数学广角——数与形一课一练（含解析）人教版六年级数学上册
文档属性
| 名称 | 数学广角——数与形一课一练（含解析）人教版六年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 776.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-14 14:12:01 | ||
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文档简介
数学广角——数与形 一课一练（含答案）
人教版 六年级数学上册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题（30分）
1．用小棒按下面的方法摆图形，第10个图形用了( )根小棒。
2．〇〇☆☆☆〇〇☆☆☆〇〇☆☆☆……排列，左起第22个是( )，前50个图形中，☆有( )个。
3．探索与发现。
小红在计算：、、、…这样的算式时，她想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积。（如图）
她发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”：
图1剩余图形的面积：
图2剩余图形的面积：
图3剩余图形的面积：
（1）根据小红发现的规律填空。
= ____________×___________
= ____________×___________
（2）想象并填空。
如果用图4的方格图中的涂色部分表示：，这个涂色部分可以转化成长是___________、宽是__________的长方形。则=____________×___________。
4．用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案。按照这样的规律摆下去，第10个图案需要( )枚棋子，用56枚棋子摆的图案是第( )个，摆第n个图案需要( )枚棋子。
5．按数的规律填空：，，，，( )，。
6．若1+3+5+7+9+……+n=2025，则n=（ ）。
二、选择题（28分）
7．用小棒按照如下方式摆图形，摆n个八边形需要（ ）根小棒。
A．8n B．8n－1 C．7n＋1 D．8（n－1）
8．16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（ ）。
A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31
9．如图，按这样的规律接着画下去，第六个图形中有（ ）个■。
A．30 B．36 C．42 D．48
10．如图所示，以A、B、C、D、E依次表示左手的大拇指、食指、中指、无名指、小指，若从大拇指开始数数，按ABCDEDCBABCDEDCBA……的顺序，数到“2021”时，是（ ）指。
A．大拇指 B．食指 C．中指 D．小指
11．仔细观察前两幅图，并根据规律写出第三幅图所表示的数是（ ）。
A．21341 B．200013041 C．200013401 D．200010341
12．某餐厅里，一张桌子可坐6人，如图所示：
按照上面的规律，n张桌子能坐（ ）人。
A．6n+4 B．4n+4 C．4n+2 D.无法计算
13．观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）。●□☆●●□☆●□☆●●□☆●……若第一个图形是圆，则第2015个图形是（ ）。
A．正方形 B．圆 C．五角星 D．无法确定
三、判断题（12分）
14．3个人互相打电话，每2个人都要通，一共要通话6次。( )
15．下面图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。
照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43。( )
16．如图，像这样摆下去，摆n个正方形需要多少根小棒，用式子表示是4n。( )
……
17．根据99×96＝9504，999×996＝995004这个规律，可以得出9999×9996＝99950004。( )
四、解答题（30分）
18．下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？
照这样的规律接着画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？
19．小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分钟。下面哪个图是描述妈妈离家时间和离家距离关系的？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？
20．三千多年前，埃及人发明了一种记录分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过研究，小明发现一些分数可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如：
，；
，；
（1）请根据上述拆分方法将下列分数拆分为“单位分数”的和或差：
