数学人教A版（2019）必修第一册3.2.2函数的奇偶性 课件（共26张ppt）

(共26张PPT)
第3章 函数的概念与性质
3.2.2 函数的奇偶性



情境导入
“对称美”是自古以来中国的一种审美形式，实际生活中、传统文化里、自然界中对称的例子比比皆是，体现着数学的“对称美”！
其实，这种“对称美”还体现在我们的函数图象中，反映着函数的重要性质.
偶函数
利用描点法画出函数 和函数 的图象并观察，你能发现
这两个函数图象有什么共同的特征？










可以发现，这两个函数都关于y轴对称.

对于 ，有


对于 ，有


类比函数单调性，你能用符号语言精确的描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？
当自变量取互为相反数的两个数时，函数值是相等的，即
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=2-|x| … -1 0 1 2 1 0 -1 …
常见的偶函数有 ， 等等
偶函数

【思考】对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个函数
是偶函数吗？







【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ，所
以不一定是偶函数.


要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
或者证明函数的定义域不关于原点对称。
【1】代数法①该函数的定义域关于原点对称，即任意x∈D(D为定义域)，-x∈D；
②任取一个自变量x，都满足f(-x)=f(x)
偶函数
【总结】一般地，一个函数是偶函数的两个判断方式：
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
例如：判断下列函数是否为偶函数
偶函数
偶函数


图像关于y轴对称
代数特征
几何特征
定义中， 的常见变形有：


画出函数 和函数 的图像并观察，你能发现这两个函数图象有什么共同的特征吗？你能用符号语言精确的描述这一特征吗？
奇函数








可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.

对于 ，有
对于 ，有


当自变量取互为相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即
奇函数
常见的奇函数有 ， , 等等
【思考】对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个
函数是奇函数吗？



【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ，
所以不一定是奇函数.





奇函数
要证明某个函数不是奇函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠-f(x0)即可
或者证明函数的定义域不关于原点对称。
【1】代数法①该函数的定义域关于原点对称，即任意x∈D(D为定义域)，-x∈D；
②任取一个自变量x，都满足f(-x)=-f(x)
【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：
【2】几何法：函数的图像关于原点成中心对称，那么函数就是奇函数
奇函数
奇函数


图像关于原点对称
代数特征
几何特征
定义中， 的常见变形有：


如果奇函数在
处有定义，则：


如何证明
这个结论？
函数奇偶性的判断
【例题】判断下列函数的奇偶性.
【解】(1)首先判断定义域为R，关于原点对称，再判断：



所以此函数是偶函数；
【解】(2)首先判断定义域为R，关于原点对称，再判断：

所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为 ，关于原点对称，再判断：

所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为 ，关于原点对称，再判断：

所以此函数是偶函数.
判断函数奇偶性，首先要看定义域.
④ 既是奇函数，又是偶函数.
函数奇偶性的判断
利用定义判断函数奇偶性的方法：
【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定
义域关于原点对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下
去的必要.
【2】二看等式：满足第一点之后，判断 与 的关系：
函数
既是奇函数，又是偶函数


① 是偶函数；

② 是奇函数；

③ 是非奇非偶函数；



奇(偶)函数的性质及应用
【探究】（1）如何判断函数 的奇偶性？
【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数
的定义域为R，且有
所以此
函数是奇函数.

（2）已知函数 图象的一部分，如何画出剩余部分？






(2)由奇函数的图象关于原点成中心对称可以画出函数 在
y轴左侧对应的图象，将y轴右侧的图象沿着原点旋转180°即可，画出的
图象如图所示.


奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】
（1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在关于原点对称区间上的单调性是相同的.
如果奇函数在区间[a,b]上单调递增，那么在区间[-b,-a]上也单调递增.
①偶函数：偶函数在关于原点对称区间上的单调性是相反的.
如果偶函数在区间[a,b]上单调递增，那么在区间[-b,-a]上单调递减.
如何证明上述结论？
用单调性和奇偶性的定义证明
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：
设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
【注】上表中不考虑 和 的情况；
中需 ， .
偶
偶
偶
偶
奇


奇
奇
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
偶
偶
奇





【1】已知 是偶函数， 是奇函数，将下面的图像补充完整.
【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称；
把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.










达标检测
分析:将函数f（x）图象补充完整
xf(x)<0即xy<0，就是图象在第二、四象限的部分对应的x的取值范围
{x|x<-3或0偶函数 奇函数
定义
图象
定义域
关于y轴对称
关于原点对称
关于原点对称
用定义法判断函数的奇偶性的步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(-x)和f(x)的关系；
③作出相应结论。

课堂小结