第四章图形的相似单元达标测试卷（含解析） 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元达标测试卷
一、单选题
1．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，且∠AED＝∠B，AD＝3，AC＝6，DB＝5，则AE的长度为（　　）
A． B． C． D．4
2．在物理课中同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一支点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间数一块钻有小孔章的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像（如图1），这种现象就是小孔成像，在图2中，如果蜡烛火焰图1根B到孔О的距离为，火焰根的像到孔O的距离为10cm，蜡烛火焰的高度为，那么倒立的像的高度为（　　）
A． B． C． D．
3．若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
4．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．若△ABC∽△A`B`C`，则相似比k等于（　　）
A．A′B′：AB B．∠A： ∠A′
C．S△ABC：S△A′B′C′ D．△ABC周长：△A′B′C′周长
6．如图，直线 ，直线 分别和直线 交于点 ，和直线 交于点 ，若 ，则线段 的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（　　）
A．16 B．8 C．8 D．16
8．一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70°．现给出以下四种结论：①∠A=45°；②AC=AB；③AE=BE；④CE AB=2BD2．其中正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
10．如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（　　）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．相似三角形对应高线之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于　 　.
12．如图， 中，AB=AC=8， ，点D在边BC上，将 沿直线AD翻折得到 ，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD=2，那么EF=　 　．
13．已知 三边的比为 ，与它相似的 最小边的长等于12，那么 最大边的长等于　 　．
14．如图所示，正方形ABCD中，AB=8，BE=DF=1，M是射线AD上的动点，点A关于直线EM的对称点为A′，当△A′FC为以FC为直角边的直角三角形时，对应的MA的长为　 　.
三、作图题
15．如图，在正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上．
（1）以点为位似中心，将放大2倍后得到，画出；
（2）找出的中点C，将绕点C旋转得到，画出．
四、解答题
16．如图是一个由12个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．
17．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD．东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD．EG＝15里，HG经过点A，则FH等于多少里？
18．如图，在矩形ABCD中，已知AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动，如果E、F同时出发，用t（0≤t≤6）秒表示运动的时间，当t为何值时，以点E、C、F为顶点的三角形与△ACD相似？
19．如图，在和中，已知， ．
（1）求证：．
（2）若S，求的长．
五、综合题
20．如图，在 中，点 、 分别在边 ， 上， ，线段 分别交线段 ， 于点 ， ，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，AC=2，BC=3．点D为AC的中点，联结BD，过点C作CG⊥BD，交AC的垂线AG于点G，GC分别交BA、BD于点F、E．
（1）求GA的长；
（2）求△AFC的面积．
22．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点E、F分别在AC，AB上，连接EF.
（1）将△ABC沿EF折叠，使点A落在AB边上的点D处，如图1，若S四边形ECBD=2S△EDF，求AE的长；
（2）将△ABC沿EF折叠，使点A落在BC边上的点M处，如图2，若MF⊥CB.
①求AE的长；②求四边形AEMF的面积；
（3）若点E在射线AC上，点F在边AB上，点A关于EF所在直线的对称点为点P，问：是否存在以PF、CB为对边的平行四边形，若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴AE＝4，
故答案为：D．
【分析】通过证明△ADE∽△ACB，可得 ，即可求解．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵AB∥A’B’，
∴△ABO∽△A’B’O，
∴，
由题意知：，代入上式中，
解得：．
故答案为：C．
【分析】先证明△ABO∽△A’B’O，可得，再将数据代入求出即可。
3．【答案】D
【解析】【分析】先根据题意得出相似三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【解答】∵△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，
∴=（)2=．
故选D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A．由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故A符合题意；
B．由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故B不符合题意；
C．由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；
D．由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用比例中项的定义化简，逐项判断求解即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解．∵△ABC∽△A′B′C′，∴相似比k=AB：A′B′=△ABC周长：△A′B′C′周长， = .
故答案为：D．
【分析】由题意根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解。
6．【答案】C
【解析】【解答】因为
所以
即
所以 =4
故答案为：C
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ，然后根据 ，可代入求解
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，
∵四边形EDFG为矩形，
∴∠EDF＝∠F＝90°，
∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∴△ADF∽△CDE，
∴ ，即 ，
∴DF＝ ，
∴矩形EDFG的面积为：DE DF＝DE ＝16.
故答案为：D.
【分析】先利用等角的余角证明∠ADF＝∠EDC，再根据相似三角形的判定方法证明△ADF∽△CDE，然后利用相似比计算DF与DE的关系式，最后根据矩形的面积公式求得矩形的面积便可..
