6.2 实数
1．了解无理数、实数的概念和实数的分类，了解无理数的表现类型，会辨别有理数与无理数．
2．了解实数和数轴上的点是一一对应的关系，体会数形结合的思想；会进行实数的大小比较．
3．了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义；了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用，能利用运算法则进行简单的四则运算．
1．无理数的概念及表现类型
(1)无理数的概念：
无限不循环小数叫做无理数．
无理数应满足的条件：①是小数；②是 ( http: / / www.21cnjy.com )无限小数；③是不循环小数．三者缺一不可．例如3.232 323 23…是无限小数，但它又是循环小数，因此3.232 323 23…是有理数；而3.141 592 6不是循环小数，但它是有限小数，所以3.141 592 6是有理数．
(2)无理数的表现类型：
第一类：π型，即圆周率π及含有π的数，如3π，2π－1，…；
第二类：根号型，即开方开不尽的数，如，，…；
第三类：小数型，即无限不循环小数， ( http: / / www.21cnjy.com )如0.101 001 000 1…；2.383 883 888 388 88…(每两个3之间依次增加一个8)．
有理数与无理数的主要区别
(1)有理数包括整数和分数，任何整数和分数都 ( http: / / www.21cnjy.com )可化为有限小数或无限循环小数，因此有理数包括有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数．
(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整
数可以看成是分母为1的分数)，而无理数则不能写成分数的形式．
【例1－1】下列说法正确的有( )．
①无理数是无限小数；②无限小数是无理数；③不能除尽的数都是无理数；④带根号的数都是无理数．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：②中，0.是无限小数，但0.是有理数；③中，除不尽，但是有理数；④中，带根号，但＝2，是有理数．故正确的说法只有①.
答案：A
【例1－2】有下列各数：，－，3.141 592 6，，，，3.101 001 000…(每两个1之间依次增加1个0)，其中无理数有( )．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
分析：判断一个数是否是无 ( http: / / www.21cnjy.com )理数，不能只根据其形式，主要根据其结果，如带根号的数不一定是无理数，如＝5，＝－2；写成分数形式的数也不一定是有理数，如，－，本题中，－，3.101 001 000…是无限不循环小数．故无理数共有3个．
答案：C
由于开方的需要我们引入了无理数，这很容易给人以错觉，认为无理数就是开方开不尽的数．开方运算可能产生无理数(如等)，但也可能产生有理数(如等)．开方开不尽的数是无理数，但无理数并不全是开方开不尽的数，如π，0.101 001 000 1…(每两个1之间依次增加一个0)等都是无理数，因此，对于含根号的数不能一概而论，应先化简再判断其是否为无理数．
2．实数的概念及其分类
(1)实数：有理数和无理数统称为实数．
(2)实数的分类
①按定义来分类
实数
②按正、负数来分类
实数
0既不是正数，也不是负数．
分类是一个重要的数学思想，分类时只要做到按同一标准，既不重复，又不遗漏即可．如我们也可按照以下方式对实数分类：
实数
【例2】把下列各数填入相应的集合内：－ ( http: / / www.21cnjy.com )π，，3.141 592 6，，0.808 008 000 8…(每两个8之间的0的个数逐次加1)，，＋1，，－，，，.
整数集合{ ，…}；
负分数集合{ ，…}；
正实数集合{ ，…}；
有理数集合{ ，…}；
无理数集合{ ，…}；
负实数集合{ ，…}．
解析：本题要根据整数、负分数、无理数、负实数、有理数、正实数的概念进行分类，应注意带根号的数的判断，如＝2，＝6，它们都是整数．
答案：整数集合{，，…}；
负分数集合；
正实数集合，3.141 592 6，，0.808 008 000 8…(每两个8之间的0的个数逐次加1)，，＋1，，，，；
有理数集合
；
无理数集合－π，0.808 008 000 8…(每两个8之间的0的个数逐次加1)，＋1，，；
负实数集合.
将各数化简到最简后，再按有关概念进行分类，填入相应的括号内，要做到不重不漏．
3．实数的有关性质
(1)实数与数轴上的点的对应关系：实数 ( http: / / www.21cnjy.com )和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．也就是说，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
(2)相反数：实数a的相反数是－a,0的相反数是0.即若a与b互为相反数，则a＋b＝0；反之，若a＋b＝0，则a与b互为相反数．
在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两侧，并且这两点到原点的距离相等．
(3)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
实数a的绝对值可表示为|a|＝实数a的绝对值总是一个非负数，即|a|≥0，并且若有|x|＝a(a≥0)，则x＝±a.