＝ ；＝ ；
（2）请运用上述拆分方法计算：。
21．同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。
这两种方法都是求的阴影部分的面积，
因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。
仔细观察这个等式，想一想：是不是
任意两个数都具有这样的特征呢？
（1）请举2个例子验证：
①102－62＝（ ）×（ ） ②
（2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为：
a2－b2＝（ ）×（ ）
（3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（ ）
22．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余4米，井深和绳长各是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．21
【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：3根；摆2个三角形需要小棒（3＋2）根；摆3个三角形需要小棒（3＋2＋2）根；……摆m个三角形需要小棒的根数是3＋2（m－1）。据此解答。
【详解】摆m个三角形需要小棒：
3＋2（m－1）
＝3＋2m－2
＝（2m＋1）根
当m＝10时，
2×10＋1
＝20＋1
＝21（根）
用小棒按下面的方法摆图形，第10个图形用了21根小棒。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
2． 〇 30
【分析】每5个图形一循环，计算第22个，第50个图形是第几组循环零几个图形，即可判断最后一个的形状及五角星的个数。
【详解】22÷5＝4（组）……2（个）
50÷5＝10（组）
10×3＝30（个）
左起第22个是〇，前50个图形中，☆有30个。
【点睛】先找到规律，再根据规律求解。
3． （9＋8） （9－8） （100＋99） （100－99） 9 1 （5＋4） （5－4）
【分析】观察算式转化成的图形，通过拼接，可以将每组中剩余部分的几个小正方形补成一个长方形（如下图），根据长方形的面积＝长×宽，即可得出剩余图形的面积。例如：图1，将上面的涂色小正方形移到下面两个小正方形的右边，则剩余图形就转化成了一个大长方形，每个小正方形的边长看作1，则大长方形的长为（2＋1），宽为（2－1），面积为（2＋1）×（2－1）。根据图形中涂色部分面积的计算，再转化成算式，即可找到此类算式的计算规律：。
【详解】（1）（9＋8）×（9－8）
（100＋99）×（100－99）
（2）5＋4＝9
5－4＝1
如果用图4的方格图中的涂色部分表示：，这个涂色部分可以转化成长是9、宽是1的长方形。则（5＋4）×（5－4）。
4． 32 18 3n＋2/2＋3n
【分析】看图，第一个图案需要3×1＋2＝5（枚）棋子，第二个图案需要3×2＋2＝8（枚）棋子，第三个图案需要3×3＋2＝11（枚）棋子，据此类推第10个图案需要（3×10＋2）枚棋子，第n个图案需要（3n＋2）枚棋子。将56枚棋子减去2，将差除以3，即可求出用56枚棋子摆的图案是第几个。
【详解】3×10＋2
＝30＋2
＝32（枚）
（56－2）÷3
＝54÷3
＝18（个）
所以，第10个图案需要32枚棋子，用56枚棋子摆的图案是第18个，摆第n个图案需要（3n＋2）枚棋子。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察总结能力是解题的关键。
5．
【分析】根据题意，把分数通过通分，化为分母是12的分数，＝，＝，＝；＝，由此可知，从到，这一列数的分母都是12，分子是从1开始的连续的自然数，据此求出要求的数，即可解答。
【详解】根据分析可知，这一列数排列为，，，，，。
按数的规律填空：，，，，，。
6．89
【分析】1＋3＝[（1＋3）÷2]2＝22＝4
1＋3＋5＝[（1＋5）÷2]2＝32＝9
1＋3＋5＋7＝[（1＋7）÷2]2＝42＝16
……
1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝ []2＝2025，由此可知，（1＋n）2＝2025×4，据此求出n的值。
【详解】根据分析可知，[]2＝2025
（1＋n）2＝2025×4
（1＋n）2＝8100
（1＋n）2＝902
1＋n＝90
n＝90－1
n＝89
若1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝2025，则n＝89。
7．C
【分析】根据图示发现：摆1个八边形需要小棒：8根；摆2个八边形需要小棒（8＋7）根；摆3个八边形需要小棒（8＋7＋7）根；……摆n个八边形需要小棒的根数是8＋7（n－1）。据此解答。
【详解】8＋7（n－1）
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
8．C
【分析】观察几个图片，可以发现：任何一个大于1的“正方形数”正好等于每个正方形图中，每列点子个数的平方；“三角形数”等于相邻自然数相加的和，可分别总结出每个“正方形数”、“三角形数”的规律，并按此规律继续推理出几个“正方形数”、“三角形数”，再结合选项判断即可。
