成都金苹果锦城一中2023～2024学年（上）高2022级
期中考试试题（数学）答案
一、单项选题题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C D B B A C
8．【详解】由题可得抛物线方程为，所以，
如图所示，则，解得，
联立方程，消去y得：．
可知，解得，
所以．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9 10 11 12
BD ACD CD ABD
12．【详解】对选项A：设，则，即，
整理得到，即，正确；
对选项B：当点在曲线，即，则也在曲线，
正确；
对选项C：设，，则，
故，面积的最大值为，错误；
对选项D：，解得，
，故，正确；
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 14． 15． 16．8
16．【详解】解：不妨设直线的斜率，过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，
过作于，由，得，，
， ，
由，又，
所以，.
四、解答题：共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）【答案】(1) (2)
18．（本小题满分12分）【答案】(1)， (2)平均数为76.5; (3)．
【详解】（1）由频率分布直方图得：，得，
又，解得，；
（2）由题意，得到平均数为；
（3）因为，两段频率比为，
∴按照分层抽样的方式从，中随机抽取5人，
分数在中抽取2人，记为，，
分数在中抽取3人，记为，，，
所以从这5人中随机抽取2人的所有情况为：，，，，，
，，，，，共10种，
其中至少有1人的分数在包含的基本事件有：，，，，
，，，共7种，
故至少有1人的分数在的概率．
19．【答案】(1) (2).
【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，则，
即，解得，
又，所以，解得.
所以直线的方程为或
20．（本小题满分12分）【答案】(1)证明见解析； (2).
【详解】（1）由为的中点，则，，
又，，易知：四边形为正方形，即，
由，则，又面面，面，面面
所以面，面，则，
又，面，则平面；
（2）由（1）易知：两两垂直，可建如下空间直角坐标系，所以，设且，
则，故，又与所成的角为，所以，则，即，
，若为面的一个法向量，
则，令，故，
又是面的一个法向量，则，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
21．（本小题满分12分）【答案】(1) (2)13；．
【详解】（1）根据题意可得，
又，解方程组得，，
故所求抛物线C方程，
（2） 设点，，抛物线的焦点坐标为．
当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；
当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为：；
联立抛物线方程可得，消去x得：，
，得，
由韦达定理得，，
易知，
故
．
所以当时，取得最小值为13．
此时直线l的方程为．
22．（本小题满分12分）【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意得：焦距为，得，
点坐标代入椭圆方程得：，
，解得：，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，，，
则①，②，
又，所以可设，直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
由，及①，代入可得，
又，所以，所以，
同理可得.故，，
因为 三点共线，所以.
将点，的坐标代入，通分化简得，即.成都金苹果锦城一中2023～2024学年（上）高2022级
期中考试试题（数学）
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，题卷由学生自行保管，答卷由监考老师收回.
第I卷（选择题)
一、单项选题题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知等比数列的公比不为，且成等差数列，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
3．已知直线：，：，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点若，，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．4
8．已知抛物线：的准线为直线，直线与交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．我国居民收入与经济同步增长，2017年—2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示．根据下面图表，下列说法一定正确的是（ ）
A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民
B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大
C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的小
D．2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升
10．若直线，圆，则下列命题正确的（ ）
A．，点在圆外
B．，使得直线与圆相切
C．当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为
D．若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为
11．己知正方体的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF=1，点Q是棱的中点，点P是棱上的动点，则下面结论中正确的是（ ）
A．PQ与EF一定不垂直
B．平面PEF与平面EFQ夹角的正弦值是
C．三角形PEF的面积是
D．点P到平面QEF的距离是定值
12．平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于原点对称
C．面积的最大值为2 D．的取值范围为
第II卷（非选择题)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．过两点的直线的倾斜角为，则 ．
14．已知数列的前项和为，则数列的通项公式 ．
15．如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为3cm，4cm，高为7cm，则该灯罩外接球的体积为 ．
第15题图 第16题图
16．已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为 .
四、解答题：共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）已知是等差数列且为数列的前项和，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，成都市在经济快速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，无论是老城区，还是高新区，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如下图所示的频率分布直方图，其中.
(1)求a，b的值；
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求被调查的市民的满意程度的平均数；
(3)若按照分层抽样的方式从，中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在的概率.
19．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若与所成的角为，求平面和平面夹角的余弦值．
21．（本小题满分12分）已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程．
22．（本小题满分12分）已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点 .
(1)求椭圆的方程；
(2)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若 和点共线，求实数的值.
