角相等求解．
7．答案：∠FGB ∠BGH ∠AGF和∠BGH ∠GHD和∠CHE
8．答案：线段OD的长度 线段OF ( http: / / www.21cnjy.com )的长度 线段CD的长度 线段EF的长度 点拨：本题易错的原因是对点到直线的距离的概念理解不清，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，即距离是长度，而垂线段是图形，解题时一定要注意这一点．
9．答案：B 点拨：因为直线l1与l2相交于 ( http: / / www.21cnjy.com )点O，OM⊥l1，由图可知，∠α＋∠β＋90°＝180°，∠α＝44°，则∠β＝180°－90°－44°＝46°.
10．答案：125° 55 ( http: / / www.21cnjy.com )° 点拨：∠1－∠2＝70°，这说明∠1比∠2大70°，∠1与∠2又互补，所以求出∠1＝125°，∠2＝55°，从而可得∠BOD＝∠1＝125°.
11．答案：≥ 点拨：有 ( http: / / www.21cnjy.com )两种可能，一是B是垂足，那么AB的长度就是点A到a的距离，AB＝3 cm，若B不是垂足，由垂线段最短可知，AB＞3 cm.故要分情况讨论．
12．答案：解：因为∠AOE∶∠AOD＝3∶5，∠AOD＝90°，所以∠AOE＝90°×＝54°；
因为∠BOF＝∠AOE＝54°，
所以∠DOF＝90°－54°＝36°.
13．答案：解：如图，从A向l作垂线， ( http: / / www.21cnjy.com )垂足为B，则AB为水渠路线，量得AB＝2.2 cm，因为比例尺为1∶200 000，所以水渠的长为2.2×200 000＝440 000 cm＝4.4 km.
14．答案：解：(1)2 (2)6 (3)12
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成(n－1)n对对顶角；
(5)若有2 012条直线相交于一点，则可形成(2 012－1)×2 012＝4 046 132对对顶角．10.1 相交线
1．认识什么是相交线，理解对顶角、邻补角的概念，知道对顶角相等并能应用．
2．认识垂直是相交的一种特殊情况，理解过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，知道垂线段最短，并能应用．
3．会过一点作已知直线(线段)的垂线．
1．对顶角
(1)对顶角的概念
两条直线相交时，可以形成四个角：如图， ( http: / / www.21cnjy.com )∠1，∠2，∠3，∠4.∠1和∠2有公共顶点O，并且它们的两边分别互为反向延长线，我们把这样两个具有特殊位置的角叫做对顶角．即一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角．如图中的∠1和∠2，∠3和∠4是对顶角．
(2)对顶角的特征
两个角有公共顶点；两个角的边分别互为反向延长线，因此，只有两条直线相交才能产生对顶角．
两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角．
(3)对顶角的性质
对顶角相等．
【例1－1】下列图形中∠1与∠2是对顶角的是( )．
解析：选项A，两边不互为反向延长线，不是 ( http: / / www.21cnjy.com )对顶角；选项B，两角没有公共顶点，不是对顶角；选项C，两角没有公共顶点，不是对顶角；选项D，两角有公共顶点，两边分别互为反向延长线，是对顶角．
答案：D
(1)判断两个角是否是对顶角，要看两个角是否是两条直线相交所得到的，还要看这两个角是不是有公共顶点．
(2)对顶角是成对的．两条直线相交所构成的四个角中，共有两对对顶角．
【例1－2】已知∠α与∠β的和是200°，∠α与∠β是对顶角，则∠α＝__________.
解析：设∠α＝x°，根据对顶角相等，则∠β＝x°，根据题意，得∠α＋∠β＝200°，即2x＝200，解得x＝100，即∠α＝100°.
答案：100°
2．垂线
(1)垂线的概念
如图，当两条直线AB和CD相交所成 ( http: / / www.21cnjy.com )的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O叫做垂足．
垂线的三要素：两条直线；相交；一个角是直角．
(1)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直．
(2)两条直线互相垂直，则四个角为直角．反之也成立．
(2)垂线的性质
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
其中的“有且只有”包含两层含义：
“有”即存在一条与已知直线垂直的直线；
“只有”是说与已知直线垂直的直线是唯一的．即说的是垂线的存在性和唯一性．
【例2－1】若∠A与∠B是对顶角且互补，则它们两边所在的直线( )．
A．互相垂直
B．互相平行
C．既不垂直也不平行
D．不能确定
解析：∠A与∠B是对顶角且互补，根据对顶角的性质，可判断这两个角相等，且都为90°，因此它们两边所在的直线互相垂直．
答案：A
【例2－2】如图，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为__________．
解析：因为AB⊥CD，所以∠ABD＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC＝90°.因为BE是∠ABD的平分线，所以∠ABE＝×90°＝45°，即∠CBE＝90°＋45°＝135°.