【详解】图一中：等号左边是4，就是22，也就是这个正方形每列的点子数的平方；等号右边是1＋3，是两个相邻“三角形数”之和，因此，可把1看作第一个“三角形数”，1＋2＝3，3就是第二个“三角形数”；
图二中：32＝9＝3＋6，9是“正方形数”，3是第二个“三角形数”，1＋2＋3＝6，6是第三个“三角形数”；
图三中：42＝16＝6＋10，16是“正方形数”，6是第三个三角形数，1＋2＋3＋4＝10，10是第四个“三角形数”；
以此类推：
图四中：应该是52＝25＝10＋15，25是“正方形数”，这里10是第四个“三角形数”，15是第五个“三角形数”；
图五中：应该是62＝36＝15＋21；
图六中：应该是72＝49＝21＋28；
……
A．13＝3＋10：13不是一个数的平方，也就不是“正方形数”，不合题意；
B．25＝9＋16：9、16都不是“三角形数”，不合题意；
C．36＝15＋21：36是6的平方，15和21是相邻的“三角形数”，符合题意；
D．49＝18＋31：18、31都不是“三角形数”，不合题意。
故答案为：C
【点睛】本题较为复杂，需要运用数形结合的思想，通过观察总结“三角形数”、“正方形数”的规律，并加以应用。
9．D
【分析】看图可知，第一个图形有8个黑色正方形，第二个图形有16个黑色正方形，第三个图形有24个黑色正方形。以此列推，可以得出规律：第一个图形有8×1个黑色正方形，第二个图形有8×2个黑色正方形，第三个图形有8×3个黑色正方形，所以第n个图形有8×n个黑色正方形。
【详解】根据规律可知，第六个图形中的黑色正方形有：8×6＝48（个）
故答案为：D
【点睛】此题考查了学生的逻辑思维能力，关键是找到规律。
10．D
【分析】每8个数字一循环，计算第2021个数字是第几组循环；零几个，即可判断是哪根手指。
【详解】2021÷8＝252（组）……5（个）
数到“2021”时，是小指。
故答案为：D
【点睛】先找到规律，再根据规律求解。
11．C
【分析】根据前两幅图可知，有几只表示几个亿，有几个表示几个万；有几个有几个百，有几只表示几个千，有几个表示几个1，据此解答。
【详解】根据分析可知，第三幅图有2个亿、1个万、3个千、4个百和1个1，所以第三幅图所表示的数是200013401。
仔细观察前两幅图，并根据规律写出第三幅图所表示的数是200013401。
故答案为：C
【点睛】观察各个图中每种动物的数量与写作的大数中每个数位上的数，是解答本题的关键。
12．C
【分析】由图可得：①可以坐6人，即6＝4×1＋2，②可以坐10人，即10＝4×2＋2，③可以坐14人，即14＝4×3＋2，推出④可以坐18人，即18＝4×4＋2，⑤可以坐22人，即22＝4×5＋2， ；可得出规律：可以坐的人数＝桌子张数×4＋2，据此可得出答案。
【详解】由图可得：①可以坐6人，即6＝4×1＋2，②可以坐10人，即10＝4×2＋2，③可以坐14人，即14＝4×3＋2，按照规律，n张桌子能坐的人数为：。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查的是数字排列的规律，解题的关键是找到数字排列的关系，进而得出答案。
13．A
【分析】观察图形可知，圆、正方形、五星、圆、圆、正方形、五星，7个一组为一循环周期，即个数能被7整除的图形为五角星；不能整数余数为1、2、3、4、5、6的图形分别为圆、正方形、五角星、圆、圆、正方形；由此可知，余数是几，就是第几个图形，据此解答。
【详解】2015÷7＝287……6
2015个图形是正方形。
观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）。●□☆●●□☆●□☆●●□☆●……若第一个图形是圆，则第2015个图形是正方形。
故答案为：A
14．×
【分析】由于每个同学都要和另外的2个通一次电话，一共要通：3×2＝6（次）；又因为两个同学只通一次电话，去掉重复计算的情况，实际只通：6÷2＝3（次），据此解答。
【详解】（3－1）×3÷2
＝6÷2
＝3（次）
则一共要通话3次。故原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人数比较多可以用公式：通话次数＝人数（人数－1）÷2解答。
15．√
【分析】根据题意，黑色正方形的数量＝图形序号数，第n个图形就有n个黑色正方形；白色正方形数量与序号数n（黑色数量）的数量关系是：白色数量＝5n＋3，据此解答。
【详解】当n＝8是，5×8＋3＝43；
照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43，故说法正确。
【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够根据已知图形数量找出数量关系。
16．×
【分析】由图可知，一个正方形需要4根小棒，两个小正方形需要（4＋3）根小棒，三个小正方形需要（4＋3＋3）根小棒，由此可以推断，除了第一个正方形需要4根小棒，之后每增加一个正方形只需要3根小棒，那么摆n个正方形只需要4＋3（n－1）根小棒，化简即可验证。
【详解】4＋3（n－1）
=4＋3n－3
=3n＋1（根）
摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。
故答案为：×
【点睛】此题考查学生的归纳总结能力以及含有字母的式子的化简，找到题干中的排列规律是解题的关键。
17．√
【详解】略
18．40个
【分析】观察题意可知，图①的最外圈正方形个数＝8×1，图②的最外圈正方形个数＝8×2，图③的最外圈正方形个数＝8×3，……，据此推出图n的最外圈正方形个数＝8n，据此可得第5个图形最外圈有多少个小正方形。
【详解】图①的最外圈正方形个数：8＝8×1
图②的最外圈正方形个数：16＝8×2
图③的最外圈正方形个数：24＝8×3
……
图n的最外圈正方形个数：8n
当n＝5时，
8n
＝8×5
＝40（个）
答：第5个图形最外圈有40个小正方形。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
19．见详解
【分析】折线统计图中，横轴表示离家时间，纵轴表示离家距离，折线越陡表示走路速度越快，需要时间越短；折线越缓表示走路速度越慢，需要时间越长；折线与横轴平行时表示小兰或爸爸在健身房锻炼，据此解答。
【详解】表示小兰步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后在健身中心锻炼了10分钟，最后跑步回到家中，用了5分钟；
表示妈妈步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后直接返回家里，用了20分钟；
表示爸爸步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后在健身中心锻炼了10分钟，最后走回家中，用了15分钟。
【点睛】本题主要考查折线统计图，运用数形结合的思想明确折线统计图中每段折线表示的意义是解答题目的关键。
20．（1）；
（2）
【分析】（1）观察算式可知，若该分数的分子不是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数和的形式，进而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；若该分数的分子是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数差的形式，而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；
（2） 根据（1）中发现的规律，把算式中的每个分数进行拆分，去括号后，再运用加法结合律进行计算即可。
【详解】（1）＝；＝；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【点睛】本题主要考查算式的规律，数字的变化类，解答的关键是理解清楚所给的规律并灵活运用。
21．（1）①（10－6）×（10＋6）
②0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）
（2）（a－b）×（a＋b）
（3）
【分析】已知在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，求剩余部分的面积（阴影部分的面积）；
方法1：阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，则阴影部分的面积列式为52－32；
方法2：把阴影部分转化成一个长（5＋3）厘米，宽（5－3）厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，则阴影部分的面积列式为（5－3）×（5＋3）；
由此得出52－32＝（5－3）×（5＋3）；
发现规律：两个数的平方差等于这两个数的差与这两个数的和的乘积，据此规律解答。
【详解】（1）①102－62＝100－36＝64
（10－6）×（10＋6）＝4×16＝64
所以，102－62＝（10－6）×（10＋6）
②0.82－0.52＝0.64－0.25＝0.39
（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39
所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）
（答案不唯一）
（2）a2－b2＝（a－b）×（a＋b）
（3）[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]
＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）
＝×××××
＝
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
22．144米；32米
【分析】把绳子三折来量，井外余16米，也就是绳长比井深的3倍还多16×3＝48米；把绳子四折来量，井外余4米，也就是绳长比井深的4倍还多4×4＝16米。根据盈亏问题公式可知，井深为（48－16）÷（4－3）＝32米，则绳长为（32＋16）×3＝144米。
【详解】井深为：
（48－16）÷（4－3）
＝32÷1
＝32（米）
绳长为：
（32＋16）×3
＝48×3
