24.2.2 第2课时 切线的判定与性质 课件(共21张PPT) 人教版九年级数学上册

(共21张PPT)
24.2.2 第2课时 切线的判定与性质
2023—2024学年人教版数学九年级上册
问题
　　直线和圆有哪些位置关系？如何判断直线和圆相切？
　　直线和圆的位置关系有相切、相离、相交；
　　根据直线和圆只有一个公共点、d＝r（d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径）判断直线和圆相切．
思考
　　如图，在⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O 有什么位置关系？
　　可以看出，这时圆心 O 到直线 l 的距离就是⊙O 的半径，直线 l 就是 ⊙O 的切线，所以直线 l 和⊙O 相切．
A
O
l
切线的判定定理
　　文字语言：
　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
A
O
l
　　符号语言：
　　∵OA 是⊙O 的半径，直线 l⊥OA 于点 A，
　　∴直线 l 就是⊙O 的切线．
　　试着列举出几个生活中直线和圆相切的实例．
　　快速转动雨伞时飞出的水珠
　在砂轮上打磨工件时飞出的火星
问题
　图中的直线 l 与⊙O 相切吗？
思考
l
O
l
O
（1）
（2）
　　∵图（1）中直线 l 经过半径外端，但不与半径垂直；图（2）中直线 l 与半径垂直，但不经过半径外端，∴都不相切．
归纳
　　一条直线只有同时满足定理中的两个条件“经过半径的外端”“垂直于这条半径”时，才是圆的切线，千万不能只凭一个条件就判定一条直线是圆的切线．
　　已知⊙O和⊙O上的一点 A，如何过点 A作出圆的切线？
问题
　　作法：
　　①连接 OA；
　　②过点 A 作直线 l 与 OA 垂直．
　　则直线 l 就是所求作的切线．
A
O
l
　　观察下面的动图，进一步理解圆的切线的画法．
　　观察下面的动图，进一步理解圆的切线的画法．
　　如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？
思考
　　反证法：假设 OA 与直线 l 不垂直，
　　则过点 O 作 OM⊥l，
　　根据垂线段最短，得 OM＜OA，
　　即圆心 O 到直线 l 的距离小于半径 OA，
　　∴直线 l 与⊙O 相交，这与直线 l 是⊙O 的切线矛盾，
　　∴OA 与直线 l 垂直．
A
O
l
M
切线的性质定理
　　文字语言：
　　圆的切线垂直于过切点的半径．
A
O
l
　　符号语言：
　　∵OA 是⊙O 的半径，直线 l 是过点 A 的⊙O 的切线，
　　∴OA⊥直线 l ．
　　观察下面的动图，进一步理解切线的性质定理．
　　观察下面的动图，进一步理解切线的性质定理．
　　例 1　如图，△ABC 为等腰三角形， O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D．求证：AC 是⊙O 的切线．
　　分析：根据切线的判定定理，要证明 AC 是⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OE 是⊙O 的半径就可以了．而 OD 是⊙O 的半径，因此需要证明 OE＝OD．
O
C
B
A
D
　　证明：如图，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E，连接 OD，OA．
　　∵⊙O 与 AB 相切于点 D，
　　∴OD⊥AB．
　　又△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，
　　∴AO 是∠BAC 的平分线．
　　∴OE＝OD，即 OE 是⊙O 的半径．
　　这样，AC 经过⊙O 的半径 OE 的外端 E，
并且垂直于半径 OE，所以AC 与⊙O 相切．
O
C
B
A
D
E
　　例 2　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，点 O 在AB 上，OB＝2，以 OB 长为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，交 BC于点 F，OE⊥BC，求弦 BF 的长．
A
B
O
C
D
F
E
　　解：连接 OD．
　　∵⊙O 与 AC 相切于点 D，
　　∴OD⊥AC．
　　又∵∠C＝90°，OE⊥BC，
　　∴四边形 CDOE 是矩形．
　　∵OD＝OB＝2，
　　∴CE＝OD＝2．
　　∵BC＝3，
　　∴BE＝1，∴BF＝2．
A
O
C
D
F
E
B
归纳
　　解决切线相关问题常用的辅助线作法
　　当证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点，则作过这一点的半径，证明直线垂直于半径；
　　如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
　　已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．
圆的切线的判定和性质
解决切线相关问题常用的辅助线作法
切线的判定定理
切线的性质定理
谢谢