答案：135°
3．垂线段
(1)垂线段的定义
垂线段是指连接直线外一点与垂足形成的线 ( http: / / www.21cnjy.com )段．如图，设点P是直线外一点，PA，PB，PC，PO都和直线l相交，其中PO⊥l，垂足为O，则线段PO就是点P到直线l的垂线段，可见直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，其余的PA，PB，PC，…都是斜线段，斜线段有无数条．
(2)垂线段的性质
在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．简单的记为“垂线段最短”．
(3)点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．上图中线段PO的长度叫点P到直线l的距离．
垂线是直线；垂线段特指一条线段，都是图形；点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，是有单位的．
【例3－1】如图所示，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论：①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．其中正确的有( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：根据垂直的特征：交角 ( http: / / www.21cnjy.com )为直角，可得①正确，②错误．C点到AB的垂线段应是AC，故③错误．点A到BC的距离是指线段AD的长度，故④错误．⑤符合定义，正确，故⑥错误．
答案：A
【例3－2】教师请三名同学测量一名同学的跳 ( http: / / www.21cnjy.com )远成绩(落地点与起跳线间的距离)，因测量的方法不同，报给教师的成绩是：1.8 m,2 m，2.4 m，则该同学跳远的准确成绩应是( )．
A．1.8 m B．小于1.8 m
C．不大于1.8 m D．2 m
解析：因为由落地点到起跳线(直线)的距离是该 ( http: / / www.21cnjy.com )同学的成绩，根据“垂线段最短”，而2.4＞2＞1.8，故该同学落地点到起跳线的距离应小于或等于(即不大于)1.8 m，应选C．
答案：C
4．画垂线
(1)用量角器画垂线
①经过直线上一点画已知直线的垂线
先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器底 ( http: / / www.21cnjy.com )边的中心点与直线上已知的点O重合，再在量角器90度所对的位置处标出一点C，拿走量角器，过O，C两点作直线OC即可．
②经过直线外一点画已知直线的垂线
先让量角器的底线落在已知直线 ( http: / / www.21cnjy.com )上，并使量角器90度的垂直线经过直线外的点P，再在量角器90度所对的位置处标出一点C，拿走量角器，过P，C两点作直线PC即可．
(2)用三角板画垂线
用三角板画垂线的步骤如下：
a．落：使三角板的一条直角边落在已知直线上；
b．过：移动三角板，使三角板的另一直角边经过已知点；
c．画：沿过已知点的直角边画直线．
【例4－1】如图所示，△ABC是 ( http: / / www.21cnjy.com )依次连接平面上的三点A，B，C形成的三角形，分别过点A作BC的垂线，过点C作AB的垂线，过点B作AC的垂线．
分析：过已知点作已知线段的垂线就是作线段所在的直线的垂线．
解：所作垂线如图中的线段AD，CE与BF.
【例4－2】如图，过点A，分别画OA，OB的垂线．
分析：过A点作OA的垂线，就是过直线OA上的点A所作的垂直于OA的直线，垂足为A；作OB的垂线，就是作OB所在直线的垂线．
解：如图，直线CD，AE即为所求，即直线CD⊥OA，垂足为A，AE⊥BO，垂足为E.