＝144（米）
答：绳长为144米，井深为32米。
【点睛】本题为两次都有余的盈亏问题，公式为：（大盈－小盈）÷（两次分配的差）＝分配数量。
答案第1页，共2页
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人教版 六年级数学上册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题（30分）
1．用小棒按下面的方法摆图形，第10个图形用了( )根小棒。
2．〇〇☆☆☆〇〇☆☆☆〇〇☆☆☆……排列，左起第22个是( )，前50个图形中，☆有( )个。
3．探索与发现。
小红在计算：、、、…这样的算式时，她想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积。（如图）
她发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”：
图1剩余图形的面积：
图2剩余图形的面积：
图3剩余图形的面积：
（1）根据小红发现的规律填空。
= ____________×___________
= ____________×___________
（2）想象并填空。
如果用图4的方格图中的涂色部分表示：，这个涂色部分可以转化成长是___________、宽是__________的长方形。则=____________×___________。
4．用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案。按照这样的规律摆下去，第10个图案需要( )枚棋子，用56枚棋子摆的图案是第( )个，摆第n个图案需要( )枚棋子。
5．按数的规律填空：，，，，( )，。
6．若1+3+5+7+9+……+n=2025，则n=（ ）。
二、选择题（28分）
7．用小棒按照如下方式摆图形，摆n个八边形需要（ ）根小棒。
A．8n B．8n－1 C．7n＋1 D．8（n－1）
8．16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（ ）。
A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31
9．如图，按这样的规律接着画下去，第六个图形中有（ ）个■。
A．30 B．36 C．42 D．48
10．如图所示，以A、B、C、D、E依次表示左手的大拇指、食指、中指、无名指、小指，若从大拇指开始数数，按ABCDEDCBABCDEDCBA……的顺序，数到“2021”时，是（ ）指。
A．大拇指 B．食指 C．中指 D．小指
11．仔细观察前两幅图，并根据规律写出第三幅图所表示的数是（ ）。
A．21341 B．200013041 C．200013401 D．200010341
12．某餐厅里，一张桌子可坐6人，如图所示：
按照上面的规律，n张桌子能坐（ ）人。
A．6n+4 B．4n+4 C．4n+2 D.无法计算
13．观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）。●□☆●●□☆●□☆●●□☆●……若第一个图形是圆，则第2015个图形是（ ）。
A．正方形 B．圆 C．五角星 D．无法确定
三、判断题（12分）
14．3个人互相打电话，每2个人都要通，一共要通话6次。( )
15．下面图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。
照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43。( )
16．如图，像这样摆下去，摆n个正方形需要多少根小棒，用式子表示是4n。( )
……
17．根据99×96＝9504，999×996＝995004这个规律，可以得出9999×9996＝99950004。( )
四、解答题（30分）
18．下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？
照这样的规律接着画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？
19．小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分钟。下面哪个图是描述妈妈离家时间和离家距离关系的？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？
20．三千多年前，埃及人发明了一种记录分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过研究，小明发现一些分数可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如：
，；
，；
（1）请根据上述拆分方法将下列分数拆分为“单位分数”的和或差：
＝ ；＝ ；
（2）请运用上述拆分方法计算：。
21．同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。
这两种方法都是求的阴影部分的面积，
因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。