在数轴上实数a的绝对值就是实数a所对应的点与原点的距离．
(4)倒数：乘积为1的两个实数互为倒数．即若ab＝1，则a，b互为倒数；反之，若a，b互为倒数，则ab＝1．注意：0没有倒数．
【例3－1】下列说法中，正确的是( )．
A．实数包括有理数、无理数和0
B．无理数就是无限小数
C．无论是有理数还是无理数，都可以用数轴上的点来表示
D．有理数和数轴上的点一一对应
解析：选项A中0属于有理数，应改为 ( http: / / www.21cnjy.com )：实数包括有理数、无理数；无限循环小数是有理数，因此选项B不正确，应改为：无理数就是无限不循环小数；选项C正确；有理数都可以用数轴上的点表示，但是数轴上的点不一定表示有理数，还可以表示无理数，因此选项D不正确，应改为：实数和数轴上的点一一对应．
答案：C
【例3－2】(1)写出－，π－3.14的相反数分别是__________，指出1－是实数__________的相反数；
(2)已知一个数的绝对值是，则这个数是__________；的绝对值是__________．
解析：(1)因为－(－)＝，－(π－3.14)＝3.14－π，所以－，π－3.14的相反数分别是，3.14－π；因为－(1－)＝－1，所以1－是－1的相反数；(2)因为||＝，|－|＝，所以绝对值是的数是或－；因为＝－，所以||＝|－|＝.
答案：(1)，3.14－π －1 (2)或－
4．实数的运算
实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开立方运算，其中正实数及零可以进行开平方运算．
实数的运算法则、运算律和运算顺序都与 ( http: / / www.21cnjy.com )有理数相同．注意：开方运算和乘方运算一样，都是第三级运算．即先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序进行；有括号先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
在实数运算中，遇到无理数并且需要求出结果的近似数时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数再进行计算，并按要求进行取舍．
实数与有理数的关系
(1)在实数范围内，与有理数一样，规定了一个数的相反数、绝对值及大小比较的意义．
(2)有理数的运算规律和运算性质，在实数范围内仍然适用．
(3)在实数范围内总可以实施四则运算和乘方运算，而非负数总可以实施开方运算，但负数只能开奇次方，不能开偶次方．
(4)有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数，而实数和数轴上的点是一一对应的．
(5)在实际问题中，涉及无理数运算常常用与它近似的一个有理数来代替，如圆周率π常取近似值为3.14，常取近似值为1.732等．
【例4－1】计算：
(1)＋；
(2)＋；
(3)××3；
(4)(2＋)－(＋)．
分析：严格按照运算顺序运算．(1)只含 ( http: / / www.21cnjy.com )有开方运算与加减运算，根据运算顺序，先算开方，最后算加减；(2)先去括号，再利用运算律把被开方数相同的结合在一起，利用分配律求出结果．
解：(1)＋＝＋＝－－＝－2．
(2)＋
＝＋＝＋
＝－.
(3)××3＝10×(－2)×3×0.7＝－42．
(4)(2＋)－(＋)＝2＋－－＝(2－)＋(－)
＝(2－1)＋0＝.
【例4－2】(1)＋－5.021(精确到0.01)；
(2)＋3－π＋0.25(精确到0.001)．
分析：(1)(2)先用计算器求 ( http: / / www.21cnjy.com )出无理数的近似值，把无理数用近似的有限小数代替．然后再进行近似计算．可熟记几个无理数的近似值，如≈1.414，≈1.732，≈2.236，π≈3.14等．
解：(1)＋－5.021≈2.236＋1.710－5.021＝－1.075≈－1.08．
(2)＋3－π＋0.25≈2.645 8＋5.196 2－3.141 6＋0.25＝4.950 4≈4.950.
实数运算中遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，参与运算的无理数的近似值要比结果要求的精确度多取一位小数．计算的最后结果四舍五入到所要求的精确度．
5．实数大小比较
任意两个实数都可以比较大小，正数大于0，负数小于0，正数大于负数．两个正数，绝对值大的数较大．两个负数，绝对值大的数反而小．
利用数轴也可以比较两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的点所表示的数总比左边的点表示的数大．
【例5－1】用“＜”连接下列各数：－，0.4，－，0,2，－，－2.5．
分析：将各数用数轴上的点表示，如图所示：
根据“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”可以得到．
解：－2.5＜－＜－＜0＜0.4＜－＜2.
【例5－2】比较下列各组数的大小：
(1)______3.6；
(2)－1.5______；
(3)－__________－π.
解析：(1)因为≈3.61，所以＞3.6；
(2)因为正数大于一切负数，所以－1.5＜；
(3)因为|－|≈3.162，|－π|≈3.142，
所以|－|＞|－π|，即－＜－π.