如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上．
5．与相交线有关的角的计算
与相交线有关的角的计算问题所涉及的知识主要是对顶角、垂直及角的和差倍分问题，解答的关键是正确应用对顶角的性质和垂直的定义．
由两条直线互相垂直，我们可以有下列的简单推理：
如图，因为∠AOC＝90°(已知)，所以AB⊥CD(垂直的定义)．
反过来，因为AB⊥CD(已知)，
所以∠AOC＝90°(垂直的定义)．
【例5】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数．
解：因为OE⊥CD，OF⊥AB(已知)，
所以∠BOF＝∠DOE＝90°(垂直定义)．
因为∠BOD＝∠BOF－∠DOF＝90°－65°＝25°，
所以∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－25°＝65°，
∠AOC＝∠BOD＝25°(对顶角相等)．
6．邻补角
两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且有 ( http: / / www.21cnjy.com )一条公共边的两个角是邻补角．如图，∠1和∠2有公共顶点O，且有一条公共边OA，另两边成一条直线，所以∠1和∠2是邻补角．
邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角．如图中的∠1和∠2是邻补角．
对于邻补角的概念要抓住其本质特征：一是有公共顶点；二是有一条公共边；三是另一边互为反向延长线．
(1)邻补角是具有特殊位置关系的两个角，是两角互补的特例，补角主要是从数量关系上来看两个角的，而邻补角不仅从数量关系上满足两个角的和是180°，还必须同时具备位置上的关系．
(2)如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互补；但两个角互补，它们不一定互为邻补角．
(3)一个角的补角可以有很多，但一个角的邻补角只有两个．
【例6－1】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，指出∠AOC，∠EOB的对顶角，∠AOC的邻补角．图中一共有几对对顶角？几对邻补角？
分析：找一个角的对顶角时，可分别反向延 ( http: / / www.21cnjy.com )长这个角的两边，以延长线为边的角即是原角的对顶角．找一个角的邻补角时，可先固定一边，反向延长另一边，则由固定边和延长线组成的角即是原角的邻补角．∠AOC的邻补角应有两个，一个为固定OA，反向延长OC；另一个为固定OC，反向延长OA．三条直线相交于一点，共有三组不同的两条直线相交，即AB与CD，AB与EF，CD与EF，每两组直线相交，就得到2对对顶角，4对邻补角，故有3×2对对顶角，3×4对邻补角．
解：∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的对顶角是∠AOF；∠AOC的邻补角是∠AOD，∠BOC．图中共有6对对顶角，12对邻补角．
【例6－2】如图所示，直线AB和CD相交于点O，若∠AOD与∠BOC的和为236°，则∠AOC的度数为( )．
A．62° B．118° C．72° D．59°
解析：∠AOD与∠BOC是对顶角，因此它们相等，从而可求出∠AOD＝118°，再根据邻补角关系求出∠AOC＝62°.故选A．
答案：A
【例6－3】若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3＝45°，则∠1的度数为__________．
解析：因为∠2的邻补角是∠3，∠3＝45°，所以∠2＝180°－∠3＝135°.因为∠1的对顶角是∠2，所以∠1＝∠2＝135°.
答案：135°
7．垂线段最短在实际生活中的应用
求最短路线问题就是一类最优化问题， ( http: / / www.21cnjy.com )我们所学的“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”是解决这类问题的两个重要依据．当然如何将实际问题转化为数学问题也是解题的关键之一．
“两点之间，线段最短”主要解决两 ( http: / / www.21cnjy.com )点之间的距离最短问题；“垂线段最短”是解决点与直线间距离最短的问题，通常过这个点作已知直线的垂线段，垂线段的长度就是最短距离．
【例7】如图，要挖一条水渠，要求先把水送到B地，然后再送到A地．请你设计一条最短的路线，并在图上画出来．
分析：解本题的关键是在直线l上找一点C，使线段BC最短．要使点到直线的距离最小，考虑垂线段．
解：如图，连结点A、点B，过点B作BC⊥l于点C，折线ABC就是水渠的线路．
8．相交线中的规律探究
如图，是两两相交的直线．
在平面内，两条直线相交只有一个交点，能 ( http: / / www.21cnjy.com )形成2对对顶角，而且最多把平面分为4部分；如果3条直线两两相交，最多有3个交点，能形成6对对顶角，而且最多把平面分为7部分；……，n条直线两两相交，最多有n(n－1)个交点，能形成n(n－1)对对顶角，最多把平面分为1＋n(n＋1)部分．
解题时，要逐个画出图形，对所画出的图形与前一个图形进行对比探究，找到前后之间的内在联系．
【例8－1】三条直线两两相交共有交点( )．
A．1个 B．2个
C．3个 D．1个或3个
解析：有两种情况，一是三条直线过同一点，另一种情况是交于不同的点，这样有三个交点．故选D．
答案：D
【例8－2】10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
解：如图，2条直线最多将平面分成2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋2＝4块不同区域；3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3块，即最多分成2＋2＋3＝7块不同区域；同理：4条直线最多分成2＋2＋3＋4＝11块不同区域；……；所以10条直线最多分成2＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝56块不同区域．