仔细观察这个等式，想一想：是不是
任意两个数都具有这样的特征呢？
（1）请举2个例子验证：
①102－62＝（ ）×（ ） ②
（2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为：
a2－b2＝（ ）×（ ）
（3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（ ）
22．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余4米，井深和绳长各是多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．21
【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：3根；摆2个三角形需要小棒（3＋2）根；摆3个三角形需要小棒（3＋2＋2）根；……摆m个三角形需要小棒的根数是3＋2（m－1）。据此解答。
【详解】摆m个三角形需要小棒：
3＋2（m－1）
＝3＋2m－2
＝（2m＋1）根
当m＝10时，
2×10＋1
＝20＋1
＝21（根）
用小棒按下面的方法摆图形，第10个图形用了21根小棒。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
2． 〇 30
【分析】每5个图形一循环，计算第22个，第50个图形是第几组循环零几个图形，即可判断最后一个的形状及五角星的个数。
【详解】22÷5＝4（组）……2（个）
50÷5＝10（组）
10×3＝30（个）
左起第22个是〇，前50个图形中，☆有30个。
【点睛】先找到规律，再根据规律求解。
3． （9＋8） （9－8） （100＋99） （100－99） 9 1 （5＋4） （5－4）
【分析】观察算式转化成的图形，通过拼接，可以将每组中剩余部分的几个小正方形补成一个长方形（如下图），根据长方形的面积＝长×宽，即可得出剩余图形的面积。例如：图1，将上面的涂色小正方形移到下面两个小正方形的右边，则剩余图形就转化成了一个大长方形，每个小正方形的边长看作1，则大长方形的长为（2＋1），宽为（2－1），面积为（2＋1）×（2－1）。根据图形中涂色部分面积的计算，再转化成算式，即可找到此类算式的计算规律：。
【详解】（1）（9＋8）×（9－8）
（100＋99）×（100－99）
（2）5＋4＝9
5－4＝1
如果用图4的方格图中的涂色部分表示：，这个涂色部分可以转化成长是9、宽是1的长方形。则（5＋4）×（5－4）。
4． 32 18 3n＋2/2＋3n
【分析】看图，第一个图案需要3×1＋2＝5（枚）棋子，第二个图案需要3×2＋2＝8（枚）棋子，第三个图案需要3×3＋2＝11（枚）棋子，据此类推第10个图案需要（3×10＋2）枚棋子，第n个图案需要（3n＋2）枚棋子。将56枚棋子减去2，将差除以3，即可求出用56枚棋子摆的图案是第几个。
【详解】3×10＋2
＝30＋2
＝32（枚）
（56－2）÷3
＝54÷3
＝18（个）
所以，第10个图案需要32枚棋子，用56枚棋子摆的图案是第18个，摆第n个图案需要（3n＋2）枚棋子。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察总结能力是解题的关键。
5．
【分析】根据题意，把分数通过通分，化为分母是12的分数，＝，＝，＝；＝，由此可知，从到，这一列数的分母都是12，分子是从1开始的连续的自然数，据此求出要求的数，即可解答。
【详解】根据分析可知，这一列数排列为，，，，，。
按数的规律填空：，，，，，。
6．89
【分析】1＋3＝[（1＋3）÷2]2＝22＝4
1＋3＋5＝[（1＋5）÷2]2＝32＝9
1＋3＋5＋7＝[（1＋7）÷2]2＝42＝16
……
1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝ []2＝2025，由此可知，（1＋n）2＝2025×4，据此求出n的值。
【详解】根据分析可知，[]2＝2025
（1＋n）2＝2025×4
（1＋n）2＝8100
（1＋n）2＝902
1＋n＝90
n＝90－1
n＝89
若1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝2025，则n＝89。
7．C
【分析】根据图示发现：摆1个八边形需要小棒：8根；摆2个八边形需要小棒（8＋7）根；摆3个八边形需要小棒（8＋7＋7）根；……摆n个八边形需要小棒的根数是8＋7（n－1）。据此解答。
【详解】8＋7（n－1）
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
8．C
【分析】观察几个图片，可以发现：任何一个大于1的“正方形数”正好等于每个正方形图中，每列点子个数的平方；“三角形数”等于相邻自然数相加的和，可分别总结出每个“正方形数”、“三角形数”的规律，并按此规律继续推理出几个“正方形数”、“三角形数”，再结合选项判断即可。
【详解】图一中：等号左边是4，就是22，也就是这个正方形每列的点子数的平方；等号右边是1＋3，是两个相邻“三角形数”之和，因此，可把1看作第一个“三角形数”，1＋2＝3，3就是第二个“三角形数”；