答案：(1)＞ (2)＜ (3)＜
6．确定根号型无理数的范围
估算能力是一种重要的数学思维方法，估算 ( http: / / www.21cnjy.com )思想就是在处理问题时，采用估算的方法达到问题解决的目的．在遇到无理数的大小比较或确定无理数的范围等问题时，常用到的估算的方法有如下两种：
(1)通过夹逼的办法确定被开方数在哪两个相 ( http: / / www.21cnjy.com )邻整数的平方之间，从而确定在哪两个整数之间，进而确定的整数部分及其小数部分．比如12＜2＜22，故1＜＜2．又由于1.42＝1.96，1.52＝2.25，所以1.42＜2＜1.52，从而可知1.4＜＜1.5，即的整数位是1，十分位是4．同样，我们也可以确定的百分位、千分位等．
(2)借助计算器确定的整数部分，进而确定其小数部分．
【例6－1】估计＋1的值是( )．
A．在2和3之间
B．在3和4之间
C．在4和5之间
D．在5和6之间
解析：首先要确定的取值范围，再估算＋1的取值范围．因为9＜10＜16，所以＜＜，即3＜＜4,4＜＋1＜5．从而可确定＋1的取值范围．
答案：C
【例6－2】已知a，b分别是6－的整数部分与小数部分，则2a－b＝__________.
分析：方法1：因为9＜13＜16，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )3＜＜4．因此的值在3～4之间，故6－的整数部分应该是2．用6－减去它的整数部分2，剩下的就是小数部分了，于是小数部分是6－－2＝4－.故2a－b＝2×2－(4－)＝4－4＋＝.
方法2：借助计算器确定6－的整数部分a＝2，进而表示小数部分，解决问题．
答案：,
7．比较两个实数大小的方法
(1)利用数轴比较大小．在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．
(2)利用法则比较实数大小．正数大于0 ( http: / / www.21cnjy.com ),0大于负数，正数大于负数．两个正数比较，绝对值大的数较大．两个负数比较，绝对值大的数反而小，绝对值小的数反而大．
(3)取近似值法．用有限小数来代替无理数比较大小．应用此种方法比较两实数的大小时，由于有计算器的缘故，此种方法较为简便．
(4)乘方法．如果a＞b＞0，那么＞，＞.
(5)差值比较法．对于实数a，b，当a－b＞0时，a＞b；
当a－b＝0时，a＝b；
当a－b＜0时，a＜b.
(6)商值比较法．对于两个正数a，b，当＞1时，a＞b；
当＜1时，a＜b；
当＝1时，a＝b.
【例7】(1)比较和0.5的大小；
(2)比较和的大小．
分析：(1)两个同分母的分数比较大小，分 ( http: / / www.21cnjy.com )子大的较大，分子小的较小，因为0.5＝，所以只要比较－1与1的大小即可．因为＞2，所以－2＞0，从而得出比较的结果．(2)异分母的分数进行比较大小，要先化成同分母的分数再进行比较，因为＝，所以只要比较4－4与5的大小即可，也就是比较4与9的大小．
解：(1)因为－0.5＝，
而－2＝－＞0，
所以＞0，
即－0.5＞0.
故＞0.5．
(2)因为－＝－＝，
又4＜4×2.24＝8.96,8.96＜9，所以4＜9．
因此＜0，从而可知＜.
比较4与9的大小也可采用平方法，如(4)2＝80,92＝81，因为80＜81，所以4＜9．
8．与实数有关的应用题
初中阶段学习的数的最大范围就是实数，本阶段所学习的所有计算、推理都是在实数范围内进行的．
在实际问题中，经常会遇到一些与实数有关的开方 ( http: / / www.21cnjy.com )运算．有关实数的性质特点应用于初中数学的各个方面，一般从实际问题中构造数学模型，通过开平方或开立方解决实际问题．
【例8】现有一面积为150 m2的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6 m，那么扩建后的鱼池的面积为多少？(精确到0.01)
解：因为原正方形鱼池的面积为150 ( http: / / www.21cnjy.com )m2，根据面积公式，它的边长为≈12.247(m)．由题意可得扩建后的正方形鱼池边长为(12.247＋6) m，所以扩建后的鱼池的面积为18.2472≈332.95(m2)．
9．与实数有关的新题型
与实数有关的新题型主要是以实数知识为问 ( http: / / www.21cnjy.com )题背景，从问题呈现的形式、考查所学知识的角度等各方面进行创新，解决这些问题的关键是认真观察、仔细分析、积极探索，从而求出问题的答案．常见题型有以下两种：
(1)阅读理解题：一般是给定一系列数或等 ( http: / / www.21cnjy.com )式或图形要求我们适当地进行运算．解决此类问题，首先要认真阅读材料给出的信息，辅之必要的观察、猜想、归纳、验证，利用从特殊到一般的数学思想，分析特点，探索规律，总结结论，最终使问题获解．这类题主要考查观察能力、合情推理能力和探索能力．
(2)新运算问题：除了一般的运算外 ( http: / / www.21cnjy.com )，辅以预先规定好新符号的新运算．解答新运算问题的关键，在于理解新运算的定义，严格按照规定的计算法则代入计算，把定义的新运算转化为我们常规的四则运算．值得注意的是，遇到有括号时，仍应当先算括号里面的；同级运算(两个相同的新定义运算是同级运算)按照自左而右的顺序计算．另外，新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算定律来解题．
【例9－1】先阅读理解，再回答问题：
因为＝，且1＜＜2，所以的整数部分为1；
因为＝，且2＜＜3，所以的整数部分为2；
因为＝，且3＜＜4，所以的整数部分为3；
以此类推，发现(n为正整数)的整数部分是__________，请说明理由．
解：n
理由：因为＜＜，
即n＜＜n＋1，
所以的整数部分为n.