8．【答案】D
【解析】【解答】解：设矩形的长是a，宽是b，
则DE=CF=a﹣b，
∵矩形ABCD∽矩形CDEF，∴
整理得：a2﹣ab﹣b2=0，
两边同除以b2，得（）2﹣﹣1=0，
解得=或（舍去）．
故选D．
【分析】利用相似多边形的相似比相等列出方程求解．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵CD=BD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AC=AB，故②正确；
∵AC=AB，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=40°，故①错误；
连接BE，DE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ABE=50°，
∴∠BAC≠∠ABE，
∴AE≠BE，故③错误；
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠CDE=∠CAB，
∴△CDE∽△CAB，
∴ = ，即 ，
∴CE AB=2BD2，故④正确．
故选C．
【分析】连接AD，根据圆周角定理可知∠ADB=90°，再由CD=CB可知AD是BC的垂直平分线，可知②正确；连接DE，BE，由圆内接四边形的性质可知∠CDE=∠CAB，故可得出△CDE∽△CAB，由此可判断出④正确．
10．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过图中三角形的两对对应点作直线，从图中看出，两条直线的交点为(-3,2)．　
　
故答案为：A．
【分析】根据位似图形的性质：先找两组对应点，连接并延长，交点即是位似中心。
11．【答案】相似比
【解析】【解答】解：根据相似三角形的性质可知， 相似三角形对应高线之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于相似比，
【分析】此题考查了相似三角形的性质，掌握基本性质是解此题的关键．
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=8，，
∴BH=6=CH，BC=12，
由折叠可得，BD=DE=2，∠E=∠ABC=∠C，AB=AE=8，
又∵∠AFC=∠DFE，
∴△AFC∽△DFE，
∴,
设EF=x，则CF=4x，AF=8-x，
∴DF=，
∵BD+DF+CF=BC，
∴2+2-+4x=12，
解得x=，
∴EF=
故答案为：
【分析】过A作AH⊥BC于H，依据等腰三角形的性质即可得到BH=6=CH，由折叠可得，BD=DE=2，∠E=∠ABC=∠C，AB=AE=8，依据△AFC∽△DFE，即可得到，设EF=x，则CF=4x，AF=8-x，DF=，依据BD+DF+CF=BC，可得x的值，进而得出EF的长.
13．【答案】24
【解析】【解答】解：设△A'B'C'的最大边长是xcm，
∵△ABC的三条边长的比为 ，△ABC∽△A'B'C'，
∴12：x＝2：4，
∴x＝24．
故答案为：24cm．
【分析】设△A'B'C'的最大边长是xcm，利用相似三角形的对应边成比例可得12：x＝2：4，求出x的值即可.
14．【答案】 或
【解析】【解答】如图，若∠FCA'=90°，即点A'在BC上，过点M作MN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=8，∠D=∠C=90°，且MN⊥BC
∴四边形MNCD是矩形
∴MN=CD=8
∵AB=8，BE=DF=1，
∴AE=CF=7
∵点A关于直线EM的对称点为A′，
∴AE=A'E=7，AM=A'M，∠A=∠EA'M=90°
∴A'B= ，
∵∠BA'E+∠MA'N=90°，∠BA'E+∠A'EB=90°，
∴∠BEA'=∠MA'N，且∠B=∠MNA'=90°
∴△A'BE∽△MNA'，
∴ ，
∴
∴A'M=
如图，若∠A'FC=90°，过点A'作HG⊥AD，过点E作EN⊥HG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=8，∠D=∠C=90°，且HG⊥AD
∴四边形HGCD是矩形
∴HG=CD=8，
同理可得NG=BE=1，DF=A'H=1，AE=HN
∵AB=8，BE=DF=1，
∴AE=CF=7
∵点A关于直线EM的对称点为A′，
∴AE=A'E=7=HN，AM=A'M，∠A=∠EA'M=90°
∴A'N=HN-A'H=6
∴EN= ，
∵∠NA'E+∠MA'H=90°，∠NA'E+∠A'EN=90°，
∴∠NEA'=∠MA'H，且∠ENA'=∠MHA'=90°
∴△A'NE∽△MHA'，
∴ ，
∴
∴A'M= ，
故答案为： 或
【分析】由正方形的性质可得AB=CD=8，∠D=∠C=90°，由折叠的性质可得AE=A'E=7，AM=A'M，∠A=∠EA'M=90°，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求MA的长.
15．【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质找出点A、B、O的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转的性质找出点O、A、B的对应点，再连接即可。
16．【答案】解：由12个相似的直角三角形形成的图案很有创意，给人以美的享受，可以作为一个商标的图案．
以下几个图案分别是用相似形设计的美丽图案．
【解析】【分析】相似图形是指形状相同的图形．根据相似图形进行变换可以形成一些美丽的图案．
17．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，EG⊥AB，FH⊥AD，
∴∠HFA＝∠DAB＝∠AEG＝90°，
∴FA∥EG．
∴∠HAF＝∠G．
∴△HFA∽△AEG，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得FH＝1.05．
答：FH等于1.05里．
【解析】【分析】利用矩形的性质可证得∠HFA＝∠DAB＝∠AEG＝90°，利用平行线的性质可证得∠HAF＝∠G，根据有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△HFA∽△AEG，利用相似三角形的对应边成比例可求出FH的长.