图二中：32＝9＝3＋6，9是“正方形数”，3是第二个“三角形数”，1＋2＋3＝6，6是第三个“三角形数”；
图三中：42＝16＝6＋10，16是“正方形数”，6是第三个三角形数，1＋2＋3＋4＝10，10是第四个“三角形数”；
以此类推：
图四中：应该是52＝25＝10＋15，25是“正方形数”，这里10是第四个“三角形数”，15是第五个“三角形数”；
图五中：应该是62＝36＝15＋21；
图六中：应该是72＝49＝21＋28；
……
A．13＝3＋10：13不是一个数的平方，也就不是“正方形数”，不合题意；
B．25＝9＋16：9、16都不是“三角形数”，不合题意；
C．36＝15＋21：36是6的平方，15和21是相邻的“三角形数”，符合题意；
D．49＝18＋31：18、31都不是“三角形数”，不合题意。
故答案为：C
【点睛】本题较为复杂，需要运用数形结合的思想，通过观察总结“三角形数”、“正方形数”的规律，并加以应用。
9．D
【分析】看图可知，第一个图形有8个黑色正方形，第二个图形有16个黑色正方形，第三个图形有24个黑色正方形。以此列推，可以得出规律：第一个图形有8×1个黑色正方形，第二个图形有8×2个黑色正方形，第三个图形有8×3个黑色正方形，所以第n个图形有8×n个黑色正方形。
【详解】根据规律可知，第六个图形中的黑色正方形有：8×6＝48（个）
故答案为：D
【点睛】此题考查了学生的逻辑思维能力，关键是找到规律。
10．D
【分析】每8个数字一循环，计算第2021个数字是第几组循环；零几个，即可判断是哪根手指。
【详解】2021÷8＝252（组）……5（个）
数到“2021”时，是小指。
故答案为：D
【点睛】先找到规律，再根据规律求解。
11．C
【分析】根据前两幅图可知，有几只表示几个亿，有几个表示几个万；有几个有几个百，有几只表示几个千，有几个表示几个1，据此解答。
【详解】根据分析可知，第三幅图有2个亿、1个万、3个千、4个百和1个1，所以第三幅图所表示的数是200013401。
仔细观察前两幅图，并根据规律写出第三幅图所表示的数是200013401。
故答案为：C
【点睛】观察各个图中每种动物的数量与写作的大数中每个数位上的数，是解答本题的关键。
12．C
【分析】由图可得：①可以坐6人，即6＝4×1＋2，②可以坐10人，即10＝4×2＋2，③可以坐14人，即14＝4×3＋2，推出④可以坐18人，即18＝4×4＋2，⑤可以坐22人，即22＝4×5＋2， ；可得出规律：可以坐的人数＝桌子张数×4＋2，据此可得出答案。
【详解】由图可得：①可以坐6人，即6＝4×1＋2，②可以坐10人，即10＝4×2＋2，③可以坐14人，即14＝4×3＋2，按照规律，n张桌子能坐的人数为：。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查的是数字排列的规律，解题的关键是找到数字排列的关系，进而得出答案。
13．A
【分析】观察图形可知，圆、正方形、五星、圆、圆、正方形、五星，7个一组为一循环周期，即个数能被7整除的图形为五角星；不能整数余数为1、2、3、4、5、6的图形分别为圆、正方形、五角星、圆、圆、正方形；由此可知，余数是几，就是第几个图形，据此解答。
【详解】2015÷7＝287……6
2015个图形是正方形。
观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）。●□☆●●□☆●□☆●●□☆●……若第一个图形是圆，则第2015个图形是正方形。
故答案为：A
14．×
【分析】由于每个同学都要和另外的2个通一次电话，一共要通：3×2＝6（次）；又因为两个同学只通一次电话，去掉重复计算的情况，实际只通：6÷2＝3（次），据此解答。
【详解】（3－1）×3÷2
＝6÷2
＝3（次）
则一共要通话3次。故原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人数比较多可以用公式：通话次数＝人数（人数－1）÷2解答。
15．√
【分析】根据题意，黑色正方形的数量＝图形序号数，第n个图形就有n个黑色正方形；白色正方形数量与序号数n（黑色数量）的数量关系是：白色数量＝5n＋3，据此解答。
【详解】当n＝8是，5×8＋3＝43；
照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43，故说法正确。
【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够根据已知图形数量找出数量关系。
16．×
【分析】由图可知，一个正方形需要4根小棒，两个小正方形需要（4＋3）根小棒，三个小正方形需要（4＋3＋3）根小棒，由此可以推断，除了第一个正方形需要4根小棒，之后每增加一个正方形只需要3根小棒，那么摆n个正方形只需要4＋3（n－1）根小棒，化简即可验证。
【详解】4＋3（n－1）
=4＋3n－3
=3n＋1（根）
摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。
故答案为：×
【点睛】此题考查学生的归纳总结能力以及含有字母的式子的化简，找到题干中的排列规律是解题的关键。
17．√
【详解】略
18．40个