【例9－2】用“★”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a★b＝b2＋1．
例如，7★4＝42＋1＝17，求5★3的值；
当m为实数时，求m★(m★2)的值．
分析：以a★b＝b2＋1为求解的突破口，即a★b等于符号★后面的因式的平方与1的和．
解：因为a★b＝b2＋1，所以5★3＝32＋1＝10．
又因为m★2＝22＋1＝5，
m★5＝52＋1＝26，
所以m★(m★2)＝26．
在解答与新运算有关的问题时，有括号时，应当先算括号里面的．实数练习
1．下列说法错误的是( )．
A．是无理数
B．π＋1是无理数
C．是分数
D．是无限不循环小数
2．有下列实数：，－π，3.141 59，，，12．其中无理数有( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，数轴上点P表示的数可能是( )．
A． B． C．－3.2 D．
4．估计的大小应( )．
A．在9.1～9.2之间
B．在9.2～9.3之间
C．在9.3～9.4之间
D．在9.4～9.5之间
5．数的相反数是__________，它的绝对值是__________；数的绝对值是__________．
6．把下列各数分别填在相应的括号内：，－3,0，，0.3，，－1.732，，，，，，，0.101 001 000 1…(每两个1之间依次增加一个0)．
整数集合{ ，…}；
分数集合{ ，…}；
正数集合{ ，…}；
负数集合{ ，…}；
有理数集合{ ，…}；
无理数集合{ ，…}．
7．如图，数轴上表示1，的对应点为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是( )．
A． B．
C． D．
8．下列各式中，无论x取何实数，都没有意义的是( )．
A． B．
C． D．
9．如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有______个．
10．已知的整数部分是x，小数部分是y，则＝__________.
11．计算：(1)(|－1|－＋2－2)×2＋；
(2)|－2|－(－2)2＋|－1|.
12．阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a＝6，则|a|＝|6|＝6，故此时a的绝对值是它本身；
当a＝0时，|a|＝0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a＝－6，则|a|＝|－6|＝6＝―(―6)，故此时a的绝对值是它的相反数．
因此综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：(1)请仿照上面的分类讨论的方法，分析实数的各种展开的情况；
(2)猜想与|a|的大小关系．
参考答案
1．答案：C
2．答案：A 点拨：无理数有－π，.
3．答案：B 点拨：由数轴可知，点P表示的数处于－3～－2之间，故C不正确；因为2＜＜3，是正无理数，所以点P表示的数不是，故A不正确；又与互为相反数，所以－3＜＜－2，因此数轴上点P表示的数可能是；因为＞3，所以＜－3，故D不正确．
4．答案：C 点拨：因为92＜88＜102，所以9＜＜10，即的整数部分是9.因为9.32＝86.49，9.42＝88.36，即有9.3＜＜9.4，所以的大小应在9.3～9.4之间．
5．答案： 点拨：由于，即，所以的绝对值是它的相反数.
6．答案：解：整数集合{－3,0，，，…}；
分数集合；
正数集合{，，，，0.101 001 000 1…(每两个1之间依次增加一个0)，…}；
负数集合；
有理数集合；
无理数集合
7． 答案：C 点拨：我们知道实数和数轴上的点一一对应，由图知，|OA|＝1，|OB|＝，从而|AB|＝|OB|－|OA|＝.
又∵点B，点C关于点A对称，
∴|AC|＝|AB|＝.
这时|OC|＝|OA|－|AC|＝1－()＝，即点C所表示的点为，故选C.
8．答案：B 点拨：无论x取何值，－2 011x2－1≤－1.
9．答案：4 点拨：因为≈－1.414，≈2.646，
所以与之间的整数有－1,0,1,2，共4个．
10．答案：3 点拨：的整数部分是2，即x＝2；的小数部分，因此.
11．答案：解：(1)原式＝(1－4＋0.25)×2＋5＝－0.5；
(2)原式＝.
12．答案：解：(1)当a＞0时，如a＝8，则，故此时等于它本身；
当a＝0时，＝0，故此时等于零；
当a＜0时，如a＝－8，则，故此时等于它的相反数，即.
因此综合起来的结果要分三种情况，
即＝
(2).
