15.3 分式方程及解法教案 2023—2024学年人教版八年级上册数学上册

《分式方程及其解法》教学设计
教学内容分析
教材内容和地位
本节课选自人教版八年级上册十五章第三节，主要学习分式方程的内涵及分式方程的求解过程。整个初中阶段涉及到的方程主要有两类：整式方程和分式方程，所以它非常重要。本节课是在七年级学过的整式方程、一元一次方程和本学期分式的化简计算的基础上，学习的一种新的方程，它是对方程概念的进一步认识。对解决某些实际问题提供一种途径和方法有着深远的意义。
教学重点
认识分式方程，掌握分式方程的解法并能正确、熟练地解分式方程。
教学难点
探索得到分式方程的解法，理解分式方程一定要检验的原因，理解有的分式方程可能无解。
学生学情分析
学生在学习了一元一次方程，二元一次方程组的基础上，明确了整式方程的求解过程，初二的学生已经有了一定的类比、分析、归纳能力，但是思维的严谨性仍相对薄弱，仍需要老师引导将感性认识转化为理性认识。学生已经学习了分式的意义，那对理解本节难点-分式方程可能无解有很大的帮助。
教学目标
知识与技能
了解分式方程的定义
掌握分式方程的解法及一般步骤
理解分式方程存在无解的原因。
过程与方法
经历将分式方程转化为整式方程的探索过程，体验转化的数学思想方法。
经历解分式方程有时会无解的讨论过程，养成严谨的数学思维习惯。
情感、态度与价值观
经历解分式方程及检验的过程，感受数学思维的严谨性，养成严谨的学习、生活态度。通过运用分式方程解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系，强化数学的价值。通过学生之间的探讨合作学习，提高学生的合作意识。
教学方法分析
启发式设问和学生分组讨论相结合，通过实际问题引入来引导学生探索、归纳分式方程的解法。板书与PPT讲演相结合。
教学过程分析
提出问题，引入新课
回顾本章导读出现的问题，向学生寻求解决方法：
【导读问题】：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？
【设计发问】：导读中的这个问题我们如何解决呢？
【学生回答】：可以先设未知数，然后列出个方程。
【设计发问】：在设未知数的问题中，我们一般情况下遵循求什么设什么的原则，我们把江水的流速设为v，能列出哪个方程呢？同学们自己在练习本上列一下式子，然后给出答案。
引导学生得到方程：
【设计意图】：建立数学学习与实际问题的联系，让学生体会数学的重要性，激发学生学习的积极性。借本章导读问题引入，巧妙引出本节课学习内容。
师生探究，新课讲授
【设计发问】：这个方程和我们之前学习的方程有什么区别呀？
【学生回答】：1、方程里的分母有未知数或2、方程里面有出现分式
【教师活动】：给出分式方程的概念——像这样，分母里含有未知数的方程叫做分式方程。给出整式方程的概念作为对比——分母里不含有未知数方程的叫做整式方程。
【设计发问】：分式方程和整式方程有什么区别呢？
【学生回答】：看分母里面有没有未知数。
【设计意图】：引导学生回顾已有的知识-整式方程，通过与整式方程的比较，引发学生学习的认知冲突，进而给出分式方程的概念。
【教师活动】：给出练习题，让学生巩固学习
【学生活动】：完成教师给出的练习题，并回答。
【设计意图】：通过练习，强化学生对分式方程概念的掌握。为下面学习其解法打好基础。
【设计发问】：
1、继续回归我们的导读问题，我们为解决问题，列出了一个分式方程，这个分式方程如何求解呢？
以前学过的整式方程求解过程是什么？里面如果出现分数我们怎么办？
【学生回答】：
1、去分母-去括号-移项-合并同类项-系数化为1。
2、方程两边同时乘以最简公分母。
【设计发问】：那同学们分组讨论一下，我们求解分式方程可不可以先去掉分母呢？如何去呢？
（学生分组讨论，教师引导帮助，可以启发提问）
（讨论结束后学生给出回答）
【学生1】：可以等式两边同乘以分母。
【设计发问】：很好，这个方案很棒，可以解决我们的问题，去掉了分母，那如果等式两边的分母存在一样的分式，那我们乘两遍同样的分式是不是太麻烦了呢？
【学生2】：可以先求出最简公分母，然后分式方程左右两边同乘最简公分母。
【设计意图】设置连续的提问，逐步引导学生自己发现解分式方程的第一步。对学生回答的鼓励可以增强学生的自信心，更专注地进行听课。
【教师总结】：太棒了，这个答案非常正确，这是我们求解分式方程必经的第一步，那同学们，用这个方法算一下我们的分式方程，看得到了什么？
【学生回答】：90(30-v)=60(30+v)
【设计发问】：那现在这个方程，你们会求了吗？答案是多少呀？
【学生回答】：会了老师，这个是整式方程，通过去括号，移项，合并同类项，我求解得到了v=6.
