22.2　二次函数与一元二次方程课件(共31张PPT) 人教版数学九年级上册

(共31张PPT)
22.2　二次函数与一元二次方程
2023—2024学年人教版数学九年级上册
　　1．关于 x 的一元一次方程 kx＋b＝0 的解为 x＝1，则当 x＝___时，一次函数 y＝kx＋b 的函数值为 0．
1
　　2．一次函数 y＝kx＋b 的图象如图，则关于 x 的一元一次方程 kx＋b＝0 的解为_____________．
x＝2
O
y
1
3
2
x
y＝kx＋b
1
　　3．一次函数与一元一次方程之间的关系．
一次函数与
一元一次方程
　　数：在函数 y＝ax＋b(a≠0)中，当 y＝0 时， x 的值 一元一次方程 ax＋b＝0 的解
　　形：函数 y＝ax＋b(a≠0)的图象与 x 轴的交点的横坐标 一元一次方程 ax＋b＝0 的解
问题
　　如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有函数关系
h＝20t－5t2．
　　考虑以下问题：
　　（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要飞行多少时间？
　　（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要飞行多少时间？
　　（3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？
　　（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
　　分析：由于小球的飞行高度 h 与飞行时间 t 有函数关系 h＝20t－5t2，所以可以将问题中 h 的值代入函数解析式，得到关于 t 的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h 的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中 h 的值．
　　（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要飞行多少秒？
　　当小球飞行 1 s 和 3 s 时，它的飞行高度为 15 m．
　　解：（1）解方程 15＝20t－5t2，
t2－4t＋3＝0，t1＝1，t2＝3．
　　（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要飞行多少秒？
　　你能结合上图指出为什么在两个时刻，小球的高度为 15 m 吗？
O
h
t
1
3
2
4
15
　　（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要飞行多少秒？
　　当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m．
　　解：（2）解方程 20＝20t－5t2，
t2－4t＋4＝0，t1＝t2＝2．
1
3
2
4
O
h
t
20
　　（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？
　　你能结合上图指出为什么只在一个时刻，小球的高度为 20 m 吗？
　　（3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？
　　因为(－4)2－4×4.1＜0，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到 20.5 m．
　　解：（3）解方程 20.5＝20t－5t2，
t2－4t＋4.1＝0．
　　（4）小球从飞出到落地要用多少秒？
　　解：（4）小球飞出时和落地时的高度都为 0 m，解方程
　　0＝20t－5t2，
　　t2－4t＝0，t1＝0，t2＝4．
1
3
2
4
O
h
t
　　当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m，这表明小球从飞出到落地要用 4 s．从图来看，0 s 时小球从地面飞出，4 s 时小球落回地面．
　　（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
1
3
2
4
O
h
t
归纳
　　从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数 y＝－x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程 －x2＋4x＝3(即x2－4x＋3＝0)．反过来，解方程 －x2＋4x＋3＝0 又可以看作已知二次函数 y＝－x2＋4x ＋3的值为 0，求自变量 x 的值．
思考
　　下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
　　（1）y＝x ＋x－2；（2）y＝x －6x＋9；（3）y＝x －x＋1．
　　在同一直角坐标系中，画出这些函数的图象（如图）．
　　抛物线 y＝x2＋x－2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1．
　　当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0．由此得出方程 x2＋x－2＝0 的根是－2，1．
　　在同一直角坐标系中，画出这些函数的图象（如图）．
　　抛物线 y＝x2－6x＋9 与 x 轴有一个公共点，这点的横坐标是 3．
　　当 x＝3 时，函数值是 0．由此得出方程 x2－6x＋9＝0 有两个相等的实数根 3．
　　在同一直角坐标系中，画出这些函数的图象（如图）．
　　抛物线 y＝x2－x＋1 与 x 轴没有公共点．由此可知，方程 x2－x＋1＝0 没有实数根．
　　反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴的位置关系．
　　观看动图，思考二次函数图象与 x 轴的公共点与一元二次方程根之间的关系．
　　观看动图，思考二次函数图象与 x 轴的公共点与一元二次方程根之间的关系．
归纳
　　一般地，从二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象可得如下结论．
　　（1）如果抛物线 y＝ax2＋bx十c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当 x＝x0 时，函数值是 0，因此 x＝x0 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根．
归纳
　　一般地，从二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象可得如下结论．
　　（2）二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
　　例　利用函数图象求方程 x2－2x－2＝0 的实数根（结果保留小数点后一位）．
　　解：方法 1：画出函数 y＝x2－2x－2 的图象（如图），它与 x 轴的
公共点的横坐标大约是－0.7，2.7．
　　所以方程 x2－2x－2＝0 的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7．
　　方法 2：我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．
　　当自变量 x＝2 时，y＜0，当自变量 x＝3 时，y＞0，即方程 x2－2x－2＝0 在 2，3 之间有根．
　　取 2，3 的平均数 2.5，当自变量 x＝2.5 时，y＜0，即方程 x2－2x－2＝0 在 2.5，3 之间有根．
　　取 2.5，3 的平均数 2.75，当自变量 x＝2.75 时，y＞0，即方程 x2－2x－2＝0 在 2.5，2.75 之间有根．
　　取 2.5，2.75 的平均数 2.625，当自变量 x＝2.625 时，y＜0，即方程 x2－2x－2＝0 在 2.625，2.75 之间有根．
　　重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在 2.687 5，2.75 之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值．
　　当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1 时，由于|2.687 5－2.75|＝0.062 5＜0.1，我们可以将 2.687 5 作为根的近似值．
　　你能用这种方法得出方程 x2－2x－2＝0 的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1）？
　　当自变量 x＝－1 时，y＞0，当自变量 x＝0 时，y＜0，即方程 x2－2x－2＝0 在－1，0 之间有根．
　　取－1，0 的平均数－0.5，当自变量 x＝－0.5 时，y＜0，即方程 x2－2x－2＝0 在－0.5，－1 之间有根．
　　通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围．由于|－0.75－(－0.687 5)|＝0.062 5＜0.1，我们可以将 －0.687 5 作为另一个根的近似值．
　　利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤：
　　（1）画出函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象；
　　（2）确定抛物线与 x 轴的交点的个数，看交点的横坐标在哪两个数之间；
　　（3）列表，根据题目实际情况在两个数之间合理等分，并用计算器算出每个等分点所对应的函数值 y，近似根在对应 y 值正负交换的地方；
　　（4）根据精度要求写出方程根的近似值．
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程之间的转化
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
抛物线与 x 轴的位置关系与一元二次方程根的情况
谢谢