【分析】观察题意可知，图①的最外圈正方形个数＝8×1，图②的最外圈正方形个数＝8×2，图③的最外圈正方形个数＝8×3，……，据此推出图n的最外圈正方形个数＝8n，据此可得第5个图形最外圈有多少个小正方形。
【详解】图①的最外圈正方形个数：8＝8×1
图②的最外圈正方形个数：16＝8×2
图③的最外圈正方形个数：24＝8×3
……
图n的最外圈正方形个数：8n
当n＝5时，
8n
＝8×5
＝40（个）
答：第5个图形最外圈有40个小正方形。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
19．见详解
【分析】折线统计图中，横轴表示离家时间，纵轴表示离家距离，折线越陡表示走路速度越快，需要时间越短；折线越缓表示走路速度越慢，需要时间越长；折线与横轴平行时表示小兰或爸爸在健身房锻炼，据此解答。
【详解】表示小兰步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后在健身中心锻炼了10分钟，最后跑步回到家中，用了5分钟；
表示妈妈步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后直接返回家里，用了20分钟；
表示爸爸步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后在健身中心锻炼了10分钟，最后走回家中，用了15分钟。
【点睛】本题主要考查折线统计图，运用数形结合的思想明确折线统计图中每段折线表示的意义是解答题目的关键。
20．（1）；
（2）
【分析】（1）观察算式可知，若该分数的分子不是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数和的形式，进而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；若该分数的分子是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数差的形式，而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；
（2） 根据（1）中发现的规律，把算式中的每个分数进行拆分，去括号后，再运用加法结合律进行计算即可。
【详解】（1）＝；＝；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【点睛】本题主要考查算式的规律，数字的变化类，解答的关键是理解清楚所给的规律并灵活运用。
21．（1）①（10－6）×（10＋6）
②0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）
（2）（a－b）×（a＋b）
（3）
【分析】已知在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，求剩余部分的面积（阴影部分的面积）；
方法1：阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，则阴影部分的面积列式为52－32；
方法2：把阴影部分转化成一个长（5＋3）厘米，宽（5－3）厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，则阴影部分的面积列式为（5－3）×（5＋3）；
由此得出52－32＝（5－3）×（5＋3）；
发现规律：两个数的平方差等于这两个数的差与这两个数的和的乘积，据此规律解答。
【详解】（1）①102－62＝100－36＝64
（10－6）×（10＋6）＝4×16＝64
所以，102－62＝（10－6）×（10＋6）
②0.82－0.52＝0.64－0.25＝0.39
（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39
所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）
（答案不唯一）
（2）a2－b2＝（a－b）×（a＋b）
（3）[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]
＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）
＝×××××
＝
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
22．144米；32米
【分析】把绳子三折来量，井外余16米，也就是绳长比井深的3倍还多16×3＝48米；把绳子四折来量，井外余4米，也就是绳长比井深的4倍还多4×4＝16米。根据盈亏问题公式可知，井深为（48－16）÷（4－3）＝32米，则绳长为（32＋16）×3＝144米。
【详解】井深为：
（48－16）÷（4－3）
＝32÷1
＝32（米）
绳长为：
（32＋16）×3
＝48×3
＝144（米）
答：绳长为144米，井深为32米。
【点睛】本题为两次都有余的盈亏问题，公式为：（大盈－小盈）÷（两次分配的差）＝分配数量。
答案第1页，共2页
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