18．【答案】解：根据题意，可分为两种情况：
①若△EFC∽△ACD，则 ， 所以 = ， 解得t=3，
即当t=3时，△EFC∽△ACD．
②若△FEC∽△ACD， 则 ， 所以 = ， 解得t=1.2，
即当t=1.2时，△FEC∽△ACD．
因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．
【解析】【分析】 根据路程等于速度乘以时间得出CE=12-2t，CF=4t，此题分为两种情况： ①若△EFC∽△ACD ，根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式建立方程，求解即可求出t的值； ②若△FEC∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例得出 根据比例式建立方程，求解即可求出t的值，综上所述即可得出答案。
19．【答案】（1）解：，
，
即．
又，
．
（2）解：，，
，
又，
．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ，再根据相似三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出， 再计算求解即可。
20．【答案】（1）证明： ， ．
，
，
又 ，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先求出∠ADF=∠C，再证明三角形相似求解即可；
（2）根据相似三角形的性质计算求解即可。
21．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠GCA=90°． ∵CG⊥BD， ∴∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE =∠GCA．
又∵∠DCB=∠GAC= 90°， ∴△BCD ∽△CAG． ∴ ， ∴ ，∴ ．
（2）解：∵∠GAC+∠BCA=180°，
∴GA∥BC．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）由∠ACB=90 ，CG⊥BD，证得∠CBE =∠GCA，继而证得△BCD ∽△CAG，其对应边成比例求得答案；（2）由GA∥BC，求得 ，根据等高的两个三角形面积的比等于底边的比即可求得答案.
22．【答案】（1）解：不相似.理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似.
（2）解：∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即.
【解析】【分析】（1）由题意可得：划分后小矩形的长AD=4，宽AE=2，然后根据对应边成比例的两个图形相似进行判断；
（2）同（1）可得AD=b，AE=，由每个小矩形与原矩形相似可得，据此解答.
23．【答案】（1）解：∵△ABC沿EF折叠，折叠后点A落在AB上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF=S△DEF，
∵S四边形ECBD=2S△EDF，
∴S△ABC=4S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠ACB，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴ ，
即： ，
∴
（2）解：①∵△ABC沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点M处，
∴AE=ME，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF是菱形，
设AE=x，则EM=x，CE=4－x，
∵四边形AEMF是菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
即： ，
②由①知， ， ，
∴ ；
（3）解：①如图3，当点E在线段AC上时，∵PF与CB是平行四边形的对边，
∴PF//CB，PF=CB，由对称性知，PF=AF，AE=PE，
∴PF=AF=BC=3，
设AE=PE=a，
∵PF∥CB，
∴△AOF∽△ACB，∠AOF=∠ACB=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在Rt△OPE中， ，
∴ ，
∴ ，
即： ；
②如图4，当点E在线段AC的延长线上时，延长PF交AC于O，
同理： ， ，
在Rt△OPE中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： 或6.
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可知 EF⊥AB，△AEF≌△DEF， 故 S△AEF=S△DEF， 又 S四边形ECBD=2S△EDF，故 S△ABC=4S△AEF， 在Rt△ABC中 利用勾股定理算出AB的长，然后判断出 Rt△AEF∽Rt△ABC， 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出 从而列出方程，求解即可算出AE的长；
（2） ① 根据折叠的性质得出 AE=ME，AF=MF，∠AFE=∠MFE， 根据二直线平行内错角相等得出 ∠AEF=∠AFE，根据等角对等边得出AE=AF， 故 AE=EM=MF=AF， 从而得出 四边形AEMF是菱形， 设AE=x，则EM=x，CE=4－x；然后判断出 △CME∽△CBA， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式即可求出x的值，CM的长，进而即可算出AE的长； ② 根据平行线间的距离相等及菱形的面积等于底乘以高，由 即可算出答案；
（3） ①如图3，当点E在线段AC上时 ， PF与CB是平行四边形的对边，故 PF//CB，PF=CB，由对称性知，PF=AF，AE=PE， 设AE=PE=a， 然后判断出 △AOF∽△ACB， 根据相似三角形对应边成比例得出 ， 根据比例式即可算出AO，OF的长， 在Rt△OPE中 ，根据勾股定理建立方程，求解算出a的值，从而求出AE的长； ②如图4，当点E在线段AC的延长线上时，延长PF交AC于O， 同理可求AE的长，综上所述得出答案。