【设计发问】：答案正确，那我们一起来看一下这个答案是不是我们分式方程的解吧！
检验将v=6代入原方程可得：左边==右边
因此，v=6是原方程的解，由上可知，江水的流速为6km/h.
【设计发问】：同学们用我们的方法再求解一下下面这个方程：
，然后告诉我答案。
【学生回答】：x=5
【设计发问】：是的，老师算的也是5，那我们再检验一下答案是否正确吧，
检验：将x=5带入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，分式无意义。
X=5不是方程的解，所以我们说这个方程它是无解的。
上面两个分式方程我们求解的步骤都是一样的，那为什么一个求出的解符合条件，另一个却没有意义呢？
大家对比一下两个求解过程，看有什么发现：
【学生回答】：第二个分式方程，在x=5时，(x-5)(x+5)=0了，也就是说方程两边同时乘了0，这一步是没有意义的，而第一个分式方程，v=6时，(30+v)(30-v)≠0，那去分母那一步是有意义的。
【教师总结】：非常正确，分式两边同乘了不为0的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同。反之没有意义。
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
【设计意图】；给出一个能引发学生认知冲突的例题-整式方程的解不是原分式方程的解，让学生进一步思考，进而学习分式方程没有解的情况，即增根的存在。
（三）巩固练习，拓展提高
【设计发问】：那大家做一下以下两个问题来运用一下我们刚刚学会的解方程步骤。（教师抽取两个学生到黑板写过程）
学生计算给出答案，教师检查纠正，展示正确答案：
【设计意图】：给出两个不同情况的例题，进一步巩固学生的学习。
（四）课堂小结
【设计发问】：同学们，我们一起来回顾一下，这节课学到了什么呢？
学生集体回答：分式方程，还有解分式方程
教师总结：是的，看来大家都记住了，那解分式方程步骤我们再总结归纳一下吧（引导学生回答出求解步骤，向学生展示求解流程图。）
【设计意图】通过对本节课内容的回顾，使学生的碎片化知识成为一个整体，再次对本节课内容巩固加强。
（五）拓展提升
宾夕法尼亚大学的数学教授费舍和施瓦特他们在1898年的《代数课本》中给出了分式方程的如下解法:移项将分式方程一边化为零,另一边通分后化为最简分式,得到原方程的同解方程=0.此时,分式方程同解于多项式方程P(x)=0,且此方法不需要对结果进行检验。
例4
让学生对例4求解，得到如下结果：
提示学生移项后求解，引导学生得到如下结果：
【设计发问】学生解答后，教师提出对比前面解题过程，提问：增根哪去了？
分析费舍、施瓦特方法不产生增根的原因，并小结该解法的一般步骤，费舍、施瓦特的方法不产生增根的原因:
移项通分后,将分子、分母进行约分,约到最简的形式--分子、分母没有公因式,也就是说不能让分子分母同时为零约去的因式即是原来方法中产生增根的因式.此时,将解分式方程的问题转化为分子等于0的问题
该方法的一般解题步骤:移项→通分→约分化简→解方程“分子=0”。
【设计意图】:在查找与分式方程有关的历史材料时,可以看到分式方程从发现到解决的过程中数学家们遇到了许多困难.直到 1898 年,费舍和施瓦特在《代数课本》中分式方程解法,才有效地避免了增根和失根问题,这是一种更一般的方法.课堂上不刻意突出相关历史,采用顺应式将相关史料融入,既可以为学生求解分式方程提供一种新的方法,开拓学生视野,让学生体会解题方法的多样性,也可以使学生在新旧方法的对比中更加深刻地认识增根这一概念。
（六）作业布置
习题15.3
第1题（1）（3）（5）（7）
第2、3题